Geçişken Olmayan Zarlar Hakkında Teorem

Yazar: Faramaz Maksudov, Elder Hacılarov
Yıl: 1992-3

Geçişken olmayan oyunlar hakkında birçok ilginç problem ve paradosklar vardır. Bu yazıda biz böyle oyunların bir sınıfını inceleyerek size benzer oyunları oluşturmayı öğreteceğiz.

Oyunu anlatmadan once bazı basit olaylanin olasılığını hesaplamayı öğrenelim. Orneğin adi bir oyun zarımız olsun. Bu zarı attığımızda 1 veya 6 sayısından hangisi daha sık gelebilir? Aşikardır ki, zarımızı mutlak olarak simetrikse bu sayılardan birine diğerine göre üstünlük vermemize gerek yoktur. Buna gçre de her sayının gelme olasığını aynı olarak kabul etmek doğru olur.

Böylece zar atıldığında altı farklı, eşit olasılıklı hal vardır. Buna göre herhangi bir sayının gelme olasılığı 1/6’ya eşittir. Başka bir deyişle 1 sayısı 6 farklı halden ancak birinde gelebilir.

Eğer biraz daha karmaşık bir olayın olasılığını, örneğin {1,2} kümesinden bir sayının gelmesi olasılığını hesaplamak istersek, önce bu olayın hangi hallerde olabileceğini (bu durumda iki halde) buluruz ve sonra da bu sayıyı tüm hallerin sayısına böleriz. Kısaca 1 ya da 2 sayılarından birinin gelme olasılığı 2/6=1/3’tür. Okuyucu {1,2,5,6} sayılarından birinin gelme olasılığını kendisi hesaplayabilir.

Ele aldığımız soruyu biraz daha zorlaştıralım ve tam simetrik A ve B diyeceğimiz oyun zarlarını aynı anda attığımızda neler olabilieceğini düşünelim. Her iki zar da altı farklı şekilde gelebileceğinden A ve B aynı anda atıldığından tüm farklı hallerin sayısı $6^2=36$ olur. Zarlarımız simetrik olduklarından her halin olasılığı eşittir. Öte yandan belli bir $\alpha$ olayının olasılığını hesaplamak için, bu 36 halden kaçında $\alpha$ olayının ortaya çıktığını bulup bu sayıyı 36’ya böleriz. Bulduğumuz ise $\alpha$ olayının olasılığıdır.

Örnek 1: A ve B zarlarının birlikte atılması sonucu toplamının 5’e eşit olması olasılığı kaçtır?

Çözüm: Toplamın 5’e eşit olamsının hangi durumlarda olabileceğini görelim. Biraz hesap yaparsak istenilen olayın dört halde olabileceğini buluruz. Böylece toplamın 5 olması olasılığı 4/36 = 1/9’dur.

Soru 1: A ve B zarları birlikte atılınca toplamın hangi sayı olmasının olasılığı en yüksektir?

Örnek 2: A zarında gelen sayının B’de gelenden büyük olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: İlkin bu olayın hangi hallerde olabileceğini görelim.

Eğer A zarında 6 sayısı gelirse ve B de de {1,2,3,4,5} sayılarından biri gelirse bu 5 halde istediğimiz olay meydana gelmiş olur.

Eğer A da 5 ve B de {1,2,3,4} sayılarından biri gelirse bu 4 halde istenilen olay meydana gelmiş olur.

Bu düşünce biçimini sürdürerek A da 4 gelmesi durumunda 3 halde, A da 3 gelmesi durumunda 2 halde ve A da 2 gelmesi durumunda da 1 halde beklenen olay olur. A zarı 1 gelirse istenilen asla olmaz. Böylece istediğimiz olay 5+4+3+2+1=15 halde meydana gelebilir. Olasılığı ise 15/36=2/15 dir.

Bu uzun ve can sıkıcı hesapları tam olarak verdik ki siz de benzer hesapları kendiniz yapabilesiniz.

Soru 2: A zarında sayının B de gelenden büyük veya eşit olma olasılığını hesaplayınız.

2. Oyunun Tanıtımı

Bu bölümde yüzlerinde “1,2,3,4,5,6” yazılı adi oyun zarlarından farklı olarak, üzerinde değişik sayılar yazılmış oyun zarlarını ele alacağız. böyle zarlara standart olmayan zarlar diyelim. Artık oyunumuzu tanıtabiliriz. A, B ve C diye üç tane standart olmayan zarımız olsun. A zarının yüzlerinden {1,3,4,14,17,18}, B’nin yüzlerinde {2,9,10,11,12,13} ve C’ninkilerdeyse {5,6,7,8,15,16} sayıları var. İki oyuncu aşağıdaki oyunu oynarlar.

İlk oyuncu istediği zarı seçer. İkinci oyuncu da kalan iki zardan birini seçer. Her oyuncu istediği zarı atar. Yüksek sayıyı atan oyuncu oyunu kazanır.

Size hangi oyuncunun kazanma olasılığı daha yüksektir? İlk bakışta üstünlüğün 1. oyuncuda olduğu sanılabilir. Çünkü 1. oyuncu ilk seçimi yaptığı için en iyi zar seçebilir. Böylece kazanma olasılığı en az 1/2 olmasının garanti eder. Ancak bu düşünme şekli doğru değildir. Gelin oyunumuzu ayrıntılı olarak ele alalım.

Hangi zarın A veya B’nin elverişli olduğunu anlamaya çalışalım. Bu iki zarı birlikte atarsak 36 eşit olası hal olduğunu biliyoruz. Şimdi bu 36 halden kaçında A zarının kazandığını hesaplayalım. Eğer A zarında 14,17 veya 18 gelirse B’de ne gelirse gelsin A kazanır. Bu size 3.6=18 hal verir. Eğer A zarında 3 veya 4 gelirse, A ancak 13’te 2 gelirse kazanır. Bu da bize 2 kazanma biçimi daha verir. A’da 1 gelirse A mutlaka kaybeder. Böylece A’nın B’ye karşı kazanma olasılığı 20/36=5/9’dur ve 5/9 > 1/2 olduğundan A zarı B’den üstündür.

Soru 3: Aynı şekilde A ile C’yi, sonra da B ile C’yi karşılaştırın.

Eğer bu soruyu doğru yanıtlamışsanız, çelişkili bir durumla karşılaşacaksınız. A zarı B zarından 20 halde, B zarı C zarından 20 halde ve C’de A zarından gene 20 halde üstündür. Başka bir deyişle A zarı B’den, B zarı C’den, C zarı da A’den elverişlidir. Herhangi iki zarı düşünürsek biri diğerinden üstündür ve üstün olanın kazanma olasılığı 20/36 = 5/9 dur; ancak en elverişli zar yoktur.

Şimdi oyuna dönelim; 1. oyuncunun seçtiği zardan bağımsız olarak, 2. oyuncu daima daha elverişli zar seçebilir ve kendine 5/9 olasılığı ile kazanma şansı sağlayabilir. Yani, eğer 1. oyuncu A’yı seçerse 2. oyuncu C’yi, 1. oyuncu B’yi seçerse 2. oyuncu A’yı seçer.

Artık geçişkenliğin anlamını verebiliriz. Bilindiği gibi a, b, c üç gerçel sayıysa a>b ve b>c eşitsizlikleri a>c eşitsizliğini gerektirir. Bu özelliği geçişkenlik ilişkisi denir. Yukarıda anlattığımız oyunda gördük ki, A zarı B’den ve B zarı C’den elverişlidir; ancak A zarı C’den elverişli değildir. Aksine C zarı A’dan elverişlidir.

Tanıttığımız oyunda elverişlilik geçişken değil. Bu tür oyunlara geçişken olmayan oyunlar denir. Her standart olmayan zarlar geçişken olmayan bir oyun vermez. Örneğin A = {1, 2, 3, 4,5,6}, B= {7, 8,9, 10, 11, 12} ve C = {13, 14,15, 16, 17, 18} olsa, C zarı en elverişlidir. Gerçekte, geçişken olmayan oyunları oluşturmak pek kolay değildir. Bundan sonraki bölümü okursanız bunu siz de göreceksiniz.

3. Esas Teorem

Durumu genelleştirelim. Bu bölümde 6 yüzlü değil de, daha genel olarak n yüzlü (n $\ge 3$ zarları ele alacağız. Böyle zarlara n-zar diyelim.

Teorem: Yüzlerinden 1’den 3n’ye kadar sayıların tekrarlanmayarak yer aldığı, A, B ve C gibi n-zarlarımız olsun. A’nın yüzlerinden $a_1,\dots ,a_n$, B’nın yüzlerinde $b_1,\dots ,b_n$ sayıları yazılmış olsun.

A’nın B’ye, B’nin C’ye ve C’nin A’ya eş olasılıklarla üstün olması için gerek ve yeterli şart

$$\sum ^n{a}_i=\sum ^n{b}_i=\sum ^n{c}_i=\frac{n(3n+1)}{2}$$

olmasıdır.

İspattan önce teoremi biraz irdeleyelim. 2. bölümdeki oyunda zarlar A, B ve C üzerindeki sayıların toplamı her zar için \frac{6(19)}{2} = 57’ye eşittir. bu teoremden yararlanarak, farklı zarlarla aynı oyunu kurabiliriz. Bunun için 1’den 18’e kadar tam sayıları öyle üç kümeye ayıralım ki, her kümedeki sayıların toplamı 57’ye eşit olan. Oyunumuzda A’nın B’ye, B’nin C’ye ve C’nin de A’ya karşı kazanma olasılıkları eşittir. Bu olasılığa P dersek, teoremimiz p = 1/2 halini de kapsar. Tabii bu durumda A, B ve C zarıları eşit derecede elverişlidir.

Soru 4: Eğer p < \frac{1}{2} ise, aldığımız zarlarda geçişkenlik özelliği olmayabilir mi? Ne için?

İlk olarak teoremin ispatında kullanacağımız bir yardımcı sonucu ele alalım.

Yardımcı Sonuç: $1\ge a_1<a_2<\dots <a_n\ge 3n$ tam sayılarında kurulan A = {a_1,…,a_n} kümesi için

$$S(A)=\sum ^n\sum _{\alpha \in [1,3n]A}\$sgn(Q_i–\alpha )=2\sum ^n{a}_i–n(3n+1)$$

olur. Burada [1,3] ile {1,2,3,4,…,3n} kümesini ve sgn ile de

$$sgn(x)=\{\begin{array}{ll}1& x>0\\ 0& x=1\\ -1& x<1.\end{array}$$

fonksiyonunu gösteriyoruz. A kümesinde bir $a_i$ öğesi seçelim ve

$$S_i=\sum _{\alpha \in [1,3n]A}sgn(a_i–\alpha )$$

toplamını hesaplayalım. $S_i$ sayısı $[1,3n]-A$ kümesinde $a_i$’den küçük olan öğelerin sayısından a_i’den büyük olan $[1,3n]-A$ kümesi öğelerinin sayısını çıkarmakla elde edilir. $a_i$’den küçük tamsayılar (a_i – 1) tanedir. Ancak bunlardan (i-1) tanesi, $a_i\dots a_{i-1}$ sayıları A kümesindendir. Böylelikle $[1,3n]-A$ kümesinde a-i’den küçük (a_i-1) – (i-1) = a_i-i tane sayı vardır. Aynı şekilde $[1,3n]-A$ kümesinde a_i’den büyük (3n-a_i)-(n-i) = 2n-a_i + i tane sayı vardır. Demek ki

$$Si=(a_i)–(2n-a_i+i)=2(a_i–i-n)$$

olur. Burasa S(A) sayısını şöyle hesaplarız:

$$S(A)=\sum ^n{S}_i=2\sum ^n(a_i–i-n)=2\sum ^n{a}_i–2\sum ^{n}i-2n=2\sum ^n{a}_i–n(3n+1)$$

Teoremin ispatını geçelim. Önce A’nın B’ye, B’nin C’ye ve C’nin de A’ya karşı kazanma olasılıklarının eşit olduğunu varsayalım. A zarı C’ye karşı kaç halde kaybederse, B’ye karşı da o kadar halde kazanır. Aynı şekilde A zarı C’ye karşı kaç halde kazanırsa, B’ye karşı da o kadar halde kaybeder. $B\cup C=[1,3n]-A$ olduğu için, buradan $S(A)=0$ elde edilir. Böylece yardımcı sonuçtan

$$\sum ^n{a}_i=\frac{n(3n+1)}{2}$$

eşitliği bulunur. Durumun simetrik olması, bize

$$\sum ^n{a}_i=\sum ^n{b}_i=\sum ^n{c}_i=\frac{n(3n+1)}{2}$$

eşitliklerini verir.

Tersine,

$$\sum ^n{a}_i=\sum ^n{b}_i=\sum ^n{c}_i=\frac{n(3n+1)}{2}$$

olduğunu varsayalım. Yardımcı sonuçtan $S(A)=S(B)=S(C)=0$ elde ederiz. A zarı B’ye karşı $n^2$ halden m-inde kazansın, (n^2-m) halde ise kaybetsin. $S(A)=0$ olduğundan, A zarının C’ye karşı m-halde kaybettiğini ve $(n^2-m)$ halde de kazandığını buluruz. Başka bir deyişle A’nın B’ye karşı ve C’nin de A’ya karşı kazanma olasılıkları $p=m/n^2$’dir. Öte yandan, C ile A’yı ve C ile B’yi karşılaştırırsak, sonuçta A’ya karşı kazanma olasılıklarının $p=m/n^2$ olduğunu görürüz. Böylece teoremin ispatı bitmiş olur.

Bu ispatı okuyup anlayan okuyucuya aşağıdaki ilginç problemi sunarız.

Soru 5: İkinci bölümde p = 5/9 olan bir 6-zar oyununu öğrendik. p>5/9 halinde geçişken olmayan 6-zar irdeyelin.

Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1992 yılı III. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Sarper Yurtseven‘e ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.