1. Dereceden İki ve Üç Bilinmeyenli Diofant Denklemleri

Yazar: Selma Atabey (Atatürk Anadolu Lisesi, Matematik öğretmeni)

Yıl: 1995-1

Sayı: 21

Tanım: $a, b, c, x, y, z, m \in \mathbb{Z}$ olmak üzere $$ a x+b y+c z=m \tag{1} $$ şeklindeki bir denkleme üç bilinmeyenli Diofant denklem denir. Eğer $a$, $b$, $c$ katsayılarından biri $0$ ise elde edilen denklem 1. dereceden iki bilinmeyenli Diofant denklemidir.

Temel Teorem: Tam Sayılar kümesinde $(1)$ denkleminin çözümü olması için gerek ve yeter şart $a$, $b$, $c$ saylarının $E B O B$ (en büyük ortak bölen)’inin $m$ ‘yi bölmesidir (burada ve makalenin geri kalan kısminda $a$ ‘nın $b$ ‘yi bölmesi ifadesinden $a$ ‘nın $b$ ‘yi kalansız böldüğünü anlayacağız).

İspat: $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$ tamsayları (1) denkleminin çözümü olsun. O zaman $a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}=m$ denklemi sağlanır.

$a$, $b$ ve $c$ sayılarınn $E B O B$’i $d$ olsun.

O zaman $a$, $b$, $c$ sayları $a=d q_{1}$, $b=d q_{2}$, $c=d q_{3}$ $\left(q_{1}, q_{2}, q_{3} \in \mathbb{Z}\right)$ şeklinde yazılabilirler.

$a x_{0}+b y_{0}+c z_{0}=m$ denkleminde $a$, $b$, $c$ sayıları yerlerine sırasıyla $d q_{1}$, $d q_{2}$, $d q_{3}$ alınırsa $d\left(q_{1} x_{0}+q_{2} y_{0}+q_{3} z_{0}\right)=m$ olur.

Dolayısıyla $d$ $m$’yi böler.

$a$, $b$, $c$ sayılarının $E B O B$ ‘i $d e$ ve $d \mid m$ olsun. O zaman $m=d q$ $(q \in Z)$ dir.

Bezont teoreminden dolayı $A a+B b+C c=d$ denklemini sağlayacak şekilde $A$, $B$, $C$ tamsayıları bulunabilir.

Son denklemin her iki tarafını $q$ ile çarparsak $(q A) a+(q B) b+(q C) c=q d=m$ elde edilir.

Dolayısıyla $x_{0}=q A$, $y_{0}=q B$, $z_{0}=q C$ tamsayıları $(1)$ denkleminin çözümüdür.

Örnek: Aşağıdaki denklemlerin tam sayılar kümesinde çözümleri var mıdır?

1. $3 x-6 y+15 z=7$
2. $105 x+56 y=42$
3. $2 x+5 y+7 z=8$
4. $104 x+65 y=43$

Çözüm:

1. $(3,6,15)=3$ ve $3 \nmid 7$ olduğundan $3 x-$ $6 y+15 z=7$ denkleminin tamsayılar kümesinde çözümü yoktur.
2. $(105,56)=7$ ve $7 \mid 42$ olduğundan bu denklemin tam sayılar kümesinde çözümü vardır.
3. ve 4. okuyucuya bırakılmıştır.

Diofant denklemlerinin çözümlerini Euler yöntemi ile bulacağız. Bu yöntemi örneklerin çözümünde açıklayacağız.

Örnek: Aşağıdaki denklemlerin tam sayılar kümesinde çözümlerini bulunuz.

1. $5 x-7 y=8$
2. $153 x-34 y=51$
3. $3 x-12 y+18 z=7$
4. $2 x+5 y+7 z=8$

Çözüm:

1. $(5,7)=1$ ve $1 \mid 8$ olduğundan denklemin tam sayılar kümesinde çözümü vardır.
   Katsayısı mutlak değerce küçük olan terimi çekerek $$x=\frac{8+7 y}{5}=\frac{5+3+5 y+2 y}{5}=1+y+\frac{3+2 y}{5}$$ buluruz. $x$ in tamsayı olması için $\frac{3+2 y}{5}$ in de tamsayı olması gereklidir. $\frac{3+2 y}{5}=z$ diyelim. $\Rightarrow 3+2 y=5 z$ olur.
   Aynı yöntem bu denkleme de uygulanır. $$y=\frac{5 z-3}{2}=\frac{4 z+z-2-1}{2}=2 z-1+\frac{z-1}{2}\ .$$ $y$ nin tamsayı olması için $\frac{z-1}{2}$ in de tamsayı olması gerekir. $\frac{z-1}{2}=u$ diyelim. $\Rightarrow z-1=2 u$, yani, $z=1+2 u$ olur. Tekrar geri dönerek $x$ ile $y$’yi $u$ cinsinden ifade edelim. $$ \begin{split} y&=\frac{5 z-3}{2}=\frac{5(1+2 u)-3}{2}=5 u+1 \\ x&=\frac{8+7 y}{5}=\frac{8+7(5 u+1)}{5}=7 u+3 \end{split} $$ Burada $u \in \mathbb{Z}$ dir.
2. $(153,34)=17$ ve $17 \mid 51$ olduğu için denklemin tamsayılar kümesinde çözümü vardır. Aynı yöntem ile $$y=\frac{153 x-51}{34}=\frac{136 x+17 x-34-17}{34}=4 x-1+\frac{17 x-17}{34}$$ $\frac{17 x-17}{34} \in \mathbb{Z}$ olmalı. $\frac{17 x-17}{34}=u \Rightarrow17 x-17=34 u$. Yani $x-1=2 u$ dir. Buradan $x=2 u+1$ buluruz. $x$’in bu ifadesini yukarıda yerine koyarak $$y=\frac{153 x-51}{34}=\frac{153(2 u+1)-51}{34}=\frac{306 u+153-51}{34}=9 u+3 \ .$$ Yani her $u \in \mathbb{Z}$ için $x=2 u+1$, $y=9 u+3$ denklemin bir çözümüdür.
3. $(3,12,18)=3$ ve $3 \nmid 8$ olduğu için denklemin tam saylar kümesinde çözümü vardır.
   Burada da katsayısı mutlak değerce en küçük olan terimi çekersek $$\begin{split} x & =\frac{8-7 z-5 y}{2} \\ & =\frac{8-6 z-z-4 y-y}{2} \\ & =4-3 z-2 y+\frac{z+y}{2} \end{split}$$ $\frac{z+y}{2} \in \mathbb{Z}$ olmalı. $\frac{z+y}{2}=u$ dersek $z+y=2 u$ olur. Buradan da $z=2 u-y$ bulunur. $$\begin{split} x & =\frac{8-7 z-5 y}{2} \\ & =\frac{8-7(2 u-y)-5 y}{2} \\ & =4-7 u+y \end{split}$$ Yani, $\left.\begin{array}{l}x=4-7 u+y \\ z=2 u-y\end{array}\right\}$ olur. Burada $u \in \mathbb{Z}$ dir.

Yukarıdaki örneklerde görüldüğ̈u gibi, parametrelerinin sayısının, bilinmeyenlerin sayısının bir eksiği olduğu görülür.

Örnek: 100 kişiye (erkekler, kadınlar, çocuklar) toplam 100 lira para verilmiştir. Her bir erkeğe 5 lira, her bir kadına 3 lira ve her bir çocuğa 0,5 lira verilmiş olduğuna göre erkeklerin, kadınların ve çocukların sayısını bulunuz.

Çözüm: $x$: erkeklerin sayısı, $y$: kadınların sayısı, $(100-x-y)$: çocukların sayısı olsun.

$5 x+3 y+\frac{1}{2}(100-x-y)=100$ ya da $9 x+5 y=100$ olur. $(9,5)=1$ ve $1 \mid 100$ olduğu için tamsayılar kümesinde çözümü vardır.

Euler yöntemi ile $y=20-2 x+\frac{x}{5}$ bulunur. $\frac{x}{5} \in \mathbb{Z}$ olmalı. $\frac{x}{5}=t$ diyelim. $x=5 t$ ve $y=20-9 t$ olur.

$x>0$, $y>0$, $t>0$ ve $t<2 \frac{2}{9}$ olmalı. Dolayısıyla $t=1$ veya $t=2$ dir. $t=1$ için $x=5$, $y=11$, $z=84$; $t=2$ için $x=10$, $y=2$, $z=88$ bulunur.

Örnek: Bir çocuk babasına, “Doğduğun günü 12 ile, doğduğun ayı da 31 ile çarpıp, bu çarpımların toplamını bana söylersen ben de sana doğum gününü söyleyebilirim” diyor. Babanın doğduğu günü ve ayı bulunuz.

Çözüm: $x$: doğduğu gün $\quad 0 \leq x \leq 31$, $\quad y$: doğduğu ay $\quad 0 \leq y \leq 12$. $$12 x+31 y=98$$ $x=8-3 y+\frac{2+5 y}{12}$ olur. $\frac{2+5 y}{12}=z$ olsun. $$ \begin{split}
2+5 y &=12 z \Rightarrow y=\frac{12 z-2}{5}=2 z+\frac{2 z-2}{5} \\
\frac{2 z-2}{5}&=t \Rightarrow 2 z-2=5 t \Rightarrow z=\frac{5 t+2}{2}=2 t+1+\frac{t}{2}
\end{split} $$ $$ \begin{split}
\frac{t}{2}&=v \Rightarrow t=2 v\\
z&=40+1+v=5 v+1 \\
y&=12 v+2 \\
x&=3-31 v \end{split} $$ bulunur. $x$ ile $y$ nin tanımlarından $-\frac{25}{31} \leq v<\frac{6}{31}$ ve $-\frac{1}{6} \leq v \leq \frac{5}{6}$ olmalı. Buradan $v=0$, dolayısıyla $x=6$ ve $y=2$ elde edilir. Sonuç olarak babanın doğum günü 6 Şubat’tır.

Soru: Toplam 73 soru çözen bir çocuk, birkaç gün 11’er soru, kalan günlerde de 8’er soru çözmüştür. Bu soruları bu çocuk kaç günde çözmüştür?

Soru: Aşağıdaki Diofant denklemlerin tamsayılar kümesinde çözümlerini bulunuz.

1. $122 x+284 y=100$
2. $5 x+4 y-2 z=6$

Not: (Bezont Teoremi) $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ sayıları verilsin. $$\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=u_{1} a_{1}+u_{2} a_{2}+\cdots+u_{n} a_{n}$$ olacak şekilde $u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ bulunabilir. (Burada $\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$ ile $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ sayılarının $E B O B$ ‘i gösterilmiştir.)

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1995 yılı 1. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Zeynep K‘ye ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.