Matematikte varlık teoremleri olarak sınıflandırılan teoremler vardır. kapalı aralığında tanımlı, gerçel değerli ve sürekli fonksiyonu bu aralık üzerinde aldığı en büyük değere (maksimum) bu aralığın bir noktasında ulaşır.
Benzer şekilde yukarıda anılan özelliklere sahip fonksiyonu aralığında aldığı en küçük değere (minimum) aralığının bir noktasında ulaşır.
Sürekli bir fonksiyon için özellikleri olan noktaların varlığını söyleyen bu önermeler varlık teoremleridir.
Şekil 1’de grafiği görülen fonksiyonunun minimum değerini aldığı , maksimum değerini aldığı noktalarında eğriye çizilen teğet eğimlerinin , başka bir deyişle teğetlerin x-eksenine paralel olduklarını görüyoruz.
Önerme:, sürekli fonksiyonunun maksimum (veya minimum) değerini aldığı bir nokta olsun. noktasında türevlenebilir ise, (türev) fonksiyonunun bir köküdür, yani dır.
Kanıt: fonksiyonunun noktasında türevlenebilir olması
limitinin olması demektir. noktasına sağdan yani dan büyük değerler boyunca veya dan küçük değerler boyunca yani soldan yaklaşılabilir. daki limitin var olması sağ ve sol limitlerin eşitliği ile tanımlanır.
Genellikten kaybetmeden noktasında maksimumun alındığım kabul edebiliriz. noktasına soldan yaklaşırken ve olacağından
olacaktır. (Niçin?)
noktasına dan büyük değerler boyunca yaklaşırken alınan limit
olacaktır. fonksiyonunun noktasında türevlenebilir olması
olduğundan, ve yani olmalıdır.
1652-1719 yılları arasında yaşıyan Fransız matematikçi Michel Rolle çağdaşları Newton ve Leibniz’in yaratıp geliştirdikleri Diferansiyel ve Integral Hesap kuramının karşıtlarından biri olarak ün yapmıştır. Polinomların köklerini araştırırken kanıtladığı aşağıdaki teoremin bu kuramın temel yapı taşlarından biri olması kaderin bir cilvesi herhalde.
Rolle Teoremi: üzerinde sürekli, üzerinde türevlenebilir olan fonksiyonu koşulunu sağlasın. aralığında eşitliğini sağlayan noktası vardır.
Kanıt: sabit fonksiyonu ise teorem açıktır. Aksi halde fonksiyonunun maksimum değerini aldığı noktayı , minimum değerini aldığı noktayı ile gösterelim. olduğundan veya den biri içinde olmalıdır.
Teoremlerin hipotezleri olan varsayımları düşünmemizde yarar vardır. Örneğin, Şekil 2’de grafiği verilen fonksiyonun neden Rolle Teoremine bir çelişki olmadığını ve aralığında olarak tanımlanan fonksiyonu düşünerek teoremdeki türevlenebilirlik varsayımdan vazgeçilemiyeceğini görmeliyiz.
Rolle Teoreminin aşağıdaki sonucu aynı anda ipi göğüsleyen iki atletin hızlarının yarış süresince en az bir kez eşit olması gerektiğini söylüyor!
Sonuç: ve aralığında sürekli, aralığında türevlenebilir fonksiyonlar ve olsun. aralığında denklemini sağlayan bir sayısı vardır.
Kanıt: Sürekli ve türevlenebilir fonksiyonların farkları da aynı özellikleri taşır! aralığındaki her için ile tanımlanan fonksiyon Rolle Teoreminin koşullarını sağlar ve istenileni verir.
Rolle Teoremi için eğriye noktasında çizilen teğetin x—eksenine paralel olduğunu söylüyordu. (Şekil 3). Fransız matematikçisi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) tarafından kanıtlanan Ortalama Değer Teoremi benzer koşullarda bir için noktasında çizilen teğetin (Şekil 4), ve noktalarını birleştiren doğruya paralel olacağını söylüyor.
Ortalama Değer Teoremi (ODT): fonksiyonu aralığında sürekli, aralığında türevlenebilir olsun. deki bir sayısı için
sağlanır.
Kanıt: aralığındaki her için
ile tanımlanan ve fonksiyonları sonuçtaki hipotezleri sağlar. Dolayısı ile içindeki bir için
elde edilir.
fonksiyonunun aralığında, fonksiyonunun aralığında, fonksiyonunun aralığında ODTnin hipotezlerini sağlamadığını görmeliyiz. Verilen fonksiyonlar için belirtilen aralıklarda ODT doğru mu?
Uygulamalar:
1) polinomunun aralığında en az bir kökü olduğunu hiç işlem yapmadan bulabiliriz. Çünkü bu polinom polinomunun türevidir ve vardır. Polinomlar türevlenebilir olduklarından istenilen Rolle Teoreminden elde edilir.
2) fonksiyonunu aralığında düşünerek sayısını yaklaşık olarak bulabiliriz. ODTden olan bir sayısı için
veya
elde ederiz. bize ve
verir. Dolayısı ile in, ve arasında bir sayı olduğunu söyleyebiliriz.
3) Eğer in türevi fonksiyonunun aralığında aldığı minimum değer maksimum değer ise ODT’den elde edilir. Bu eşitsizliği fonksiyonu için kullanarak her için elde edebiliriz.
ODT giderek artan otoyollarımız üzerinde hız denetimi yapmak için kullanılabilir. birim zamanda alınan yolu göstersin. nin türevlenebilir olduğunu varsayarsak, bize anındaki hızı verecektir.
4) Son model BMW i ile saat 12.01 de Ankara-İstanbul otoyoluna giren Bay HIZLI saat 12.46 da 120 km ötedeki Gerede çıkış turnikesine girer. Bilete bakan memur, Bay Hızlı’nın şaşkın bakışları arasında Trafik polisini çağırır. Polis, Hızlı’nın karşı çıkışlarına rağmen, ODT gereğince
denkleminden Hızlı’nın saat 12.01 ile 12.46 arasında 160 km/saat hız yaptığını söyliyerek gerekli cezayı keser.
Yazımızı yanıtlarını beklediğimiz sorular ile bitirelim.
bir polinom olsun ve sayılan in ikişer kez kökü olduğu sayılar ise, nün aralığında en az üç kökü olduğunu gösterebilir misiniz?
ve aralığında tanımlı, türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar. deki her için ise, bir sayısı için olduğunu gösterebilir misiniz?
koşulunu sağlayan ve sayıları arasında eşitliğini sağlayan sayısının varlığını gösterebilir misiniz?
aralığı içinde denklemini sağlayan bir noktanın varlığını kanıtlayınız.
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1992 yılı 5. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Umut Gür‘e ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.
Fibonacci(1170-1250)
Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olan Fibonacci, (Leonardo of Pisa, Leonardo Pisano) modern aritmetiğin temellerini batı dünyasına tanıtan Liber Abaci'yi (Hesaplama Kitabı) yazmasıyla...
Giriş
Yapay zekâ, bilgisayar sistemlerine insan benzeri zekâ ve öğrenme yetenekleri kazandırmayı amaçlayan bir teknoloji dalıdır. Doğal Dil İşleme (Natural Language Processing: NLP) ise yapay...
Yazar: Ali Nesin - Nesin Matematik Köyü - anesin@matematikkoyu.org
Yıl: 2024-1
Sayı: 119
1. Biraz Tarih Öncesi
Sayıların bulunması kolay olmamıştır kuşkusuz. Bulunan ilk nicelik kavramları ''az'' ve...