Bazı Ortalamalar

Yazar: Hüseyin Demir

\(a\) ve \(b\) pozitif iki sayı ise

\[\frac{a+b}{2},\sqrt{ab}\]

sayılarına sırası ile, \(a\) ve \(b\) nin aritmetik ve geometrik ortalaması denilmekte ve bu iki ortalama liselerde işlenmektedir.

Bunların dışında kareli ortalama denilen \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\] sayısı ile \[\frac{2}{h} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b},~~~~~\frac{2}{k^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\] olarak tanımlı \(h\) ve \(k\) ortalamaları da bazı konularda yer almaktadır. Bunlardan \(h\) ye harmonik ortalama denilmektedir. \(k\) ye de kareli ters ortalama adını veriyoruz.

Geometrik ortalama dışındaki bu dört ortalama, şu genel \((1)\) ortalamasının özel halleridir:

\[g_{\alpha}(a, b) = \left(\frac{a ^ {\alpha} + b ^ {\alpha}}{2}\right) ^ {1/\alpha},\, \alpha \neq 0 \hspace{55pt} (1)\]

Gerçekten

\[ g_1 = \frac{a + b}{2},\, g_2 = \left(\frac{a^2 + b^2}{2}\right)^{1/2},\, g_{-1} = h,\, g_{-2} = k.\]

\((1)\) ortalaması \(\alpha = 0\) için tanımsız olup \(g_0\) ortalaması \[g_0 = \lim_{\alpha \to 0} \left(\frac{a^{\alpha} + b^{\alpha}}{2}\right) ^ {1/\alpha} \hspace{55pt} (2)\] olarak tanımlanıyor.

Bu limiti hesaplamak için \((1)\) de her iki tarafın logaritmasını alalım: \[\ln g_{\alpha} = \frac{1}{\alpha} \ln \frac{a^{\alpha} + b^{\alpha}}{2}\] Buradan, \[\ln (\lim_{\alpha \to 0} g_{\alpha}) = \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ln \frac{a^{\alpha} + b^{\alpha}}{2}}{\alpha} = \left[\frac{0}{0}\right]\] olup Hospital kuralı uygulandığında \begin{align*} \ln (\lim_{\alpha \to 0} g_{\alpha}) &= \frac{\lim_{\alpha \to 0} \frac{d}{d \alpha} \frac{a^{\alpha} + b^{\alpha}}{2}}{\lim_{\alpha \to 0} \frac{d}{d \alpha} \alpha}\\ &= \frac{\lim_{\alpha \to 0} \frac{a^{\alpha} \ln a + b^{\alpha} \ln b}{2}}{1}\\ &= \frac{\ln a + \ln b}{2} = \ln \sqrt{ab} \end{align*} bulunur ki \[g_0 = \lim_{\alpha \to 0} g_{\alpha} = \sqrt{ab}\] elde edilir. Bu da geometrik ortalamadır.

Öte yandan \(a \leq b\) aldığımızda \[a = \lim_{\alpha \to -\infty} g_{\alpha},~~~~~b = \lim_{\alpha \to \infty} g_{\alpha}\] olduğu ispatlanabilir ve böylece şu yedi ortalama söz konusu olur:

\[a,\, g_{-2},\, g_{-1},\, g_0,\, g_1,\, g_2,\, b.\]

\(\alpha\) nın başka değerlerine karşılık gelen ortalamaları konumuzun dışında bırakıyoruz.

Bu ortalamalar arasında \[g_{-i} g_{i} = g_0^2 = ab~~~(i = 1, 2)\hspace{55pt}(3)\] bağıntısının varlığı kolayca gösterilebilir.

Örnek: 3 ve 4 sayılarının, sözü edilen yedi ortalamasının hesabı.

1. \(g_{-\infty} = 3,\, g_{\infty} = 4\),
2. \(g_0 = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} = 3,464\dots\),
3. \(g_1 = \frac{7}{2} = 3,500\dots,\, g_{-1} = \frac{g_0^2}{g_1} = \frac{24}{7} = 3,428\dots\),
4. \(g_2 = \sqrt{\frac{25}{2}} = 5 \sqrt{2} / 2 = 3,535\dots\),
5. \(g_{-2} = \frac{g_0^2}{g_2} = \frac{12}{5 \sqrt{2} / 2} = \frac{12}{5} \sqrt{2} = 3,393\dots\),

Bu değerleri soldan sağa doğru büyüklük sırasına göre yazalım:

$$ g_{-\infty} = 3,\, g_{-2} = 3,393, …, g_{-1} = 3,428 …,$$ $$g_0 = 3,464 …,\, g_1 = 3,500\dots,\, g_2 = 3,535\dots,\, g_{\infty} = 4. $$

Bu ortalamaların, \(\alpha\) büyüdükçe büyüdüğünü gözlemekteyiz. Bu bir rastlantı olmayıp, genelde \(a \leq b\) için \[a \leq g_{-2} \leq g_{-1} \leq g_0 \leq g_1 \leq g_2 \leq b\hspace{55pt}(4)\] eşitsizlikleri vardır ve eşitsizlikler ancak \(a = b\) için geçerlidir.

\((4)\)’te tam 21 eşitsizlik yer almaktadır. Biz bunlardan sadece ilkini ispatlamakla yetineceğiz. Ötekilerin ispatı benzer olarak verilebilir.

$$ a \leq g_{-2} \iff a \leq \frac{a b}{\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}} \iff \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \leq b$$ $$\iff a^2 + b^2 \leq 2b^2 \iff a^2 \leq b^2.\text{(Doğru)} $$

Ortalamaların Çizimi

\(a\) ve \(b\) gibi (\(a \leq b\)) iki uzunluk verildiğinde \(g_{-2}, g_{-1}, g_0, g_1\) ve \(g_2\) uzunluklarını cetvel ve pergelle elde etmek istiyoruz.

Bir doğru üzerinde alınan bir 0 noktasının aynı tarafından \(|OA| = a\), \(|OB| = b\) olmak üzere \(A\) ve \(B\) noktalarını alıp \([AB]\) çağlı \(\Gamma\) yarıçemberini çizelim.

\(O\)’nun \(\Gamma\) çemberine göre \(|OA| \cdot |OB|\) kuvvetinden yararlanacağız.

1. \([AB]\) nin ortası (\(\Gamma\) nın merkezi) \(I\) ise \[|OI| = \frac{a + b}{2} = g_1\] dir. \(O\) merkez ve \(g_1\) yarıçaplı çemberi \(\Gamma\) ile kesiştirelim. Bu noktayı \(G_1\) ile gösterip \(OG_1\) in \(\Gamma\) yı yeniden kestiği noktaya \(G_{-1}\) dersek, \begin{align*} |OG_1| |OG_{-1}| = |OA| |OB| = a b&\\ \implies |OG_{-1}| = \frac{a b}{g_1} = \frac{g_0^2}{g_1} = g_{-1}.& \end{align*}
2. \(O\) dan \(\Gamma\) ya \([OG_0]\) teğet doğru parçası çizildiğinde \[|OG_0|^2 = |OA| |OB| = a b \implies |OG_0| = g_0.\]
3. \(\Gamma\) nın \(AB\) ye dik \([IG_2]\) yarıçapını çizelim. \begin{align*} &|OG_2|^2 = |OI|^2 + |IG_2|^2 = \frac{(a+b)^2}{2} + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{2}\\ &\implies |OG_2| = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} = g_2. \end{align*}
4. \(OG_2\) doğrusu \(\Gamma\) yı yeniden \(G_{-2}\) de keserse \begin{align*} |OG_{-2}| |OG_2| = |OA| |OB| = a b&\\ \implies |OG_{-2}| = \frac{a b}{g_2} = \frac{g_0^2}{g_2} = g_{-2}.& \end{align*}

Bu çizimlerden \((4)\) eşitsizliklerini elde edebiliriz. \(G_0 OI\) dik üçgeninden \[g_0 = |OG_0| \leq |OI| = g_1 \leq |OG_2| = g_2\] olup

\[g_{-2} = |OG_{-2}| \leq |OG_{-1}| = g_{-1} \leq g_0.\]

Bu ortalamalar yamukta da ele alınabilir:

\(ABCD\), taban uzunlukları \(a,\, b\) (\(a \geq b\)) olan bir yamuk olsun. Uçları yan kenarlar üzerinde ve tabanlara paralel olan bir \([G_i H_i]\) doğru parçasını düşünelim. \(|G_i H_i| = g_i\) ise \(0, 1, 2, -1\) değerlerine karşılık gelen ortalamaların çizimlerini veriyoruz.

\(ABG_0 H_0 \tilde H_0 G_0 CD.\)

\([G_1 H_1]\) orta tabandır.

\(|ABG_2 H_2| = |G_2 H_2 CD|~~~\text{(alanların eşitliği)}.\)

\(G_{-1} H_{-1}\) doğrusu \(AC \cap BD\) dan geçer.

Bunları bir alıştırma olarak ispatlayınız ve \(|G_{-2} H_{-2}|\) için bir çizim veriniz.

Aritmetik, geometrik ve harmonik ortalamalar aynı adı taşıyan; aşağıdaki dizilerle ilgilidir:

1. \(a, a + d, \dots, a + n d, \dots~~~\text{aritmetik dizi}\)
2. \(a, ar, \dots, ar^n, \dots~~~\text{geometrik dizi}\)
3. \(\frac{1}{a}, \frac{1}{a + d}, \dots, \frac{1}{a + n d}, \dots~~~\text{harmonik dizi.}\)

Bu ilgi şöyle ifade edilebilir: İlk terim dışında her terim komşu iki terimin \((1)\) de aritmetik ortalaması, \((2)\) de geometrik ortalaması, (3) te de harmonik ortalamasıdır.

Daha genel olarak, bu dizilerden alınan her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin (ilgili) ortalamasıdır.

Şimdiye kadar iki sayının ortalamalarından söz ettik. \(a_1, \dots, a_n\) gibi \(n\) tane pozitif sayı verildiğinde, \[g_{\alpha} = \left(\frac{a_1^{\alpha} + \dots + a_n^{\alpha}}{n}\right)^{1 / \alpha},~~~~~\alpha \neq 0 \hspace{55pt} (5)\] olarak tanımlanan ortalamaya \(a_1, \dots, a_n\) sayılarının \(\alpha\) yıncı mertebeden ortalaması denir.

\(g_0\) geometrik ortalama ise \[g_0 = \lim_{\alpha \to 0} g_{\alpha} \hspace{55pt} (6)\] \end{gather} olarak tanımlanır ve \((2)\) de olduğu gibi \[g_0 = \sqrt[n]{a_1 \dots a_n} \hspace{55pt} (7)\] eşitliği ispatlanabilir.

Öteki dört ortalamanın açık ifadeleri şunlardır:

$$ g_1 = \frac{a_1 + \dots + a_n}{n},\, g_2 = \sqrt{\frac{a_1^2 + \dots + a_n^2}{n}}$$

$$ g_{-1} = \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}},\, g_{-2} = \sqrt{\frac{n}{\frac{1}{a_1^2} + \dots + \frac{1}{a_n^2}}}$$

Daha önce vermiş olduğumuz herbir sonucun bu genel ortalamalar için geçerli olup olmadığını araştırınız. Örneğin \((3)\) eşitliği \(n \geq 3\) için doğru değildir. Bu konuda daha geniş bilgi için P.P.KOROWKIN‘in, Türkçe çevirisi H. Şahinci tarafından yapılmış olan “Eşitsizlikler” (Matematik Derneği Yayınları, Sayı:1, 1962)} kitabı görülebilir.

Alıştırmalar

1. Kenarları \(a\), \(b\), \(c\) olan bir üçgende
   1. \(a^2 < 2 (b^2+c^2)~~(\text{Yol: } a < b < c)\)
   2. \(\sqrt{bc} + \sqrt{ca} + \sqrt{ab} \leq a + b + c\)
2. Dik kenarları \(b\), \(c\) olan bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik \(h_a\) ise \[h_a^2 = \frac{1}{2} g_{-2}^2(b, c)\]
3. Kenarları \(a\), \(b\), \(c\) olan bir üçgende \([AD]\) bir iç açıortaydır. \(D\) den \(AB\) ye çizilen paralel doğru \(AC\) yi \(D’\) de keserse \[|CD’| = \frac{1}{2} g_{-1}(b, c)\]
4. Kenarları \(a\), \(b\), \(c\) olan bir üçgende \(BC\) ye paralel olan bir doğru \([AB]\), \([AC]\) yi \(E\), \(F\) de kesiyor. \(|EF| = |CF|\) ise \[|EF| = \frac{1}{2} g_{-1}(a, b)\]
5. Bir \(ABCD\) yamuğunda \((AB//CD\), \(K = AC \cap BD\) den \(DA\) ya çizilen paralel doğru \(AB\) yi \(E\) de, \(BC\) ye çizilen ise \(CD\) yi \(F\) de kesiyor. \(EF\) nin \(BC \cap AD\) den geçtiğini gösteriniz. (Yol: \(2 |CF|\) ve \(2 |AE|\) neden tabanların harmonik ortalamalarıdır?)
6. İlk iki terimi \(a_1 = 2\), \(a_2 = 6\) olan
   1. aritmetik
   2. geometrik
   3. harmonik
   dizinin \(a_3,\, a_4,\, a_5,\, a_6\) terimlerini bulunuz.
7. 1, 2, 4 sayılarının geometrik, aritmetik, kareli, harmonik ve kareli ters ortalamalarını hesaplayınız.
8. \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) pozitif sayılar olsun. \(a\), \(b\) nin \(g_{\alpha}\) ortalaması ile \(c\), \(d\) nin \(g_{\alpha}\) ortalamasının \(g_{\alpha}\) ortalaması, bu dört sayının \(g_{\alpha}\) ortalamasına eşit olacaktır yani \[g_{\alpha}(g_{\alpha}(a, b), g_{\alpha}(c, d)) = g_{\alpha}(a, b, c, d)\] olacaktır. Gösteriniz (bkz. \((5)\).