Yazar: Abdulkadir Erdoğan (abdulkadirerdogan@anadolu.edu.tr)
Yıl: 2022-2
Sayı: 112
Matematik eğitiminin bir disiplin olarak ortaya çıkışında ve gelişiminde matematik öğretme ve öğrenme sürecine özgü olgular yer almaktadır. Matematik eğitimcileri, gözlemleyebildikleri fakat tek bir disiplinin bakış açısıyla (matematik, eğitim bilimleri, psikoloji, vb.) açıklayamadıkları bu olguları farklı disiplinlerin bakış açılarıyla yorumlayarak ve bu bakış açılarını zaman içinde ilişkilendirerek kendine özgü felsefi temelleri, kavramları, kuramları ve metodolojileri olan yeni bir disiplin oluşturmayı başarmışlardır.
Bu olguların en önemlilerinden biri “modern matematik reformu” veya “yeni matematik reformu” olarak bilinen ve 1950’li yıllardan itibaren pek çok ülkenin matematik öğretimi yaklaşımını derinden etkileyen reform hareketleriyle gözlenmiştir. Matematiğin gelişimi için çok önemli olan “soyut” ve “aksiyomatik” yaklaşım, matematik öğretiminde uygulandığında sonuçlar tam bir hayal kırıklığına neden olmuş, öğrencilerin büyük bir kısmı için matematik anlamsız tanımlar ve kurallar silsilesine dönüşmüştür. Bu reform hareketlerine karşı gelişen tepkiler, matematik öğretiminin kendine has özellikleri olduğunu ve bu özelliklerinin sadece matematik temelli bir yaklaşımla anlaşılamayacağını göstermiştir.
Matematik eğitiminin gelişiminde önemli rol oynayan olgulardan bir diğeri, öğretmen ve öğrenci arasındaki anlaşmazlıkların ve uyuşmayan beklentilerin, matematiğin veya pedagojinin açıklayamayacağı unsurlar barındırdığı gözlemine dayanmaktadır. Fransa’da bir grup araştırmacı tarafından 10-11 yaşlarındaki öğrencilere sorulan ve literatüre “Kaptanın yaşı” [1] olarak geçen problem bu gözlemin sembolü haline gelmiştir: “Bir gemide 26 koyun ve 10 keçi vardır. Kaptanın yaşı kaçtır?” sorusu sorulan 97 öğrenciden 76’sı problemde verilenlerden hareketle kaptanın yaşını hesaplarlar! Bu araştırma o kadar gündem olur ki matematikteki öğrenci hatalarının kapsamlı şekilde tartışıldığı bir kitaba ismini verir [2]. Daha sonra yapılan araştırmalar öğrencilerin de problemde verilenlerle kaptanın yaşının bir ilgisi olmadığını çok iyi bildiklerini, ama cevaplarını matematikle ilgili bilgiler yerine matematik derslerinde edindikleri bir davranış biçimi üzerine inşa ettiklerini göstermiştir: Bir matematik problemi sorulduğunda problemin çözümü için gerekli bilgiler problemde mutlaka yer alır; bu bilgiler ne eksik ne de fazladır; problemin bu bilgilerden hareketle bulunabilecek mutlaka bir (ve yalnız bir) çözümü vardır.
Matematik eğitimcileri kaptanın yaşı problemine benzer durumları zaman içinde kavramsallaştırarak, öğretmen ve öğrenciler arasındaki örtük sorumluluklar ve beklentileri ifade eden didaktik sözleşmenin [3] ihlallerinden kaynaklandığını öne sürmüşlerdir. Bu beklentilerin önemli bir kısmı öğretmenin beklentisi-öğrencinin beklentisi-öğretime konu olan matematiksel içerik etkileşiminde gelişen mikro ölçekteki beklentilerken bir kısmı da; dersin-ünitenin-öğrenme alanının-disiplinin-pedagojinin-okulun-toplumun beklentileri [4] olarak katmanlar şeklinde düşünülebilecek makro ölçekteki beklentilerdir.
Yazının devamında, didaktik sözleşmeden kaynaklanan beklentilerin ne denli karmaşık bazen de paradoksal olduğunu anlamaya çalışacağız.
Matematik dersinde öğrenciler öğretmenden ne bekler? Öğretmen, öğrencilerden ne bekler? En azından temel eğitim düzeyi için ve en genel anlamda, öğrencilerin öğretmenlerine yönelik; dersi anlaşılır bir biçimde anlatması, örneklerini kolaydan zora doğru vermesi, sınavlarda derste öğrendiklerine benzer sorular sorması gibi beklentileri olduğu söylenebilir. Öğretmeninse öğrencilerine yönelik; derse aktif şekilde katılmaları, sorular sormaları ve kendilerine sorulan sorulara cevap vermeye çalışmaları, ev ödevlerini yapmaları ve düzenli çalışmaları gibi beklentilere sahip olduğu söylenebilir. Sizin ve öğrencilerinizin bu karşılıklı beklentilerinin gerçekleştiği bir sınıfınız varsa, ne mutlu size! Sıradışı bir matematik öğretmenisiniz ve sıradışı öğrencileriniz var demektir. Bu beklentilerin gerçekleşmediğini düşünüyor ve neden gerçekleşmediğini merak ediyorsanız, siz de bizler gibi matematik eğitimcilerisiniz demektir. (Biliyoruz ki çoğunuz öylesiniz!) Zira matematik eğitimcileri, en yalın halleriyle, matematiğin neden öğretilemediği veya daha iyi nasıl öğretilebileceği konusunda düşünen ve araştıran kişilerdir. Bu durumda karşılıklı beklentilerinizin gerçekleşmediği için üzülmeli, ama matematik eğitimcisi olduğumuz için sevinmeli miyiz? Bu gerçekten biz matematik eğitimcileri için paradoksal bir durum. Ama bizim için paradoksal olan bu durumu bir tarafa bırakarak, öğretmen ile öğrenci arasındaki beklentilere dayalı ve çoğunlukla bu beklentilerin gerçekleşmemesiyle oluşan paradoksal durumlara odaklanacağız. Teorilerin diliyle konuşup okuyucuyu yormamak için bu durumları günlük deneyimlerimize dayalı basit örnekler üzerinden ele alacağız. Bunların bilimsel dayanaklarını merak eden okuyucu şu çalışmaları [3, 5] inceleyebilir.
Ver bir cevap, ne olduğu önemli değil! (Öğrenci)
Bir öğrenciyi tahtaya kaldırdınız ve şu soruyu sordunuz: Bir kasadaki 18 tane domatesin 8’ini yedim. Geriye kaç domates kaldı? Öğrenci tahtaya bazı sayılar yazıyor, sonra siliyor, sonra tekrar bir şeyler yazıyor ve en sonunda kısık bir sesle size cevap veriyor: 28. Soruyu tekrar okuyor, istenileni vurguluyorsunuz: Kaç do-ma-tes kal-dı? Öğrenci biraz üzgün şekilde tahtaya dönüyor, yine bir şeyler yapıyor ve yeni bir cevap veriyor: 8. Soruyu baştan tekrar okuyorsunuz, istenileni tekrar vurguluyorsunuz ve ciddi bir ses tonuyla “az önce yaptık benzerini, ne yapmamız gerekiyor?” diye soruyorsunuz. Öğrenci, kedi yavrusu gibi gözlerini buğulandırarak size bakıyor, sonra düşünüyormuş gibi yapıyor ve 12 cevabını veriyor. İçinizden “Yavrum! Gerçekten gayret ediyor, ama olmuyor” diyorsunuz ve öğrenci için eziyete dönüşmeye başlayan bu durumu sonlandırmaya karar veriyorsunuz: “Evet işte, olacak, 2 daha çıkarman lazımdı, ama önemli değil…”
Öğretmen bekliyor ki öğrenci “kaldı” ifadesinden hareketle problemin çıkarma işlemi gerektirdiğini görsün ve kasadaki domates sayısından yenilen domates sayısını çıkararak doğru cevabı bulsun. Ama öğrenci cevabı bulmak istemiyor, belki bulamayacağını düşünüyor, belki de problem hiç ilgisini çekmiyor. Sonuç olarak, sorudaki işaretleri de öğretmenden gelen işaretleri de dikkate almıyor. Biliyor ki bazı cevaplar vermesi öğretmen için önemli. Öğretmen onları öğrencinin çabası olarak yorumlayacak ve onu bu sıkıntılı durumdan kurtaracak. Nasıl? Çok zekice değil mi? Okurun aklına şu soru gelebilir: Öğrenci bu kadar “zeki” ise o problemi de çözemez mi? Durumun öyle olmadığını görmeniz için etrafınızda bazı küçük deneyler yapmanız veya ilkokul öğretmenlerine bu tarz bir öğrenciyle hiç karşılaşıp karşılaşmadıklarını sormanız yeterli olacaktır.
Bir kişi anladıysa sorun bende değil! (Öğretmen)
İki hafta boyunca aynı konuyu işlediniz. Kavramları ve kuralları defalarca açıkladınız. Bol bol soru çözdünüz, ödev verdiniz, öğrencilerin hatalarını sınıfta düzelttiniz. Sınav günü geldi çattı: Bu kadar gayretten sonra tüm öğrencilerinizin sınava hazır olduklarını ve size göre konunun anlaşıldığını gösteren bir kritik soru dahil, sorduğunuz tüm soruları çözebileceklerini düşünüyorsunuz. Ama sınav sonunda görüyorsunuz ki o kritik soruyu sadece bir öğrenci çözebilmiş. Yeni konuya geçmeden önce, biraz çaresiz biraz da ümitsiz şekilde şu değerlendirmeyi yapmadan kendinizi alamıyorsunuz: “Arkadaşınız anladıysa sizin de anlamış olmanız lazım!”
Öğretmen yeni konuya geçmek zorunda, çünkü yıl sonu gelmeden bitirmesi gereken bir programı var. Bir konuya fazladan iki ders saati ayırabilir, ama iki hafta daha ayıramaz. Zaten ayırsa da sonucun çok farklı olmayacağını çoktan hissetmiş durumda. Ama aynı zamanda, kurumsal ve sosyal sorumluluğu o ilk iki hafta sonunda öğrencilere bir şeyler öğretebilmiş olmasını zorunlu kılıyor. Hiçbir şey öğretemedi mi? Elbette öğretebildi, yoksa o çocuk o soruyu nasıl doğru çözebilirdi! Buradan soralım: Buna benzer bir durumu hiç yaşamamış ortaöğretim matematik öğretmenimiz var mı? Cevabınız evetse o mutlu azınlık içinde kalabilmek için her türlü değişimi reddediniz; cevabınız hayırsa gelin hep beraber matematik eğitimi yapalım!
Öyle bir yorum yap ki öğretmen konuyu çok iyi anladığını düşünsün! (Öğrenci)
Oran ve orantıyla ilgili bir ders işlediniz. Biliyorsunuz ki işlemsel olarak öğrenciler başarılı olacaklar, ama kavramları tam anlamıyla ilişkilendirip farklı problem durumlarında işe koşamayacaklar. Endişelisiniz, ama önemli değil, çünkü tam vaktinde bir öğrenci imdadınıza yetişiyor: “Öğretmenim, orantıda oran var değil mi?”
Elbette, orantıda oran var. Öğrencinin yorumundaysa “altın oran” var! O kadar güzel zamanlanmış bir yorum ki öğretmenin bu yoruma ilgi göstermekten başka seçeneği kalmıyor, çünkü öğrencinin bu yorumu, öğretmenin kavramsal öğrenmeleri sağlayabileceği konusundaki ümidinin ve motivasyonunun tamamen kaybolmasına engel oluyor. Elbette öğretmen bu yorumun içerikten yoksun olduğunun farkında, ama bu şekilde düşünmek istemiyor ve öğrenciye iltifat ediyor: “Evet, aynen, aferin… herkes aynı şeyi görebiliyor mu?” Yine soralım: Hiç böyle anlamı derin cümleler kuran, ama kurduğu cümlelerin kıyı şeridinde dolaşan öğrencileriniz olmadı mı? Olmadıysa bu iyi mi kötü mü? Gerçekten karar vermek zor…
Daha başka nasıl anlatabilirim? (Öğretmen)
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve eşitsizliklerle ilgili problemler soruyorsunuz ve öğrencilerinizin önce denklem veya eşitsizliği uygun şekilde ifade etmesini sonra çözmesini bekliyorsunuz. Örneğin, “Bir doğal sayının 3 katının 5 fazlası 80’den büyükse bu sayı en az kaçtır?” Bir öğrencinin $3x+5=80$ denklemini kurduğunu görüyorsunuz. Çözümü belki doğru yapacak, ama problemin eşitsizlik problemi olduğunu gözden kaçırmaması gerektiğini düşünerek, eşitsizlik olarak ifade etmesini bekliyorsunuz. Ama bunu öğrenciye doğrudan söylemek yerine sıralar arasında dolaşıyor, soruyu vurgulayarak tekrar okuyorsunuz: “3 katının 5 fazlası 80’den büyük ise bu sayı en az kaçtır?” Öğrencinin hiç üzerine alınmadığını ve ışıltısız gözlerle size baktığını görüyorsunuz. Bu sefer yanına gelip “80’den BÜ-YÜK ise” şeklinde daha vurgulu şekilde ve gözlerinin içine bakarak söylüyorsunuz. Öğrenci ani bir hareketle gözlerini sizden defterine çeviriyor ama neden “BÜ-YÜK” ile kendisini uyardığınızı hâlâ anlamıyor. Öğrencinin başında kalarak birkaç kez daha “80’den BÜ-YÜK ise, BÜ-YÜK ise, BÜ-YÜK…” şeklinde vurgulamaya devam ediyorsunuz. Öğrencinin gözleri bir anda ışıltı doluyor ve o BÜ-YÜ-ĞÜN denklemindeki hataya işaret ettiğini anlayıp eşittir işaretini büyüktür işaretiyle değiştiriyor.
Öğretmen neden sakince ve zahmetsizce, “Çocuğum dikkat et! Eşit demedim, büyük dedim. Eşittir işareti değil büyüktür işareti olacak” demek yerine, ifadenin tam anlamıyla, kırk takla atıyor? Çünkü öğretmen, bilgiyi doğrudan veren, öğrenci yerine düşünen, soruyu öğrenci yerine çözen olmak istemiyor. Öğrenci anlamadığını anlasın ve düzeltsin istiyor. Öğrencinin buradaki hatasını doğrudan düzeltirse öğrencinin denklem ve eşitsizlik farkı üzerine hiçbir zaman düşünmeyeceğine inanıyor. Bunun için bu kadar zor ve dolambaçlı bir yol izliyor. Siz genellikle hangi yolu seçiyorsunuz? Hatayı doğrudan söylemeyi mi yoksa beden dilinize ve ses tonunuza söylettirmeyi mi? Yoksa el yordamıyla bulduğunuz bir üçüncü yolu mu?
Ne kadar çok sorarsan o kadar çok ipucu alırsın! (Öğrenci)
Öğrencinin daha önce karşılaşmadığı açık uçlu bir soru sordunuz. Örneğin “L şeklindeki 3 birim kareden oluşan parçalarla 9×9 birim kare bir alan kaplanabilir mi?” Problem çok fazla işlemsel bilgi içermediği ve kaplama denemeleri zahmetli olduğu için öğrenciden gelen ilk soru, “Öğretmenim kaplanabiliyor mu?” sorusu oluyor. Siz, “bilmiyorum siz belirleyeceksiniz” şeklinde cevap veriyorsunuz. Bu sefer öğrenci “bence kaplanamaz” şeklinde sizi kışkırtacak keyfi bir yorum yapıyor (parçaları kırarsak olur, usta iyi kaplarsa olur, ben yaptım 3 birim kare boşluk kaldı, ama üçü de ayrı yerlerde… gibi soruyu sorduğunuza sizi bin pişman edecek yorumları zaten saymıyorum!). Siz de öğrencinin oyununa kanıp, “Bir düşün neden kaplanamaz? Mesela parçaların kare sayısıyla alanın kare sayısı arasında bir ilişki olabilir mi?” diye anlık bir refleksle “ipucu” veriyorsunuz. Yeterli mi? Elbette değil, çünkü parçaların 3 birim kareden oluşmasının şekillerinden bağımsız olarak düşünülemeyeceğine yönelik bir ipucu daha vermek için içinizde çelişki dolu bir dürtü hissediyorsunuz. Ve sonunda, koltuğundan sahneye atlayan yönetmen gibi, öğrenciler için tasarladığınız senaryonun başrol oyuncusu oluyorsunuz…
“İpucu vermek” eğitimde sıklıkla kullandığımız bir kavram. İpucu vererek öğrencinin bilişsel yükünü hafiflettiğimizi ve öğrenciyi göreve motive ettiğimizi düşünürüz. Oysa, öğrenci ne yapması gerektiği hakkında bir fikre sahipse ipucu vermek anlamsızdır. Ne yapması gerektiğini anlayan öğrencilerin öğretmenden gelecek ipuçlarını açıkça reddettiğine dahi (Bir dakika öğretmenim siz bir şey söylemeyin…) şahit oluruz. Öğrenci görevle ilgili bir fikre sahip değilse, bu sefer de ipucu vermek faydasızdır. Öğretmen de aslında çoğu zaman vereceği cevapların ve yapacağı yorumların ipucu olmaktan çıkacağını ve çözüm yolunun öğretimine dönüşeceğini bilmektedir. Bununla birlikte, gerek öğrencinin soru karşısındaki tutumu gerekse sırtında sürekli bir yük olarak taşıdığı “ders bitmeden bir şeyler öğretmiş olma” sorumluluğu, yapmak istemeyeceği, çözüme yönelik açıklamalarla sonuçlanmaktadır.
En azından bunu öğrensinler! (Öğretmen)
Son örneğimiz biraz arabesk olsun: Hangimiz denk gelmedik önermeler mantığına, hangimiz nefret etmedik çılgınlar gibi… En iyi durumda, önermeler mantığını anlamayla matematiksel ispat yapabilme arasında sıkı bir ilişki olduğuna inanarak, en kötü durumda, sadece öğretim programında yer aldığından dolayı, mantık üzerine haftalarca ders yapıyorsunuz. Sonra önermeler mantığına bu kadar vakit ayırmanın ispata da mantığa da hizmet etmediği acı deneyimini bir kez daha yaşıyorsunuz. Acı yoksa arabesk de yok! Siz de acınızı biraz olsun hafifletmek için yaranızın üzerine biraz 1,0 doğruluk tabloları basıyor, pansumanınızın kaymaması için de paralel/seri bağlı elektrik devreleriyle sarıyorsunuz… Biliyorum kıymetli meslektaşlarım: Var bir hayaliniz, ama söyleyemiyorsunuz. Ben de! (J’ose pas. Je suis pas trop timide mais je suis intimidé… )
Daha önce de değindiğimiz üzere, öğretim projesinin başarısızlığa uğraması ve öğretime ayrılan uzunca bir sürenin sonunda hedeflenen bilgi ve becerilerde bir ilerlemenin olmadığını görmek, öğretmeni kurumsal ve sosyal sorumlulukları açısından zor duruma düşürüyor. Bu durumu yaşadığını fark ettiğinde, en azından somut bazı çıktılar elde edebildiğinden emin olmak için, öğretmen, öğretimin odağını değiştirmek zorunda kalıyor. Matematiksel ispat için çıktığı alışverişten bir çanta dolusu doğruluk tablosuyla dönüyor. Bir iki tane de bunlardan satın almak fena olmaz diye düşünüyordu, ama mağaza sahibinin bu kadar iyi esnaf olduğunu nereden bilecekti? Ama ona da kızamıyor. Sonuçta o da satabildikleriyle ayakta kalacak…
Yukarıdaki örnekler bize matematik derslerinde öğretmen ve öğrencinin kesintisiz bir müzakere içinde olduklarını gösteriyor. Bu müzakerede her iki taraf da beklentilerini bir şekilde ortaya koyuyor ve bazen beklentilerinden tavizler vererek, karşı tarafı müzakere masasında tutmaya çalışıyor. Aslında her ikisinin de bu müzakere masasından kalkma istek ve özgürlükleri yok. Bu nedenle müzakere taktikleri her gün, bir dersten diğerine, bir konudan diğerine, bir görevden diğerine ve bir sınıf seviyesinden diğerine yer, zaman ve şekil değiştirerek devam ediyor…
Yazıyı buradaki fikirlerin üstadına, bir ilkokul öğretmeni olarak 1953 yılında başladığı kariyerini 2004 yılında aldığı Félix Klein Madalyası ile taçlandıran, çalışmaları ve kişiliğiyle yüzlerce matematik eğitimcisine ilham kaynağı olan Guy Brousseau’ya bırakarak noktalayalım:
Sonuç olarak, öğretmen öğrenciye ne kadar çok bilgi verir, öğrencinin sorularına ne kadar çok cevap verir ve ne kadar çok ne yapması gerektiğini detaylı şekilde açıklarsa öğrenciden beklediği davranışları elde etme ihtimali o kadar azalır ([3], s. 41).
Öğretmenin, öğrenciden beklediği davranışları gerçekleştirmesi için yaptığı her şey, öğrenciyi hedeflenen davranışların gerçekleşmesi için gerekli olan şartlardan mahrum eder. Öğretmen ne beklediğini öğrenciye açıkça söylerse onu artık elde etme şansı kalmaz. Fakat öğrenci de gerçek bir paradoksal yaptırımla karşı karşıyadır: Didaktik sözleşme gereği, eğer öğrenci öğretmenin sonucu (bilgiyi veya kavramı) öğrettiğini kabul ederse o bilgiyi kendisi için oluşturamaz. Diğer taraftan, eğer öğrenci öğretmenden gelen her bilgiyi reddederse didaktik ilişki kopmuş demektir. Öğrenme, öğrenci için didaktik ilişkiyi kabul etmesini, fakat bu ilişkiyi geçici olarak benimsemesini ve onu (en kısa zamanda) reddetmek için tüm çabayı göstermesini içerir ([3], s. 41-42).
Kaynaklar
[1] IREM de Grenoble, (1980). Quel est l’âge du capitaine? Bulletin de l’APMEP, 323, 235-243.
[2] Baruk, S. (1985). L’âge du capitaine: De l’erreur en mathématiques. Paris: Seuil.
[3] Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht : Kluwer Academic Publishers.
[4] Chevallard Y. (2002), Organiser l’étude, Ecologie et Régulation. In Dorier Jean-Luc (ed). XXIème école d’été de didactique des mathématiques. La Pensée Sauvage.
[5] Erdoğan, A. (2016). Didaktik Sözleşme. E. Bingölbali, S. Arslan ve İ. Ö. Zembat (Eds), Matematik Eğitiminde Teoriler, (s. 565-579). Ankara: Pegem Akademi, 02/2016.
