Tamsayılar kümesi , toplama işlemiyle birlikte, bir önceki yazıda gördüğümüz üzere bir gruptur. Gruplar arasında herhalde okurun en aşina olduğu gruptur. Oldukça basit bir gruptur ama yapacağımız her şeyin temelidir. Bu yazıda grubunu inceleyeceğiz. Ama sadece toplamayla değil, çarpmayla da ilgileneceğiz. Tamsayılarda toplamayla çarpma arasında oldukça yakın bir ilişki olduğundan, bu pek zor olmayacak ve bizi konumuzdan fazla uzaklaştırmayacak.
Bir tamsayısı için
olarak tanımlanan kümesi de toplama altında bir gruptur. Nitekim grup olmanın tüm özelliklerini sağlar. Bu yüzden grubuna ’nin altgrubu adı verilir. Daha genel tanım şöyle: Eğer ’nin bir altkümesi toplama işlemiyle birlikte bir grup oluyorsa, o zaman ’ya ’nin altgrubu adı verilir ve bu durumda yazılır. Eğer altgrubu ’den farklıysa, ’ya ’nin özaltgrubu adı verilir.
Aşağıdaki teorem bu yazının ana teoremidir. Kanıtının özünde şu basit olgu yatar: Eğer ise, sayısı, kümesinin en küçük pozitif doğal sayısıdır, yani min\{0}) olur.
Teorem1. ’nin her altgrubu, bir ve bir tek doğal sayısı için biçimindedir.
Ayrıca eğer altgrup {}’dan farklıysa, bu sayısı altgrubun en küçük pozitif sayısıdır.
Kanıt: olsun.
’nın etkisiz elemanına bu paragraflık adını verelim. Tabii ki eşitliği sağlanır. Demek ki . Böylece sayısının ’da olduğunu kanıtladık. Demek ki ’nın etkisiz elemanı imiş.
Eğer ise, ’in ’da bir tersi vardır, diyelim . Bir önceki paragrafa göre olur. Demek ki . Böylece ’nın her elemanının eksilisinin de ’da olduğunu, yani
içindeliğini kanıtlamış olduk. Buradan
çıkar.
Eğer ise, alalım; teorem sağlanır. Bundan böyle ’nın sayısından ibaret olmadığını varsayalım. Eğer ise, bir önceki paragrafa göre de ’da olduğundan, ’da en azından pozitif bir doğal sayının olduğunu görürüz. Yani
\{0}
olur.
min\{0}) olur.
olsun. Yani ’daki en küçük pozitif doğal sayı olsun. eşitliğini kanıtlayacağız.
Önce içindeliğini kanıtlayalım. Eğer ise, sayısı da ’nın bir elemanı olduğundan,
olur. Ayrıca
.
Bu iki olgudan, tümevarımla
.
çıkar. Şimdi istediğimize içindeliği kanıtlayabiliriz:
Şimdi içindeliğini kanıtlayalım. Önce kümesinden rastgele bir elemanı alalım. Tümevarımla ’nin kümesinde olduğunu kanıtlayacağız. kümesinin ’den küçük sayılarının kümesinde olduklarını varsayalım. Eğer ise, sayısının seçiminden dolayı
olmak zorundadır. Eğer ise,
olur. olduğundan, tümevarım varsayımına göre olur. Buradan da
çıkar.
Eğer negatif bir sayıysa, o zaman
olur ve bir önceki paragrafa göre olur. Buradan bulunur.
Benzer bir sınıflandırmayı, sayfa 52’deki Alıştırma 16’da × ´ için yapacağız.
altgruplarının bazı basit ama önemli özellikleri vardır. Bu özellikleri sıralayalım. Ama önce bir tanım. olsun. Eğer bir için eşitliği sağlanıyorsa, ’nin ’yı böldüğü söylenir ve bu olarak gösterilir. Tanıma göre her sayıyı böler ve sayısı, dahil, her sayıya bölünür. Ama sadece ’ı böler, nitekim eşitliğinin ancak ise bir çözümü vardır ve bu durumda her bir çözümdür. Eğer ve ise tanımdaki sayısı biriciktir; bu durumda ’ya “ bölü ” adı verilir ve olarak yazılır. Eğer ise her sayısı eşitliğini sağladığından bu durumda “ bölü ” diye bir sayıdan sözedilmez, yani “ bölü ” tanımlanmamıştır.
Eğer sayısı ’yi bölüyorsa, bu,
mod
olarak yazılır. Bunu “ sayısına modülo denk” olarak okuruz.
Bölme hakkında en basit olguları okurun bildiğini varsayacağız.
Önsav 2. Her $n, m \in \mathbb{Z}$ içi şu önermeler doğrudur:
İ. içindeliği ancak ve ancak ise, yani ancak ve ancak ise doğrudur.
İİ. eşitliği ancak ve ancak ise doğrudur. Demek ki ’nin bir özaltgrup olmasıyla eşdeğer koşullardır.
İİİ. altgrubunun maksimal bir özaltgrup olması için ve ’nin ve ’den başka bir tamsayıya bölünmemesi gerek ve yeter koşuldur.
Kanıt: (i) okura bırakılmıştır. (ii), (i)’den hemen çıkar. (iii) de (i) ve (ii)’den çıkar.
Önsavın iii‘üncü maddesindeki gibi bir tamsayısına indirgenemez adı verilir. Demek ki bir sayısının indirgenemez olması için,
ise ya ya da olmalıdır. Bir başka deyişle eşitliği ancak bariz ve sayıları için gerçekleşebilir. gibi sayılar indirgenemezdir. sayıları da indirgenemezdir. sayıları indirgenemez değildir.
ve , ’nin iki altgrubu olsun. O zaman,
{}
kümesi de bir gruptur. Nitekim, ve rastgele elemanlar olsun. O zaman,
olduğundan, kümesi toplama altında kapalıdır. Ayrıca, olduğundan,
olur. Son olarak,
olur. Demek ki kümesi gerçekten toplama işlemiyle birlikte bir grupmuş, yani ’nin bir altgrubuymuş. Bu söylediklerimizden ve Teorem 1’den şu önemli sonuç çıkar:
Teorem 3. Her için öyle bir ve bir tane vardır ki olur.
Yazımızın bundan sonraki bölümü grup teoriden ziyade basit aritmetikle ve çarpmayla ilgili olacak. Okur muhtemelen ve umarız kanıtlayacaklarımızın özünü biliyordur. Yöntemin ve tanımların ilgi çekeceğini umuyoruz.
Teorem 3’teki sayısına ve ’nin en büyük ortak böleni adı verilir. Nitekim gerçekten öyledir, adına layıktır yani:
olduğundan, sayısı ’ye bölünür. Benzer şekilde sayısı da ’ye bölünür. Demek ki sayısı hem ’yi hem de ’yi bölüyor. Ayrıca, eğer doğal sayısı hem ’yi hem de ’yi bölüyorsa, o zaman sayısı
kümesinin tüm elemanlarını ve özellikle de ’yi böler. Yani ve sayılarının ortak bölenleri aynen sayısının bölenleridir.
Verilmiş için teoremde varlığı ve biricikliği kanıtlanan sayısı
ebob()
olarak yazılır. Bazıları “en büyük ortak bölen”in başharflerinden oluşan ebob yerine Türkçe ses uyumuna daha uyduğu için obeb’i tercih eder.
Aşağıdaki sonuç ebob’un tanımının doğrudan bir sonucu.
Sonuç 4 [Bézout Teoremi]. Her için öyle vardır ki ebob() olur.
Eğer ebob() ise tamsayılarının aralarında asal olduğu söylenir. Örneğin 6 ve 35 aralarında asal sayılardır.
Teorem 5. ve tamsayılarının aralarında asal olması için yeter ve gerek koşul
eşitliğini sağlayan tamsayılarının olmasıdır.
Kanıt: Soldan sağa tanım gereği. Tersine
eşitliğini sağlayan tamsayıların olduğunu varsayalım. O zaman ebob() sayısı hem ’yi hem de ’yi böldüğünden, ’i de bölmek zorundadır. Demek ki ebob() .
Ama yukarıdaki teoremde yerine alamayız; örneğin olur ama ebob() olmaz.
Eğer ’den farklı bir tamsayısı, her için, ’yi böldüğünde, ya ’yi ya da ’yi bölmek zorunda kalıyorsa, o zaman ’ye asal sayı adı verilir. Elbette eğer bir asal sayıysa ve
çarpımını bölüyorsa, o zaman ( üzerine tümevarımla) sayısı sayılarından birini böler.
Şimdi indirgenemezlikle asallık arasında bir ayrım olmadığını göreceğiz.
Teorem 6. Bir tamsayının asal olması için yeter ve gerek koşul indirgenemez olmasıdır.
Kanıt. Önce ’nin asal olduğunu varsayalım. doğal sayısı ’yi bölsün. eşitliklerinden birinin doğru olduğunu kanıtlayacağız. Demek ki bir için olur. O zaman sayısı ’yi böler. Bundan da, asal olduğundan, ’nin ya ’yi ya da ’yi böldüğü çıkar. Önce varsayımını yapalım. O zaman bir tamsayısı için olur. Buradan da ve dolayısıyla , ve ve çıkar. Şimdi varsayımını yapalım. O zaman bir tamsayısı için olur. Buradan da
ve dolayısıyla çıkar.
Şimdi de ’nin bir indirgenemez olduğunu varsayalım. için olsun. ’nin ya ’yi ya da ’yi böldüğünü kanıtlamalıyız. Diyelim sayısı ’yi bölmüyor. O zaman ’nin ’yi böldüğünü kanıtlamalıyız. bir asal olduğundan, hem ’yi hem de ’yi sadece ve sayıları böler. Ama , ’yi (varsayımımızdan dolayı) bölmediğinden, ve ’nin ortak bölenleri sadece sayılarıdır, yani ve aralarında asaldır. Bézout teoremine göre
eşitliğini sağlayan ve sayıları vardır. Bu eşitliği ile çarpalım:
elde ederiz. Ama . Demek ki
.
Bu eşitliğin sol tarafını böler. Demek ki , sağ tarafını da böler. Yani ’yi böler.
Buraya kadar gelmişken aritmetiğin temel teoremini kanıtlamamak olmaz. Önce bir önsav:
Önsav 7. ’den büyük her doğal sayı bir indirgenemeze (yani bir asala) bölünür.
Kanıt: Doğal sayımıza diyelim.
{min\{1}: }
olsun. olduğundan, boşküme değildir. ’nin bir altkümesi olduğundan en küçük bir elemanı vardır. Bu elemana diyelim. Demek ki ’yi bölüyor ve ’yi bölen en küçük ’den büyük doğal sayı. ’yi bölen her doğal sayı ’yi de bölmek zorunda olduğundan, bir indirgenemez olmalı.
Sonuç 8. Eğer sayısı çarpımını bölüyorsa ve ve aralarında asalsa, sayısı ’yi böler.
Kanıt: Eğer ise sorun yok, ayrıntıları okura bırakıyoruz. Bundan böyle olsun. ’yı bölen pozitif bir asal sayı olsun. O zaman , ’yi de böler. Demek ki ya ’yi ya da ’yi böler. Ama ile aralarında asal olduğundan, , ’yi bölemez. Demek ki , ’yi böler. Şimdi ve yazalım. sayısı sayısını böldüğünden, sayısı sayısını böler. Ve ve sayıları (aynen ve gibi) aralarında asaldır. olduğundan, tümevarımla ’in ’i böl- düğünü söyleyebiliriz. Demek ki sayısı sayısını böler.
Teorem 9 [Aritmetiğin Temel Teoremi]. ’dan farklı her doğal sayı sonlu sayıda pozitif asalın çarpımı olarak yazılır. Ayrıca eğer ve asalları içi ise olur ve bir Sym için olur. (Yani sağda ve solda aynı sayıda asal vardır ve soldaki çarpımla sağdaki çarpım arasında, belki asalların çarpım sırası dışında, hiçbir fark yoktur.)
Kanıt: olsun. Kanıtımızda asallarla indirgenemezler arasında ayrım olmadığı olgusunu kullanacağız, ama iki ayrı kavramdan sözettiğimiz
açıkça belli olsun diye “asal” ve “indirgenemez” terimlerini tanımlarına uygun biçimde kullanacağız. ’yi (asalların değil!) indirgenemezlerin çarpımı olarak yazacağız. Bunu üzerine tümevarımla yapacağız. Eğer ise, , hiç tane indirgenemezin çarpımıdır! Çünkü matematikte boşkümenin elemanlarının çarpımı olarak tanımlanır. (Boşkümenin elemanlarının toplamı da olarak tanımlanır.) Bundan böyle olsun ve ’den küçük her sayının sonlu sayıda indirgenemezin çarpımı olarak yazıldığını varsayalım. Önsav 7’ye göre bir indirgenemezi ’yi böler. Diyelim . Ama olduğundan, tümevarım varsayımına göre sonlu sayıda indirgenemezin çarpımıdır. Demek ki sayısı da sonlu sayıda asalın çarpımıdır. Bunu tümevarımla kanıtlamak yerine (aslında aynı kapıya çıkan) “sonsuza iniş” yöntemiyle de kanıtlayabilirdik: Diyelim teoremin ilk önermesi yanlış, yani ’dan farklı her doğal sayı indirgenemezlerin çarpımı olarak yazılamıyor. O zaman indirgenemezlerin çarpımı olarak yazılan en küçük pozitif doğal sayı vardır. Bu doğal sayıya diyelim ve yukardaki paragaraftaki gibi ve sayılarını bulalım. olduğundan, indirgenemezlerin çarpımı olarak yazılabilir; demek ki sayısı da indirgenemezlerin çarpımı olarak yazılabilir. Şimdi ikinci önermeyi kanıtlayalım. ve asalları için olsun. Kanıtımızı üzerinden tümevarımla yapacağız. Eğer ise, yani sol tarafta çarpılan hiç asal yoksa, o zaman soldaki çarpım 1’e eşittir. Dolayısıyla sağdaki çarpım da ’e eşittir. Buradan da sağda da çarpılan asal olmadığı çıkar. Demek ki olur. Bundan böyle olsun. asalı soldaki çarpımı böldüğü için sağdaki çarpımı da böler, demek ki sağdaki asallarından birini böler. ’in böldüğü bu asala diyelim. Ama bir asal, dolayısıyla bir indirgenemez olduğundan, bundan çıkar. Sadeleştirmeyi yaparsak, çıkar. Sol tarafta tane, sağ tarafta tane asal sayı çarpıldığından, tümevarım varsayımına göre, olur ve soldaki asalının her biri sağdaki asallarından birine eşit olur. Bu da kanıtımızı tamamlar. Oldu olacak ekok kavramını da görelim. ’nin iki altgrubunun kesişimi de bir altgruptur. Nitekim eğer ise,
olur; eğer ise, hem
hem de
olduğundan,
olur.
Şimdi olsun. Bir önceki paragrafa göre olur. Teorem 1’e göre, bir ve bir tane için olur. Bu sayısına ve sayılarının en küçük ortak katı adı verilir ve bu sayı ekok() olarak yazılır. Tanıma göre, ’ye ve ’ye bölünen sayılar aynen ekok()’ye bölünen sayılardır. Yani , gerçekten de adının ifade ettiği gibi hem ’ye hem de ’ye bölünen en küçük doğal sayıdır.
Bazıları ekok yerine Türkçe ses uyumuna daha uyduğu için okek’i tercih eder.
ebob ile ekok arasında basit bir ilişki vardır:
Teorem 10. Her için
ebob() ekok()
olur.
Kanıt: Teoremi pozitif ve doğal sayıları için kanıtlamak yeterli. Bundan böyle olsun. Amacımız ebob() ekok() eşitliğini kanıtlamak.
ebob() , , olsun. Elbette ve sayıları aralarında asaldır. Ve sayısı elbette sayısını böler.
sayısının ekok() sayısına eşit olduğunu kanıtlayacağız.
eşitliklerinden dolayı sayısı hem ’ye hem de ’ye bölünür.
Diğer yandan; diyelim sayısı hem ’ye hem de ’ye bölünüyor. ’nın sayısına bölündüğünü kanıtlayacağız ve böylece ekok() eşitliği kanıtlanmış olacak. Bir için yazalım. sayısı sayısını böldüğüne göre, sayısı sayısını böler. Ama ile aralarında asal olduğundan, buradan ’in ’yu böldüğü çıkar. Demek ki sayısı sayısını böler.
Kümelerinin Kesişimleri
Bu paragrafta gibi kümelerin kesişimlerini bulacağız. Herhangi bir karışıklığa mahal vermemek için tanımı açık açık yazalım:
{}.
Örneğin tek sayılar kümesidir. ’e bölündüğünde kalanın olduğu tamsayılar kümesidir, yani
{}. Bu arada,
gibi eşitliklere dikkat edelim. Genel olarak kümesini betimlemede kullanılan yerine ve yerine kümesinden herhangi bir sayı koyabiliriz, küme değişmez; yani
ve
eşdeğerliği geçerlidir. Bunun kanıtını okura bırakıyoruz. Dolayısıyla ’yi her zaman ve ’yı sayıları arasından seçebiliriz ( yerine, ’yı ’ye böldüğümüzde elde edilen kalanı alabiliriz). Birkaç örnekle başlayalım:
olur çünkü kümesi tek sayılardan oluşur, oysa kümesinin elemanları çifttir. Şu örnek de kolay:
ya da
.
Daha zor örnekler var. Örneğin,
.
Bu kesişimi bulmak yukarıdaki örneklerdeki kesi- şimleri bulmaktan daha zor. Birazdan doğruluğunu göreceğimiz yanıtı verelim:
.
İlk soracağımız soru şu:
kesişimi ne zaman boşküme olur? Ve boşküme olmadığında hangi kümeye eşit olur?
Diyelim . Kesişimden bir elemanı alalım. Demek ki için
olur.
sayılarının verildiğini ve yukarıdaki eşitliği sağlayan ve sayılarını bulmaya çalıştığımızı unutmayalım.
Yukarıdaki eşitlikten, eğer ebob() ise
çıkar. Demek ki ise mod
olur.
Şimdi de tam tersine mod varsayımını yapalım. Diyelim
.
Bézout teoremine göre
eşitliğini sağlayan ve tamsayıları vardır. Bu eşitliği ile çarparsak,
yani,
buluruz. Ama bu sayıya dersek, soldaki ifadeden
olduğu, sağdaki ifadeden
olduğu çıkar. Demek ki
.
Böylece,
tanımıyla,
mod
önermesini kanıtlamış olduk.
Şimdi mod önermesini varsayıp, boşküme olmadığını bildiğimiz
kümesinin hangi küme olduğunu bulalım. tabii ki hâlâ ebob() sayısına eşit. Kesişimden herhangi bir sayısı alalım. ’yi, ve tamsayıları için,
olarak yazalım. Şimdi, ekok() için,
eşitliğini kanıtlayalım. Sol taraftan bir eleman alalım, diyelim :
olsun. O zaman,
ve
olur. Tam tersine kümesinden bir alalım. Diyelim
.
O zaman, sayısı ’ye bölündüğünden,
olur. Benzer biçimde elde ederiz. ♥
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 2013 yılı II. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Hasan Kambay‘a ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.