Üç Bir Dört Bir ve Gerisi

Bir ondalık açılımın rakamları belli uzunlukta rakam blokları biçiminde tekrarlanırsa bu açılıma periyodlu açılım denir. Kesirli sayıların ondalık açılımlarının periyodlu olduğunu ve periyodlu ondalık açılımların kesirli sayılar oldukları [1]’de kanıtlanmıştı. Daha sonra da göreceğimiz gibi $\pi$ sayısı kesirli bir sayı değildir. 1770’de kanıtlanan bu gerçeğe kadar $\pi$ sayısının açılımının merak edilmesi doğaldır.

$\pi$’nin açılımı hakkında elde edilecek bilgi kesirli olup olmadığına karar verecekti. $\pi$ nin açılım tarihi yukarıdaki çizelgede kısaca görülüyor.

$\pi$ sayısının açılımı ile ilgili çözülmemiş savlar vardır. Bunlardan biri $\pi$ sayısının açılımında görünen sayıların tamamen rastgele olduğudur. Başka bir deyişle bu açılımda $0,1,2,\ldots,9$ sayılarının elde edilme olasılığı $\frac{1}{10}$; $00,01,\ldots,99$ ikililerinin elde edilme olasılığı $\frac{1}{100}$; $000,001,\ldots,999$ üçlülerinin gözükmesi olasılığı $\frac{1}{1000}$ olarak ileri sürülmüştür. Yukarıda sıralanan hesaplamalar ünlü matematikçi John von Neumann tarafından yapılan $\pi$ sayısı açılımındaki sayı dağılımının düzgün rastgele olduğu savını güçlendirmiştir. Henüz kanıtlanamayan bu savlar $\pi$ hakkındaki sorulardan bazılarıdır.

Yukarıdaki hesaplamalar bize Arşimet’in M.Ö. 240 yılında bulduğu $\pi$’nin alt ve üst sınırlarını veren yöntem kadar heyecan vermiyor. Arşimet birim çaplı dairede, daire içinde çizilen düzgün kirişler çokgeni ile daire dışına çizilen düzgün teğetler çokgenini düşünüyor [2]. Düzgün çokgenlerin alanları kolayca hesaplandığından, $12, 24, 48$ ve $96$ kenarlı düzgün kiriş ve teğetler dörtgenlerinin alanlarını bularak $\pi$ için $\frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7}$ eşitsizliğini başka bir değişle $\pi$ için yaklaşık değer olarak $314$’ü veriyor.

$\left[ -1,1 \right]$ aralığındaki her $x$ için

$$ x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \frac{x^7}{7} + \cdots$$

sonsuz toplam $\tan^{-1} x$’e eşittir. 1671 yılında İskoçyalı matematikçi James Gregory’nin farkına vardığı bu gerçek ile birçok hesap yapılabilir. Örneğin $x=1$ için

$$ \frac{\pi}{4} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \cdots $$

elde ederiz. 1699 yılında Sharp $\tan^{-1} x$ nin yukarıdaki seri açılımı $x= \sqrt{\frac{1}{3}}$ için kullanılarak $\pi$ sayısının ilk $71$ basamağını hesaplamayı başarıyor. 1719 yılında De Laguy $\tan^{-1} x$ serisini $\sqrt{\frac{1}{3}}$ noktasında kullanarak $\pi$’nin ondalık açılımında bilinen basamal sayısını $112$’ye çıkarıyor. 1706’da Machin ise yine $\tan^{-1} x$’in seri açılımını ve

$$ \frac{\pi}{4} = 4\tan^{-1} \left( \frac{1}{5} \right) – \tan^{-1} \left( \frac{1}{239} \right) $$

eşitliği kullanılarak $\pi$’nin ondalık açılımında ilk $100$ basamağı bulabiliyor.

Bilgisayarda hesaplar ve doğrulamalar

$$ \pi = 24\tan^{-1} \frac{1}{8} + 8\tan^{-1} \frac{1}{57} + 4\tan^{-1} \frac{1}{239} $$

veya

$$ \pi = 48\tan^{-1}\frac{1}{18} + 32\tan^{-1} \frac{1}{57} – 20\tan^{-1} \frac{1}{239} $$

gibi eşitlikler yardımı ile yapılıyor. Örneğin Miyashi ve Nakayama tarafından $\pi$’nin açılımındaki $2$ milyon küsürüncü basamağı veren hesaplama

$$ \pi = 32\tan^{-1} \frac{1}{10} – 4\tan^{-1} \frac{1}{239} – 16\tan^{-1} \frac{1}{515} $$

gibi yine bir $\tan^{-1}$ formülü ile yapılıyor. Tamura ve Kanada’nın yöntemi $\tan^{-1}$ formülleri kullanan klasik yaklaşımdan farklı. Bu yazarlar 19. yüzyılda Legedre ve Gauss tarafından bulunan hesaplama yöntemlerini geliştiren yenileme (iteratif) yöntemleri kullanılıyorlar. Matematiğin Sayısal Analiz dalının uğraştığı problemler hakkında bir fikir vermek amacı ile şimdi bu yöntemi verelim: $a_0 = 1$ , $b_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ alalım ve her $n$ için

$$ a_n = \frac{1}{2} \left( a_{n-1}+b_{n-1} \right), b_n = \left( a_{n-1} b_{n-1} \right)^{\frac{1}{2}} $$

ve

$$ c_n = a_n^2 – b_n^2 $$

tanımlayalım. Eğer

$$ \pi_n = \frac{4a_{n+1}^{2}}{\left( 1-\sum_{j=1}^{n} 2^{j+1} c_j^2 \right)} $$

olarak tanımlanırsa, $\lim_{n \to \infty} \pi_n = \pi$ oluyor ve $\pi_n$ ile $\pi$ arasındaki fark (hata); $A = \lim_{n \to \infty} a_n$ olmak üzere

$$ \mid \pi – \pi_n \mid < \frac{\pi^2 2^{n+4}}{A^2} \exp \left( -\pi2^{n+1} \right) $$

ile veriliyor.

Şimdi $\pi$ sayısının kesirli bir sayı olmadığını görelim. Bu gerçek için genellikle Legendre’e kredi verilmesine karşın 1770 yılında Lambert tarafından kanıtlanmıştır. Daha önce tam sayı değerli, tam sayı değişkenli fonksiyonler ile ilgili basit bir sonucu görelim.

Yardımcı Teorem. $\mathbb{Z}$ tam sayılar olmak üzere $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ fonksiyonu $\lim_{n \to \infty} f(x) =0$ koşulunu sağlarsa, $f$ bir yerden sonra sıfır sabit değerini alacaktır.

Kanıt. $n \to \infty$ iken $f(n) \to 0$ verildiğinden, $n \geq N_0$ için $\mid f(n)-0\mid < \frac{1}{2}$ eşitsizliği sağlayacak $N_0$ tam sayısını (limit tanımından) bulabilirsiniz. $f(n) \in \mathbb{Z}$ olduğundan $n \geq N_0$ için $f(n) = 0$ olmalıdır.

Teorem. $\pi$ sayısı kesirli bir gerçel sayı değildir.

Kanıt. Her $n$ pozitif tamsayı ve $\alpha \in \mathbb{R}$ için $I_n$

$$ I_n \int_{-1}^{1} \left( 1-x^2 \right)^n \cos(\alpha x) \,dx $$

ile tanımlansın. İntegralleri alarak $2 \leq n$ için

$$ \alpha^2 I_n= 2n(n-1)I_{n-1} – 4n(n-1)I_{n-2} (5)$$

eşitliğinin sağlandığını görürüz.

$P$ ve $Q$ $\alpha$’nın dereceleri $2n+1$ den küçük, tamsayı katsayılı polinomları olamk üzere, $n$ üzerinden tümevarımla

$$ \alpha^{2n+1} I_n = n! \left( P\sin(\alpha) + Q\cos(\alpha) \right) (6)$$

eşitliğini elde ederiz.$^1$

Olmayana ergi metodunu kullanalım. Yani $\pi$ kesirli bir sayı olsun. Böylece $\pi=\frac {a}{b}, b \neq 0$ olacak $a,b$ tamsayıları bulabiliriz. (2) denkleminde $\alpha$ sayısı $\frac{\pi}{2}$ alınırsa, $J_n = \frac{b^{2n+1}}{n!} I_n$ ile tanımlanan $J_n$ bir tamsayıdır. $I_n$ nin değeri yerine konarak

$$ J_n = \frac{b^{2n+1}}{n!} \int_{-1}^{1} \left( 1-x^2 \right)^n \cos \left( \frac{\pi}{2}\pi \right) \,dx (7)$$

elde edilir. İntegral içindeki fonksiyon $x$’in $(-1,1)$ aralığındaki değerleri için pozitif olduğundan, her $n$ için $0<J_n$ bulunur. Dolayısı ile, her $n$ için, $J_n \neq 0$ buluruz. Neden? (3)’de her iki tarafın mutlak değeri alınır ve

$$ C= \int_{-1}^{1} \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \,dx $$

olarak tanımlanırsa

$$ \mid J_n \mid \geq \frac{\mid b \mid^{2n+1}}{n!} \int_{-1}^{1} \cos \left( \frac{\pi}{2}x \right) \,dx \geq C\frac{\mid b \mid^{2n+1}}{n!} $$

bulunur. Buradan $n \to \infty$ iken $J_n \to 0$ elde edilir. Yardımcı Teorem bir $N_0$ tamsayısından sonra $J_n = 0$ verir ki bu yukarıdaki, her $n$ için $0<J_n$ ile çelişir. Bu çelişki $\pi$ sayısının kesirli bir sayı olması varsayımı ile elde edildiğinden teorem kanıtlanmıştır.

Katsayıları tamsayı olan bir polinomun kökü olan sayılara cebirsel sayılar denir. $\pi$ sayısının önemli bir özelliği de cebirsel bir sayı olmamasıdır. 1794’te Legendre tarafından kanıtlanan $\pi^2$ de kesirli bir sayı olmadığı, Hermite’in 1882’de $\pi$’nin cebirsel bir sayı olmadığını kanıtladığı teoremleri için [3]’ü öneririz.

$^1$ $n!$ çarpanı (1) numaralı denklemdeki $n(n-1)$ den gelmektedir.

Kaynakça

[1] Taner, T.: Gerçel Sayı Nedir?, Matematik Dünyası, 1, Sayı 2, 2-5 (1991).

[2] Demir, H.: Dörtgenleri Tanıyalım I, Matematik Dünyası, 3, Sayı 1, 1-5 (1993).

[3] Stewart, I.: Galois Theory, Chapman and Hall, London 1973.