$ G $ bir grup ve $g \in G$ olsun. Bazen bir $n \neq 0$ tamsayısı için $g^{n}=1$ olur. $g^{-n} = (g^n)^{-1} =1$ olduğundan, $g^{n}=1$ eşitliğinis sağlayan bir $n \neq 0$ tamsayısı varsa, o zaman $g^{n}=1$ eşitliğini sağlayan poziitf bir $n$ doğal sayısı vardır. Bu durumda, $g^{n}=1$ eşitliğini sağlayan en küçük $n>0$ doğal sayısına $g$’nin derecesi adı verilir ve bu
$deg$ $g = n$
olarak gösterilir. Bazen de böyle bir $n>0$ sayısı yoktur; bu durumda dereceniin sonsuz $(\infty)$ olduğu söylenir ve
$deg$ $g = \infty$
yazılır. Derecesi $1$ olan yegâne eleman $1$’dir. Bir grubun derecesi sonlu olan elemanlarına burulmalı eleman adı verilir. Diğer elemanlar burulmasız eleman olarak anılır.
Eğer $G$ değişmeli bir grupsa ve işlemi $+$ ile ifade edilmşse, $g^{n}$ verine $ng$ yazıldığını unutmayın. Konuya yeni başlayan biri için, çarpımsal ifadeden toplamsal ifadeye geçmek biraz zahmet ve dikkat gerektirebilir.
Örnekler
1. $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ gruplarında stkisiz eleman $0$ dışında elemanların dereceleri sonlu olmazlar çünkü bu gruplarda $n \in \mathbb{Z}$ için $nx = 0$ oluyorsa, $n = 0$ olmak zorundadır.
2. $\mathbb{Q^*}$ ve $\mathbb{R^*}$ gruplarının $g = \left( \begin{array}{cc} 1 &2& 3& 4\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}5& 6& 7& 8& 9\end{array} \right)$ elemanının derecesi $12$’dir.
3. $Sym$ $\mathbb{N}$ grubunun şu iki elemanını alalım:
$g = (0$ $1)(2$ $3)(4$ $5) …$
ve
$h = (1$ $2)(3$ $ 4)(5 $ $6) …$
Her iki elamanın da derecesi $2$’dir. Çarpım (bileşke yani) yapılırsa,
$gh = (… 6$ $4 $ $2$ $0$ $1$ $3$ $5 …)$
ve
$hg =(… 5$ $3$ $1$ $0$ $2$ $4$ $6 …)$
bulunur. $deg$ $g =$ $deg$ $h = 2$’dir ama $deg$ $gh =$ $deg$ $hg$ $hg = \infty$ olur.
Alıştırmalar
1. $G_{1}$ ve $G_{2}$ iki grup, $g_{1} \in G_{1}$ ve $g_{2} \in G_{2}$ olsun. Eğer $g_{1}$ ve $g_{2}$ elemanlarından birinin derecesi sonsuzsa, $G_{1}\times G_{2}$ kartezyen çarpımının $(g_{1},g_{2})$ elemanının sa derecesi sonsuz olduğunu kanıtlayın. Eğer $deg$ $ g_{1}$ ve $deg$ $g_{2}$ birer doğal sayıysa,
$deg$ $ (g_{1},g_{2}) = ekok (deg$ $g_{1}$ ,$deg$ $g_{2})$
eşitliğini kanıtlayın. Dolayısıyla
$deg$ $(g_{1}, g_{2}) = \infty$
ise ya $deg$ $g_{1}$ ya da $deg$ $g_{2}$ sonsuz olmak zorundadırlar.
2. Bir grupta derecesi sonlu olmak zorunda mıdır?
3. $(G_{i})_{i}$ bir grup ailesi olsun. Her $(G_{i})$ grubunun her elemanı burulmalıysa, $\bigoplus_{i} $ $G_{i} $ grubunun her elemanının burulmalı olduğunu kanıtlayın. Bu durmda gruba burulmalı grup denir.
4. Sonlu grupların burulmalı olduğunu kanıtlayın.
5. Eğer $n$ $m$ aralarında asalsa, dereceler sonlu da olsa, $deg$ $g^n = $ $deg$ $g^n $ olduğunu kanıtlayın.
Sonlu bir grupta tüm elemanların dercesi sonludur. Çünkü sonlu bir grupta
$g,g^2,g^3, …$
elemanlarının hepsi birbirinden farklı olamazi demek ki $0<m<n$ için
$g^n = g^m$
ve dolayısıyla
$g^{n-m} = 1$
olmak zorundadır. Bundan da $deg$ $g< \infty$ çıkar.
Önsav 1. $G$ bir grup, $g \in G$ ve $deg$ $g = d<\infty$ olsun. O zaman $g^n=1$ eşitliğinin doğru olması için $d$’nin $n$’yi bölmesi gerek ve yeter koşuldur. Bunun sonucu olarak, $g^k=g^\ell$ eşitliğinin doğru olması için yeter ve gerek koşul $d$’nin $k-\ell$ sayısını bölmesidir.
Kanıt: Eğer $d$, $n$’yi bölüyorsa, $n =qd$ eşitliğini sağlayan bir $q \in \mathbb{Z}$ seçelim. O zaman,
$g^n=g^{dq} = (g^d)^q=1^q=1$ olur.
Şimdi $g^n=1$ varsayımını yapalım. $n$’yi $d$’ye bölelim: Bir $q\in \mathbb{Z}$ ve $r = 0, 1 …,d-1$ için $n = qd+r$ olur ve o zaman da
$1=g^n=g^{qd+r}=g^{qd}g^r=(g^d)^{q}g^r=1^1g^r=g^r$, yani $g^r=1$ olur. Ama $0 \leq r <d$ olduğundan, derecenin tanımından dolayı $r=0$ bulunur. Demek ki $n=qd+r=qd+0=qd$ ve $d$, $n$’yi böler. $g^k=g^{\ell}$ eşitliği ancak $g^{k-\ell}=1$ ise geçerlidir. Son önerme ve bir önceki öenrmeden çıkar. $\Box$
Sonuç 2. $G$ bir grup, $g\in G$ ve $p$ bri asal olsun. Eğer $g^p=1$ ise ya $g=1$ ya da $deg$ $g=p$ olur. $\Box$
Demek ki Önsav 1’e göre, bir grupta $deg$ $g=6$ ise, mesela $g^{124}=g^4$ olur ve $g$’nin (negatif ya da pozitif) tüm kuvvetleri
$1, g, g^2, g^3, g^4, g^5$
elemanlarından birine eşittir. Ayrıca yukarıda sıralanan elemanlar birbirine eşit olamazlar. Bunun bir önsav olarak yazalım:
Teorem 3. Eğer bir grubun bir $g$ elemanının derecesi $d<\infty$ ise
$\{g^n : n\in\mathbb{Z}\} = \{1, g, g^2, …, g^{d-1}\}$
olur ve bu kümenin tam $d$ tane elemanı vardır. Tersine, eğer bu kümenin $d$ tane elemanı varsa, o zaman $g$’nin derecesi $d$’dir.
Kanıt: $n\in\mathbb{Z}$ olsun. $n$’yi $d$’ye bölelim: Bir $q\in\mathbb{Z}$ ve $r=0, 1, …, d-1$ için
$n=qd+r$
olur ve o zaman da
$g^n=g^{qd+r}=g^{qd}g^r=(g^d)^{q}g^r=1^1g^r=g^r$
elde ederiz. Bu birinci önerme. Şimdi eşitliğin sağındaki kümede $d$ tane eleman olsuğunu kanıtlayalım: Eğer $k, \ell \in\{0, 1, …, d-1\}$ sayıları için $g^k=g^{\ell}$ ise o zaman $g^{k-\ell}=1$ olur. Demek ki Önsav 1’e göre $d$ sayısı $k-\ell$ sayısını bölmeli.
$-d<k-\ell<d$
olduğundan, bu da ancak $k-\ell=0$ ise, yani $k=\ell$ mümkündür.
Şimdi $\{g^n : n\in\mathbb{Z}\}$ kümesinin tam $d$ tane elemanını olduğunu varsayalım. Eğer
$0\leq k<\ell<d$ için $g^k=g^{\ell}$
olsaydı, o zaman $g^{k-\ell}=1$ olurdu. Ama o zaman da $g$’nin derecesi $\ell-k$’dan, dolayısıyla $d$’den küçük olurdu. Ama birinci önermeye göre bu durumda $\{g^n : n\in\mathbb{Z}\}$ kümesinin $d$’den az elemanı olurdu, çelişki. Demek ki
$1=g^0,g=g^1 , g^2, …, g^{d-1}$ elemanları birbirinden farklı ve
$\{g^n : n\in\mathbb{Z}\} = \{1, g, g^2, …, g^{d-1}$.
Demek ki $g^d$ elemanı dağ kümede beliren $d$ elemandan birine eşit olmalı, yani $0\leq k\leq d-1$ için
$g^d=g^k$
olamı. Buradan
$g^{d-k}=1=g^0$
çıkar . Bir iki satır önce bu eşitliğin ancak $k=0$ ise doğru olabileceğini gördük. Demek ki
$g^d=g^k=g^0=1$.
Öte yandan $g$’nin daha küçük bir pozitif kuvveti $1$ olamayacağından, $g$’nin derecesi $d$ olmalıdır. $\Box$
Eğer grubun işlemi $+$ ise, teoremdeki
$\{g^n : n\in\mathbb{Z}\} = \{1, g, g^2, …, g^{d-1}$
eşitliği
$\{ng : n\in\mathbb{Z}\} = \{1, g, 2g, …, (d-1)g$
biçimini alır. Elemanın derecesi sonlu da olsa sonsuz da olsa $\{ng : n\in\mathbb{Z}\} $ kümesi $\mathbb{Z}g$ ya da $g\mathbb{Z}$ olarak yazılır.
Bu önemli teoremden sonra yazıyı dereceler üzerine çok yararlı birkaç sonuçla bitiriyoruz.
Önsav 4. $deg$ $g=d<\infty$ ve $n\in\mathbb{Z}$ ise
$deg$ $g^n=\frac{d}{ebob(d,n)}$
olur. Demek k $ebob(d,n)=1$ ise $deg$ $g=$$deg$ $g^n$ olur.
Kanıt: Önsav 3’e göre, $0\leq n<d$ varsayımını yapabilriz. $deg$ $g^n=k$ olsun. Kanıtı iki parçaya ayıracağız.
a. Eğer $ebob(d,n)=1$ ise. Bu durumda
$deg$ $g^n=d$
eşitliğini kanıtlamalıyız. Elbette
$(g^n)^d=(g^d)^n=1^n=1$
olur. Önsav 1’e göre $k|d$. Ayrıca $1=(g^n)^k=g^{nk}$ olduğundan, $d|nk$. Demek ki varsayımımıza göre $d|k$. Burdan $k=d$ çıkar.
b. Eğer $n|d$ ise. Bu durumda $deg$ $g^n=d$ $n$ eşitliğini kanıtlamalıyız. Elbette $(g^n)^{d/n}=g^d=1$ olur. Önsav 1’e göre $k|d/n$ ve $k\leq d/n$. Eğer $k<d/n$ olsaydı, $kn<d$ ve $g^{kn}=(g^n)^k=1$ olurdu, çelişki. Demek ki $k=d/n$.
c.Genel durum. $d$’yi bölen bir $a$ ve $d$’ye asal bir $b$ için $n=ab$ olsun. Elbette $a=ebob(d,n)$ olur. O zaman yukarıda yapılanlardan dolayı,
$deg$ $g^n=$ $deg$ $(g^a)^b=$$deg$ $g^a=d/a$
eşitliğini elde ederiz. $\Box$
Önsav 5. $G$ bir grup ve $a,b\in G$ dereceleri sonlu olan ve $ab=ba$ eşitliğini sağlayan iki eleman olsun. O zaman
$deg$ $ab|ekok($$deg$ $a$,$deg$ $b$$)$
ve eğer
$ebob($$deg$ $a$,$deg$ $b$$)=1$ ise
$deg$ $ab=$$deg$ $a$ $deg$ $b$ olur.
Kanıt. Birinci kısım sayfa 43’teki Önsav 2’den ve bu yazıdaki Önsav 1’den çıkar. İkinci kısmı kanıtlayalım. $k=$$deg$ $ab$ olsun. Demek ki $(ab)^k=1$, yani $a^k=b^{-k}$.
Birinci kısma göre $k|$$deg$ $a$ $deg$ $b$. Madem öyle, $d|$$deg$ $a$ ve $e|$$deg$ $b$ için $k=de$ yazalım. Önsav 4’e göre
$deg$ $a^k=$ $\frac{deg a}{ebob(deg a,k)}=\frac{deg a}{d}$
ve
$deg$ $b^{-k}=\frac{deg b}{ebob(deg b,k)}=\frac{deg b}{e}$ olur. Dolayısıyla
$\frac{deg a}{d}=\frac{degb}{e}$
olmalı. Ama $deg$ $a$ ve $deg$ $b$ aralarında asal olsuğundan, bundan, $deg$ $a=d$ ve $deg$ $b=e$ çıkar. Demek ki
$k=de=$$deg$ $a$ $deg$ $b$ olur. $\Box$
Alıştırmalar
4. $G$ değişmeli bir grup olsun. Eğer $a\in G$ burulmasız, $1\neq b\in G$ burulmalıysa, $ab$ elemanının burulmasız olduğunu kanıtlayın.
5. $Sym$ $12$ grubunun derecesi en büyük elemanlarının tipini bulun.
6. Eğer $deg$ $g=n$ ve $m$ sayısı $n$’yi bölüyorsa, grupta derecsi $m$ olan bir eleman varlığını kanıtlayın.
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 2013 yılı II. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Muhammet Boran‘a ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.
