Yazar: Mehmet Tagiyev & Belgin Mazlumoğlu (Mimar Sinan Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyeleri)
Yıl: 1994
Sayı: 5
Bana bir destek noktası verin; dünyayı yerinden oynatayım. Arşimet
M.Ö. 3. yüzyılda yaşamış olan Arşimet, mekaniğin sade ve açık bir kavramı olan ağırlık merkezini geometri problemlerinin çözümünde ustalıkla kullanmıştır. Bu yazımızda Arşimet’in metodu nasıl kullandığını inceleyeceğiz.
Ağırlık merkezi kavramını ve onun özelliklerinin ciddi matematiksel tanımlarını vermeden önce, ağırlık merkezinin sezgisel olarak açık olan manasını anlatalım.
Aşağıda, tamamen mekanik düşüncelerden doğan maddesel nokta, maddesel noktalar sistemi, kütle, v.s., gibi terimleri kullanacağız. Maddesel nokta denilince anlaşılması gereken, kütlesi çok küçük hacimde toplanmış cisim olmalıdır; veya kütle ile teçhiz edilmiş geometrik bir nokta anlaşılmalıdır. Eğer noktası bir kütlesi ile teçhiz edilmişse, bunu veya şeklinde göstereceğiz. noktalar sistemi sırasıyla kütleleriyle teçhiz olunmuşsa bunu şeklinde göstereceğiz.
Kütleleri ve olan iki küçük ve kürelerini gözönüne alalım ve onların kütlesiz sert bir çubuk vasıtasıyla birleştirildiklerini farzedelim. O zaman bu çubuğun üzerinde öyle bir noktası vardır ki, çubuk bu noktadan asıldığında küreler dengede kalır (Şekil 1). ’nin bu sistemin ağırlık merkezi olduğunu mekanikten biliyoruz.
Şekil 1
Şimdi kütleleri , , olan ve doğrusal olmayan , , kürelerinin kütlesiz sert çubuklar yardımıyla (Şekil 2) birleştirildiğini farzedelim. Bu durumda üçgeninde öyle bir noktası vardır ki sistem bu noktadan asıldığında dengede kalır. üçgeninin bu özel noktasına sisteminin ağırlık merkezi denir.
Şekil 2
Maddesel noktaları herhangi bir sayıda alıp, oluşan sistemin ağırlık merkezini bulmak mümkündür. Şimdilik sistemiyle yetinelim ve ağırlık merkezinin sezgisel olarak açık olan aşağıdaki özelliklerini kabul edelim:
(G1) Herhangi sisteminin tek bir ağırlık merkezi vardır.
(G2) sisteminin ağırlık merkezi , bu noktaları birleştiren doğru parçasının üzerindedir ve bu noktanın yeri Arşimet’in ünlü “kol kuralı” ile bulunabilir
(G3) Eğer sisteminde herhangi iki noktayı (örneğin , noktalarını) ayırıp onların ağırlık merkezi olan noktasına kütlesini yerleştirirsek, yani altsistemi yerine sistemini yazarsak, şimdi elde ettiğimiz sisteminin ağırlık merkezi ile sisteminin ağırlık merkezi aynıdır.
Teori bu kadar. Şimdi mekaniğin basit ve açık gerçeklerinden kaynaklanan bu teori ile aşağıdaki geometri problemlerini çözelim. İlk önce bir üçgenin kenarortaylarının özelliklerini bulalım.
Teorem 1.(Arşimet, M.Ö. 3. yy) Herhangi bir üçgenin üç kenarortayı bir noktada kesişirler ve kesişme noktasında 2:1 oranında bölünürler.
Şekil 3
Kanıt. üçgeninin , , tepe noktalarına 1’er birim kütle yerleştirelim. (G1) özelliğine göre sisteminin tek bir ağırlık merkezi vardır. (G3) özelliğine göre sisteminin toplam kütlesini onların ağırlık merkezine yerleştirirsek tüm sistemin ağırlık merkezi değişmez. ve noktalarının kütlesi aynı olduğundan (G2)’ye göre onların ağırlık merkezi ’nin orta noktası olacaktır:
noktasına ve noktalarının toplam kütlesi olan birim kütleyi yerleştirerek sistemine bakalım. O zaman sisteminin ağırlık merkezi ile sisteminin ağırlık merkezi aynı olacaktır. sisteminin ağırlık merkezi doğru parçası üzerindedir ve gene kol kuralını kullanarak ve buradan da buluruz.
Benzer olarak, ve noktalarının ağırlık merkezi noktasıdır ve sistemi ile tüm sisteminin ağırlık merkezi de yine noktası olmak zorundadır. Bu durumda ve elde ederiz. Aynı metotla ve : olduğunu görmek çok kolaydır. Böylelikle olduğunu anlarız ki bu da bize kenarortayların bir noktada kesiştiklerini ve birbirlerini oranında böldüklerini gösterir.
Teorem 2.Herhangi bir üçgeninde , , açıortayları bir noktasında kesişirler ve birbirlerini , oranlarında bölerler.
Şekil 4
Kanıt., , noktalarına sırasıyla , , kütlelerini yerleştirelim ve sistemine bakalım. Bu sistemin (G1) özelliğine göre tek bir ağırlık merkezi vardır. (G3) özelliğine göre ve noktalarının ağırlık merkezini bulup oraya bu noktaların toplam kütlesini yerleştirirsek sistemin ağırlık merkezi değişmez. sisteminin ağırlık merkezi noktasıdır. Gerçekten de bu noktada Arşimet’in kol kuralı sağlanır:
(Üçgende açıortay teorimini hatırlayalım!) Şimdi sistemine baktığımızda tüm sisteminin ağırlık merkezinin doğru parçası üzerinde olduğunu görürüz; yani . Şimdi de sistemine kol kuralı uygularsak buradan da
olduğunu görürüz. Benzer olarak ve olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Bu da açıortayların bir noktada kesiştiğini ve yukarıda verilen oranları sağladığını göstermiş olur.
Not 1. Üçgenin açıortaylarının kesişme noktasının içteğet çemberin merkezi olduğu bilinen bir gerçektir. Yukarıda kanıtladığımız teoremden ise şöyle bir sonuç daha çıkmaktadır: “Eğer üçgeninin tepe noktalarına sırasıyla , , kütleleri yerleştirilirse elde edilen sistemin ağırlık merkezi içteğet çemberin merkezi olur.”
Örnek. üçgeninin içindeki bir noktasını üçgenin , , köşelerine birleştiren , , doğruları çizilmiştir. : ve olsun. Bu durumda olduğunu gösteriniz.
Çözüm. üçgeninin , , köşelerine sırasıyla , ve yüklerini yerleştirelim; yani sistemine bakalım. Bu sistemin ağırlık merkezi noktasıdır.
Şekil 5
Gerçekten de ise sisteminin ağırlık merkezi kütleli noktasıdır. (G3) özelliğine göre ve sistemlerinin ağırlık merkezleri aynıdır. sisteminin ağırlık merkezi (G2)’ye göre üzerindedir. Benzer olarak sisteminin ağırlık merkezi üzerindedir, yani ağırlık merkezi ve doğru parçalarının kesişme noktası olan noktasındadır. noktasına kütlesini yerleştirirsek noktası aynı zamanda q) ) sisteminin de ağırlık merkezi olur. (G2)’ye göre
ve buradan da olduğu kanıtlanmış olur.
Soru. Yukarıdaki problemde noktası ve doğru parçalarını hangi oranda böler?
Ağırlık Merkezinin Özellikleri
Ağırlık merkezinin matematiksel tanımını verelim ve kanıtlayalım ki herhangi bir maddesel noktalar sisteminin ağırlık merkezi gerçekten de (G1), (G2) ve (G3) özelliklerine sahiptir.
Negatif kütleli bir maddesel noktaya fiziksel bir mana vermek güç olmasına rağmen biz tanımımızı yaparken kütlelerin herhangi bir reel sayı olmasına izin vereceğiz. Kütlesi olan bir maddesel noktasını biz matematiksel anlamda reel sayısı ve bir noktası olarak düşüneceğiz. Yukarıda olduğu gibi kütleli maddesel bir noktasını ile göstereceğiz.
Tanım., sistemi verilmiş olsun. şartını sağlayan bir noktasına bu sistemin ağırlık merkezi denir ve sayılarına da ağırlık merkezinin sistemine göre barisentrik koordinatları adı verilir.
Şekil 6
Teorem 3. noktasının sisteminin ağırlık merkezi olması için gerek ve yeter şart herhangi bir noktası için
olmasıdır.
Kanıt. noktası sisteminin ağırlık merkezi olsun. Bu durumda
olur. için olduğundan bu eşitliği için kullanırsak , ve bulunur.
Şekil 7
olduğuna göre yazılabilir. Teoremin bir yönde söylediği de budur.
Diğer taraftan, eğer bir noktası için eşitliği sağlanıyorsa yukarıda yaptıklarımızı ters sıra ile tekrar edersek noktasının ağırlık merkezi olduğunu görürüz.
Bu teoremden, toplam kütlesi sıfır olmamak kaydıyla, herhangi bir sisteminin ağırlık merkezinin var ve tek olduğu derhal anlaşılır. Gerçekten, herhangi bir nokta olsun. Bu durumda formülü ile tanımlanan bir vektörünün varlığı ortaya çkar ve bu vektör de (demek ki noktası da) tek bir şekilde belirlenir.
Böylelikle (G1) özelliği kanıtlanmış oldu.
Teorem 4.İki noktadan oluşan sisteminin ağırlık merkezi , bu noktaları birleştiren doğru parçasının üzerindedir ve bu noktanın yeri “kol kuralı” ile bulunabilir:
Şekil 8
Kanıt. noktası sisteminin Teorem 3’e göre var ve tek olan ağırlık merkezi olsun. Tanıma göre ‘dan bulunur. Buradan da elde ederiz. Başka bir deyişle yazabiliriz.
Not 2. numaralı eşitlikten kolayca görüldüğü gibi, eğer olursa noktası doğru parçasının içinde, olursa dışındadır.
Bu teorem ile (G2) de kanıtlanmış oldu.
Teorem 5.sisteminde, tane noktadan oluşan altsistemini ayıralım. Bu noktaların ağırlık merkezi olsun. Bu noktaların toplam kütlesini ( olmak şartıyla) noktasına koyalım. sistemi ile sisteminin ağırlık merkezleri aynıdır.
Kanıt. noktası sisteminin ağırlık merkezi olsun. O zaman olur. Şimdi de altsistemini düşünelim. Bu sistemin ağırlık merkezi de olsun. Teorem 3’e göre
olmalıdır. ifadesinde eşitliğini kullanırsak elde ederiz. Bu da bize noktasının sisteminin ağırlık merkezi olduğunu gösterir.
Uygulamalar
Aşağıdaki alıştırmalar geometri problemlerinin çözümünde çok faydalı olabilirler; bunların kanıtlanmasını okuyucuya bırakıyoruz.
Alıştırma 1. sistemindeki bütün noktalarının kütleleri aynı bir sabitiyle çarpılırsa, sistemin ağırlık merkezi değişmez.
Alıştırma 2. noktası sisteminin ağırlık merkezi ise, doğrusu kenarını sisteminin ağırlık merkezi olan noktasında keser.
Alıştırma 3. sisteminde herhangi bir noktanın kütlesini “parçalarsak” sistemin ağırlık merkezi değişmez. Örneğin şeklinde parçalanırsa, sistemi ile sisteminin ağırlık merkezi aynıdır.
Alıştırma 4. Eğer bir noktası hem sisteminin, hem de sisteminin ağırlık merkezi ise, bu noktası aynı zamanda bütün sisteminin ağırlık merkezidir.
Alıştırma 5. Not 1’de üçgeninin içteğet çemberinin merkezinin, sisteminin ağırlık merkezi olduğunu gördük. üçgeninin kenarına ait dışteğet çemberinin (yani kenarına teğet ve ve ’nin de uzantılarına teğet olan çemberin) merkezinin sisteminin ağırlık merkezi olduğunu gösteriniz.
Problem 1.(Matematik Dünyası, problem Y28) Bir dışbükey dörtgeni üzerinde ve olmak üzere , , , noktaları alınıyor. ve doğruları noktasında kesişiyorsa, ve olduğunu gösteriniz.
Şekil 9
Çözüm., , , noktalarına sırasıyla , , ve yüklerini yerleştirelim ve sistemine bakalım. olduğundan (G2) özelliğine göre sisteminin ağırlık merkezi kütleli noktası olacaktır. Bunu şöyle gösterelim:
Benzer olarak sisteminin ağırlık merkezi kütleli noktası olacaktır:
O zaman sisteminin ağırlık merkezi doğru parçası üzerindedir ve (G2)’ye göre veya elde ederiz. Şimdi sistemini ve altsistemlerine ayırıp ağırlık merkezimizi bir de bu şekilde bulalım. sisteminin ağırlık merkezi kütleli noktası, sisteminin ağırlık merkezi ise kütleli noktası olur. Bu durumda tüm sistemin ağırlık merkezi , doğru parçası üzerindedir ve (G2)’ye göre
veya elde ederiz. Böylece sisteminin ağırlık merkezi ve doğru parçalarını üzerinde olmalıdır. Bu da noktasının bu iki doğru parçasının ortak noktası olan noktası olduğunu gösterir. Dolayısıyla yazarsak istenilenin kanıtlanmış olduğu görülür.
Problem 2.Eğer noktası üçgeninin içinde herhangi bir nokta ise, , , köşelerine sırasıyla öyle , , kütleleri yerleştiriniz ki noktası sisteminin ağırlık merkezi olsun.
Çözüm. ve noktalarından geçen ve kenarını noktasında kesen doğrusunu çizelim. , olsun. olsun. Bu durumda noktası sisteminin ağırlık merkezi, noktası ise sisteminin ağırlık merkezi olur.
Problem 3.(Seva Teoremi) üçgeninin , ve kenarları üzerinde sırasıyla , , noktaları alınıyor.
olduğuna göre, , , doğrularının bir noktada kesiştiğini gösteriniz.
Çözüm., , olsun. Verilen şarta göre olur. , , noktalarına sırasıyla , , yüklerini yerleştirip, sistemini gözönüne alalım. olduğundan, noktası sisteminin ağırlık merkezi olur. Benzer şekilde noktası sisteminin ve noktası da sisteminin ağırlık merkezi olur. sisteminin ağırlık merkezini ile gösterelim. Ağırlık merkezi olan , hem , hem , hem de doğru parçalarının üzerinde olmalıdır. Bu bize bu doğru parçalarının bir noktada ( noktasında) kesiştiğini gösterir.
Problem 4.(Seva Teoremi’nin tersi) Eğer herhangi bir ü̧geninde , , doğruları bir noktada kesişiyorlarsa, Problem 3’te verilen koşulu sağlanır.
Çözüm., , doğrularının bir noktasında kesiştiklerini farzedelim. , , noktalarına, noktasını sistemin ağırlık merkezi yapacak sekilde, sırasıyla , , kütlelerini yerleştirelim. (Bunun mümkün olduğunu Problem 2’den biliyoruz.) O zaman ’den geçen doğrusu kenarını sisteminin ağırlık merkezi olan noktasında keser. (G2) özelliğine göre noktasında bağıntısı vardır. Benzer şekilde ve bağıntılarını kolaylıkla bulabiliriz. Buradan , ve elde ederiz. Bu üç eşitliği taraf tarafa çarparsak Seva şartının sağlandığını görürüz.
Problem 5.(Newton Teoremi) teğetler dörtgeninin içteğet çemberinin merkezi, bu dörtgenin köşegenlerinin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının üzerindedir.
Çözüm. noktası çemberin merkezi, noktası ise ve kenarlarının uzantılarının kesişme noktası ve , noktaları da ve köşegenlerinin orta noktaları olsun.
Baktığımız çember üçgeninin içteğet çemberi olduğu için bu çemberin merkezi olan noktası, , , alınırsa sisteminin ağırlık merkezi olur (Not 1). Bu çember aynı zamanda üçgeninin kenarına ait dışteğet çemberi olduğu için, noktası aynı zamanda sisteminin de ağırlık merkezi olur (, , , Alıştırma 5). Dolayısıyla noktası sisteminin ağırlık merkezi olur (Alıştırma 4). Diğer taraftan olduğundan ( kirişler dörtgeni), eşitliğini elde ederiz. noktasına baktığımızda bu noktanın hem , hem de sisteminin ağırlık merkezi olduğunu görürüz. Yani noktası sisteminin ağırlık merkezidir.
Böylece kütleyi parçalama (Alıştırma 3) fikrini kullanarak noktasının aşağıda yazdığımız sistemlerin ağırlık merkezi olduğunu görürüz: ( şeklindeki bir eşitliği, “ noktası sisteminin ağırlık merkezidir” manasında kullanacağız.)
Böylece noktasının kütlesi olan ile, kütlesi olan noktasının ağırlık merkezi olduğunu görürüz. (G2) özelliğine göre noktası ve noktalarını birleştiren doğru parçası üzerindedir.
Problemler
Aşağıdaki problemleri önce alıştığınız yolla çözmeye çalışınız. Sonra bu yazıda kullanılan metotlarla çözünüz. Mekanik kavramlarının kolaylıklar sağladığını göreceksiniz.
üçgeninin ağırlık merkezinin, çevrel çemberinin merkezi olması için, , , köşelerine yerleştirilmesi gereken kütle miktarlarını bulunuz.
Herhangi bir üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiklerini gösteriniz.
teğetler dörtgeni çembere , , , noktalarında teğet ve , , , olsun. ve oranlarını bulunuz.
piramidinin tabanı paralelkenarıdır. düzlemi bu piramidin , , , kenarlarını sıra ile , , , noktalarında kesiyor ve , , veriliyor. oranını bulunuz.
Yazarlar, bu makaledeki konunun incelenmesinde, biçim verilmesinde ve müzakere edilmesinde büyük yardım göstermiş olan sayın Ruza Burak’a derin minnettarlıklarını sunarlar.
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1994 yılı 5. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Zeynep K‘ye ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.
Yazar: Ali Nesin - Nesin Matematik Köyü - anesin@matematikkoyu.org
Yıl: 2024-1
Sayı: 119
1. Biraz Tarih Öncesi
Sayıların bulunması kolay olmamıştır kuşkusuz. Bulunan ilk nicelik kavramları ''az'' ve...
Yazar: Robin Wilson The Open University (Çeviri: Olcay Coşkun)
Yıl: 2023-4
Sayı: 118
Dünya çapındaki yüzlerce pulda matematiğin ve tarihinin bulunması şaşırtıcıdır. Portorož’daki 8ECM (8’inci Avrupa Matematik...
Yazarlar: Ali Bülbül, Nazan Sezen Yüksel
Yıl: 2023-4
Sayı: 118
Matematiğin icat mı yoksa keşif mi olduğu sorusunun henüz net bir cevabı olmamakla birlikte, matematik hakkında...