Bir grupta iki altgrubun kesişimi gene bir alt gruptur. Bunun kanıtı çok basittir: $H$ ve $K$ iki altgrup olsun. $1$ elemanı her iki altgrupta da olduğundan kesişimdedir de. Eğer $x$ kesişimdeyse, $x$ elemanı hem $H$’de hem de $K$’de olduğundan, $x$’in tersi, yani $x^{-1}$ elemanı hem $H$’de hem de $K$’dedir; demek ki kesişimdedir de. Şimdi kesişimden iki eleman alalım: $x$ ve $y$. Bu elemanlar hem $H$’de hem de $K$’de olduklarından çarpımı olan $xy$ de hem $H$’de hem de $K$’dedir. Demek ki $xy$ kesişimdedir. Böylece $H\cap K$ kesişiminin bir altgrup olduğu kanıtlanmış oldu.
Dikkat ederseniz yukarıdaki akıl yürütme sadece iki altgrubun değil, kaç tane olursa olsun, isterse sonsuz sayıda olsun, altgrupların kesişiminin de bir altgrup olduğunu gösteriyor. Yani bir grupta, herhangi bir altgruplar kümesinin kesişimi bir altgruptur.
Şimdi $X$, bir $G$ grubunun herhangi bir altkümesi olsun. $X$’i içeren en az bir altgrup vardır: $G$. Şimdi $X$’i içeren tüm altgrupları kesiştirelim. Bu kesişimin bir altgrup olduğunu biliyoruz. Ayrıca kesişim $X$’i de içerir tabii ki. Demek ki $X$’i içeren tüm altgrupların kesişimi gene $X$’i içeren bir altgruptur. Dolayısıyla bu kesişim $X$’i içeren en küçük altgrup olacaktır. Şu sonucu kanıtladık:
Teorem 1. $G$ bir grup ve $X\subseteq G$ olsun. $X$‘i içeren tüm altgrupların kesişimi $X$’i içeren en küçük altgruptur. $\square$
$X$’i içeren en küçük altgrubu $\langle X \rangle$ olarak gösterelim. Eğer $X=\{x_1,\dots,x_n\}$ gibi sonlu bir kümeyse $\langle\{x_1,\dots,x_n\}\rangle$ yerine $\langle x_1,\dots,x_n\rangle$ yazılır. Ve eğer $X,Y\subseteq G$ ise $\langle X\cup Y\rangle$ yerine $\langle X,Y\rangle$ yazılır. Benzer kısaltmaları yapmakta kendimizi kısıtlamayacağız.
$$\langle X \rangle=\bigcap_{X\subseteq H\leq G}H$$
eşitliğini biliyoruz. Ayrıca eğer $X\subseteq H\leq G$ ise $\langle X \rangle \leq H$ içindeliğini biliyoruz.
Eğer $X=\varnothing$ ya da $X=\{1\}$ ise $\langle X\rangle=1$ olur. (Burada $1=\{1\}$ altgrubunu temsil eder.) $\langle G \rangle=G$ eşitliği de kolay. $\langle G\backslash\{1\}\rangle=G$ eşitliğinin kanıtını da okura bırakıyoruz.
Yukarıdaki teorem uygulamada pek yararlı olmayabilir, çünkü teorem bize $X$’i içeren en küçük altgrubun olduğunu söylüyor ama altgrubun neye benzediğini söylemiyor. Şimdi $\langle X\rangle$ altgrubunun neye benzediğini biraz daha somut olarak görelim.
$x,y\in X$ ise, $xy\in\langle X\rangle$ olduğunu biliyoruz. Bunun gibi
$$xy^{-1},x^2,y^{-3},xyx,yx^{-1}y^{-2}\in\langle X\rangle$$
içindelikleri de biliyoruz. Daha da genel olarak,
$$x_1,\dots,x_n\in X\;\text{ve}\;\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n=\pm1$$
ise,
$$x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}\in\langle X\rangle$$
olur. Demek ki,
$$\{x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}:n\in\mathbb{N},x_i\in X,\varepsilon_i=\pm1\}\subseteq\langle X\rangle $$
olur. (Dikkat: Tanımdaki $x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}$ ifadesindeki $X$’in aynı elemanı tekrar edebilir, yani $i\neq j$ için $x_i=x_j$ olabilir.) Ama sol taraftaki küme $X$’i içeriyor (tanımda $n = 1$ ve $\varepsilon_1 = 1$ alın) ve ayrıca bir altgrup (çünkü çarpma altında kapalı, elemanlarının tersi de kümenin içinde ve elbette $1$’i içeriyor). Bundan ve $\langle X \rangle$ altgrubunun $X$’i içeren en küçük altgrup olmasından eşitlik çıkar:
$$\langle X \rangle=\{x_1^{\varepsilon_1}\dots x_n^{\varepsilon_n}:n\in\mathbb{N},x_i\in X,\varepsilon_i=\pm1\}$$
Bu yüzden $\langle X\rangle$ altgrubuna $X$ tarafından üretilen altgrup adı verilir ve $X$’e de üreteç kümesi denir.
$$\langle X \rangle=\{x_1^{k_1}\dots x_n^{k_n}:n\in\mathbb{N},x_i\in X,k_i\in\mathbb{Z}\}$$
eşitliğini okur gözden kaçırmamalıdır. Bu tür bir yazılımla $x_i$ ile $x_{i+1}$ elemanlarının birbirinden farklı olduklarını varsayabiliriz.
Özel bir durum olarak $X =\{x\}$ durumunu ele alalım. Bu durumda bütün $x_i$’ler $x$’e eşit olmak zorundadır ve
$$\langle x \rangle=\{x^n:n\in\mathbb{N}\}$$
bulunur. Eğer deg$x=d<\infty$ ise,
$$\langle x \rangle=\{1,x,x^2,\dots,x^{d-1}\}$$
eşitliğini daha önce görmüştük. Eğer $X=\{x,y\}$ ise durum hemen karmaşıklaşır:
$$\langle x,y\rangle=\{x^{k_1}y^{l_1}\dots x^{k_n}y^{l_n}:n\in\mathbb{N},k_i,l_i\in\mathbb{Z}\}$$
olur. Ama $xy = yx$ ise bu karmaşık durum kendini toparlar:
$$\langle x,y \rangle=\{x^ky^l:k,l\in\mathbb{Z}\}.$$
Eğer bir de ayrıca deg$ x = n < \infty$ ve deg $y = m < \infty$ ise, o zaman,
$$\langle x,y \rangle=\{x^ky^l:k=0,1,\dots,n-1,l=0,1,\dots,m-1\}.$$
olur. (Ama sağda görülen bütün elemanlar farklı olmak zorunda değildir.)
Daha genel olarak, eğer $X$’in elemanları aralarında değişiyorlarsa, yani her $x, y \in X$ için $xy=yx$ oluyorsa, o zaman,
$$\langle X\rangle=\{x^{k_1}\dots x^{k_n}:n\in\mathbb{N},x_i\in X,k_i\in\mathbb{Z}\}$$
olur ve bu ifadede eğer istersek $i \neq j$ için $x_i \neq x_j$ alabiliriz.
Bazen $xy = yx$ yerine $x$ ile $y$ arasında başka ilişkiler olabilir; bu durumda da $\langle x, y\rangle$ altgrubunun oldukça basit gösterimi olabilir. En standart örnek deg $x =$ deg $y = 2$ ve deg $xy = n$ olduğu durumdur. Bu durumda $z = xy$ tanımıyla,
$$xz=z^{n-1}x$$
olur (neden?) ve
$$\langle x,y\rangle=\langle z,x\rangle=\{x^iz^j:i=0,1,j=0,1,\dots,n-1\}$$
elde edilir. Ayrıntıları okura alıştırma olarak bırakıyoruz.
Tabii eğer grubun işlemi $+$ ile ifade ediliyorsa (dolayısıyla değişmeli bir grup söz konusuysa) o zaman,
$$\langle X\rangle=\{k_1x_1+\dots+k_nx_n:n\in\mathbb{N},x_i\in X,k_i\in\mathbb{Z}\}$$
olur ve istersek $i \neq j$ için $x_i \neq x_j $ alabiliriz.
$H=\langle X\rangle$ olduğunda $H$’in $X$ kümesi tarafından üretildiği söylenir. Eğer ayrıca $|X| = n < \infty$ ise, $H$’nin $n$ eleman tarafından üretildiği söylenir.
$X\subseteq \langle X\rangle$ olduğundan elbette $|X| ≤ |\langle X\rangle|$ olur. Eğer $X$ sonluysa ya da sayılabilir sonsuzluktaysa $|\langle X\rangle|\leq\omega$ olur, aksi halde, $|\langle X\rangle|=|X|$ olur. Kümeler kuramından kardinaliteleri anımsayan biri için bunlar çok kolay alıştırmalardır.
Örnek 1. Eğer $\mathbb{Z}=\langle a\rangle$ ise, $a$ tamsayısı ya $1$ ya da $-1$ olmak zorundadır.
Örnek 2. $G = \mathbb{R}$ olsun. O zaman her $a \in\mathbb{R}$ için $\langle a\rangle = a\mathbb{Z}$ olur. Aslında bu eşitlik sadece $\mathbb{R}$’de değil, işlemi toplama ile gösterilen her grupta geçerlidir, ama tabii bazen $a\mathbb{Z} $ sonlu bir küme olabilir.
Örnek 3. $G = \mathbb{R}^*$ olsun. O zaman her $a \in\mathbb{R}^*$ için
$$\langle a\rangle=\{a^n:n\in\mathbb{Z}\}$$
olur (tabii ki!) Pek rağbet görmese de bu grup $a\mathbb{Z}$ olarak gösterilebilir. Eğer $a = -1$ ise $\langle a\rangle = \{1, -1\}$ olur.
$\langle a\rangle=\{a^n:n\in\mathbb{Z}\}$ eşitliği sadece $\mathbb{R}^*$ grubunda değil, her grupta geçerlidir, ama tabii bazen $\langle a\rangle$ sonlu bir küme olabilir.
Örnek 4. $G=\prod_I\mathbb{Z}$ olsun. $e_i\in G$ elemanı, $i$ dışında her koordinatı $0$ olan ve $i$’inci koordinatı $1$ olan eleman olsun. Yani eğer
$$\delta_{i,j}=\begin{cases}1& \text{eğer $i=j$ ise}\\0&\text{eğer $i\neq j$ ise}\end{cases}$$
ise ($\delta_{i,j}$ Kronecker $\delta$ sembolü olarak bilinir),
$$e_i=(\delta_{i,j})_{j\in I}$$
olsun. Eğer
$$\langle e_i:i\in I\rangle=\bigoplus_I\mathbb{Z}$$
olur. Benzer durum başka grupların kartezyen çarpımında da yaşanır.
Alıştırmalar
1. $G = \mathbb{Z}$ ve $x = 3$, $y = 2$ olsun. $\langle x, y\rangle = \mathbb{Z}$ eşitliğini kanıtlayın.
2. $G = \mathbb{Z}$ ve $x = 84$, $y = 30$, $z = 231$ olsun. $\langle x,y,z\rangle$ altgrubunun neye eşit olduğunu bulun.
3. $G=\mathbb{R}^*$, $x=\sqrt{2}$, $y=\sqrt{3}$ olsun. $\langle x,y\rangle$ altgrubunun $x^ny^m$ elemanlarının farklı $n$ ve $m$ tamsayıları için farklı değerler verdiğini kanıtlayın.
4. $G$ bir grup $x,y\in G$ olsun. deg $x=$ deg $y=2$ ve deg $xy=n<\infty$ varsayımını yapalım. $|\langle x, y\rangle| = 2n$ eşitliğini kanıtlayın.
5. $n > 0$ bir tamsayı olsun. $r$, düzlemi $(0, 0)$ noktası etrafında $2\pi/n$ radyan (ya da $360/n$ derece) döndüren dönüşüm olsun. O zaman $r \in$ Sym $\mathbb{R}$ ve deg $r = n$ olur. $k \in \mathbb{Z}$ olsun. $\langle r^k\rangle = \langle r\rangle$ eşitliğinin geçerli olması için obeb$(n, k) = 1$ olması gerektiğini kanıtlayın.
6. $G$ bir grup, $X \subseteq G$ ve $H = 〈X〉$ olsun. Eğer $g \in G$ için $g^{-1}Xg \subseteq X$ oluyorsa $g^{-1}Hg \subseteq H$ olduğunu kanıtlayın. Eğer her $g \in G$ için $g^{-1}Xg \subseteq X$ oluyorsa, her $g \in G$ için $g^{-1}Hg = H$ olduğunu kanıtlayın.
7. $H \leq G$ ve $x ∈ G$ olsun. Eğer $H$ altgrubu en fazla $n$ eleman tarafından üretiliyorsa, $〈H, x〉$ altgrubunun en fazla $n + 1$ eleman tarafından üretildiğini kanıtlayın.
8. $H, K ≤ G$ olsun. Eğer $H$ altgrubu en fazla $n$, $K$ altgrubu en fazla $m$ eleman tarafından üretiliyorsa, $〈H, K〉$ altgrubunun en fazla $n + m$ eleman tarafından üretildiğini kanıtlayın.
9. $H ≤ G$ ve $x ∈ G$ olsun. Eğer $H$ altgrubu en fazla $n$ eleman tarafından üretiliyorsa, $x^{-1}Hx$ altgrubunun da en fazla $n$ eleman tarafından üretildiğini kanıtlayın.
10. $G$ bir grup ve $x, y ∈ G$ olsun. deg $x =$ deg $y = 2$ ve deg $xy = ∞$ varsayımını yapalım. $|〈x, y〉| = \{(xy)^n : n ∈ Z\} \sqcup \{x(xy)^n : n ∈ Z\}$ eşitliğini ve sağ tarafta gösterilen elemanların her birinin diğerinden farklı olduğunu kanıtlayın.
11. $G$ bir grup ve $x, y ∈ G$ olsun. $xy = yx$ varsayımını yapalım. $〈x, y〉$ altgrubunun $x^ny^m$ elemanlarının farklı $n$ ve $m$ tamsayıları için farklı değerler vermemesiyle, her ikisi birden $0$ olmayan $n$ ve $m$ tamsayıları için $x^n = y^m$ eşitliğinin doğru olmasının eşdeğer koşullar olduğunu kanıtlayın.
12. $\mathbb{Z}^n$’nin her altgrubunun en fazla $n$ eleman tarafından üretildiğini kanıtlayın. $\mathbb{Z}^n$’nin $n$’den daha az eleman tarafından üretilemeyeceğini kanıtlayın. (İkinci kısım zordur, hatta bu aşamada imkânsız olabilir. Ama $n$’nin küçük değerleri için denenebilir.)
13. $\mathbb{Z}^n$ grubunun her altgrubunun en fazla $n$ eleman tarafından üretildiğini kanıtlayın. ($n$ üzerine tümevarımla ama bu alıştırma bu aşamada zor olabilir.)
14. $\mathbb{Q}$ grubunun sonlu sayıda eleman tarafından üretilmediğini kanıtlayın.
15. Eğer $X$ kümesi $\mathbb{Q}$ grubu üretiyorsa ve $x ∈X$ ise $X \backslash \{x\}$ kümesinin de $\mathbb{Q}$ kümesini ürettiğini kanıtlayın. (Çok kolay olmayabilir.)
16. $\mathbb{R}$’nin (ya da $\mathbb{Q}$’nün) her altgrubunun ya $1$ eleman tarafından üretildiğini ya da $\mathbb{R}$’de (ya da $\mathbb{Q}$’de) yoğun olduğunu kanıtlayın.
