Yazar: Ezgi Kantarcı Oğuz (ezgikantarcioguz@gmail.com, Galatasaray Üniversitesi)
Yıl: 2022-4
Sayı: 114
Hoş geldiniz, buyurun oturun. Tabii, konu oyunlar olunca oyun oynamadan olmaz. Gelin sizinle hızlı bir oyun oynayalım.
Siz siyah oyuncu olun, ben beyaz oyuncu (gönül isterdi maviyle kırmızı oyuncu olalım, ama dergiyi siyah-beyaz basıyoruz). Sırası gelen kendi renginde bir kutuyu seçip silebiliyor. Yapacak hamle bulamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Böyle olsa çok eğlenceli olmaz tabii, sadece kutu sayısına bağlı olur, o yüzden bir kuralımız daha var. Bir kutu silinince, yerle bağlantısı kalmayan kutular varsa onlar da kayboluyor. Bu oyuna Toplarkutu oyunu diyebiliriz.$^1$
Rica ederim, buyurun siz başlayın.
Yalnız olan siyah kutuyu aldınız, evet. Ben de beyazını alacağım.
Oyunumuz küçülüverdi değil mi? İki seçeneğiniz var, hangisini tercih edeceksiniz?
Ben de alttaki beyazı alınca siyah da yerle bağlantısı kalmadığı için kayboldu. Hamleniz kalmadı, bu sefer ben kazandım. Kazanmam çok güzel oldu, konuyu anlatan kişi olarak ilk oyunumda kaybetsem çok utanırdım. Sizce nasıldı oyun? Evet, ikinci hamlenizi farklı yapsanız daha iyi giderdi belki. Haydi bir de öyle deneyelim.
Bu sefer siz kazandınız, hem de bileğinizin hakkıyla. Ben ne hamle yaparsam yapayım kazanma şansım yoktu. Bu oyunu bir ağaç gibi düşünelim.$^2$
Çok güzel oldu. Sizin kazandığınız senaryolara siyah kalp, benimkilere beyaz kalp koyduk. Biraz daha basitleştirebiliriz ama. Yan yana bir beyaz bir siyah kaldıysa birini siz birini ben alıyorum, kazanana etki etmiyor bu durum. Bu dalları kısaltabiliriz.
Aynı şekilde bir daldan her durum aynı renk kalbe çıkıyorsa, o dala gelince kimin kazandığı belli demektir.
Biz çok iyi oyuncular olduğumuz için, bizi kaybettirecek hamleleri zaten yapmayız değil mi? Özellikle de bizi kaybettirmeyecek bir alternatifi varsa. O zaman yapmak istemeyeceğimiz hamleleri eleyip biraz budayalım bu ağacımızı.
Deminki adımları tekrarlayabiliriz. Bir daldan her durum aynı renk kalbe çıkıyorsa, o dala gelince o renk kazanıyordur.
Beyaz da beyaz kalbe gidebiliyorken, siyah kalbe giden hamleyi ne yapsın…
Elimizde sadece kökümüz kaldı. Gördüğünüz gibi üç hamlenin ikisi sizin iyi oynarsanız kazanacağınız oyunlara, biri ise benim iyi oynarsam kazanacağım bir oyuna gidiyor. Gerçi önemli olan kime kaç hamle olduğu değil, sizin kazanacağınız bir hamleniz bile olsa yeter, neden diğerlerini tercih edesiniz? Demek bu oyunda sizin kazanan stratejiniz varmış. Siz iyi oynarsanız ben ne yaparsam yapayım, ağzımla kuş tutsam sizi yenemiyorum.
Farkındaysanız bu ağacımıza özel bir durum değil. Bu şekilde her ağacı budaya budaya köküne kadar getirebiliriz. Elimizde sadece kökten çıkan dallar kalır. Bu dallar arasında size kazandıran bir dal ya vardır ya yoktur. Varsa kazanan stratejiniz vardır, yoksa siz ne hamle yaparsanız yapın ben kazanabilirim.
Demek ki “bu şekilde” oyunlarda her zaman bir oyuncunun kazanan stratejisi vardır. Tabii bu şekilde oyun ne demek, o da önemli. Bir oyunu bu örnekteki gibi bir ağaç halinde yazabilmemiz için oyunun nasıl özellikleri olmalı?
İki kişi sırayla hamle yapsın, ta ki biri kazanana kadar. Ağaç istediğimiz kadar uzun olabilir ama sonsuz uzunlukta bir kolu olmasın. Bir de tüm ağaç başından belli olsun, nerede ne olduğunu bilelim.
Tanım 1. İki kişinin birbirlerine karşı oynadığı, sırayla hamleler yaptığı bir oyun düşünelim. Bu oyun şu özellikleri sağlasın:
$\quad\bullet$ Oyun her zaman sonlu sayıda hamlede biter.
$\quad\bullet$ Şans öğesi yoktur.
$\quad\bullet$ Saklı bilgi yoktur.
$\quad\bullet$ Her zaman bir oyuncu kazanır.
Böyle oyunlara kombinatorik oyun diyoruz.
Az önce oynadığımız Toplarkutu kombinatorik bir oyundur, zaten tanımı ona göre yaptık. Tavla ise kombinatorik bir oyun değildir, zira zarların nasıl geleceği şansa bağlıdır ve kesin bir kazanan stratejiden bahsedilemez.
Soru 1. Pişti kombinatorik bir oyun mu?
Güzel bir soru. Kartların nasıl dağılacağı şansa bağlı ama kartları karıştırıp kestikten sonra artık şansın bir rolü kalmıyor. Piştide asıl sorun kartların sırasını bilmiyor olmamız, yani gizli bilgi var.$^3$
Kombinatorik oyunları tam da ağacı olacak oyunlar şeklinde tanımladık. Ağacı olması da yukarıdaki gibi budamalar yaparak en küçük haline getirebileceğimiz, iki oyuncudan biri için kazanan stratejisi bulabileceğimiz anlamına geliyor. Başka bir deyişle:
Teorem 1. Her kombinatorik oyunda bir oyuncunun kazanan stratejisi vardır.
Nur topu gibi bir teoremimiz oldu işte. İsmini ne koysak acaba? Sizin isminizle benimkini birleştirsek?
Ah, ne yazık ki zaten isimliymiş bu teorem: Zermelo’nun Teoremi. Alman matematikçi Ernst Zermelo teoremi bizden yaklaşık $100$ yıl önce öne sürerek ismi kapmış. Üstelik satrançtan bahsediyormuş.
Soru 2. Satranç kombinatorik bir oyun mu ki?
Evet, haklısınız, satranç kombinatorik bir oyun değil aslında ama kazanma koşulunu “kazanma veya beraberlik” ile değiştirirsek onu da kombinatorik bir oyun olarak görebiliriz.
Teorem 2 (Zermelo’nun Teoremi). Satrançta ya siyah ya beyaz oyuncunun asla kaybetmeyen bir stratejisi vardır.
Bu aslında yukarıdaki teoremimizin, basit bir sonucu. Basit olduğu kadar da şaşırtıcı. İnsan düşünmeden edemiyor; madem bir oyuncunun kazanan stratejisi var ve bu yüz yıldır biliniyor, o zaman neden hâlâ satranç oynuyoruz?
Çünkü, sevgili dostum, bir stratejinin var olduğunu bilmekle, ne olduğunu bilmek çok farklı şeyler. Şu an hesap gücümüz satrancın kazanan stratejisini hesaplamak için yeterli değil. Biri bize stratejiyi verse, doğru olup olmadığını kontrol etmek bile bir sorun. Şu an, yeterli hesap gücümüz yok.
Yüz yıl sonra? Belki. Merak etmeyin, satranç çözülürse, biz de tahta boyutunu büyütürüz veya 3 boyutlu satranç oynarız.
Kazanan Stratejiler
Tabii ki oyunda kimin kazanan stratejisi olduğuna karar verirken kimin başladığı da çok önemli. Örneğin demin oynadığımız oyuna bir de ben başlamayı deneyeyim. Alttakini alarak başlayacağım.
Siz hamlenizi yaptıktan sonra benim tek bir hamlem kalıyor, o da kalan siyahı almak ve siz kazanıyorsunuz. Peki diğer başlangıç hamlesini yapsaydım?
Evet, bu durumda da yapabileceğim çok bir şey yok gibi görünüyor. Ben mecbur kalan beyazı alacağım siz de siyahlardan birini alıp oyunu kazanacaksınız.
Benim olası iki hamlem var, ikisinde de oyunu siz kazanabiliyorsunuz. Demek ki benim başladığım durumda da sizin kazanan stratejiniz var.
Alıştırma: Beyazın başladığı oyunun ağacını çizip budayarak siyahın kazanan stratejisi olduğunu gösterin.
Örnek oyunda kimin başladığından bağımsız olarak siyah oyuncunun kazanan stratejisi olduğunu gördük.
Soru 3. Kimin kutusu daha fazlaysa onun mu kazanan stratejisi vardır?
Bu örnekte sizin kutularınız daha fazla ve kazanan stratejiniz var evet, ama bu her zaman doğru olmak zorunda değil. Örneğin sizin kutularınızın fazla olduğu başka bir oyuna bakalım.
Bu oyunda siz hangi hamleyi yaparsanız yapın, sıra bana geldiğinde alttaki beyazı alıp oyunu kazanırım. Üste isterseniz 100 kutu daha ekleyin, durum değişmez. Bu oyunda kim başlarsa başlasın beyazın kazanan stratejisi var.
Her zaman başlangıçtan bağımsız olmak zorunda değil tabii. Şu oyunda stratejiden bağımsız olarak başlayan kaybeder.
Bir oyunun dört farklı sonucu olabilir: Ya hep siyahın kazanan stratejisi vardır, ya hep beyazın, ya hep ikinci oyuncunun ya da hep ilk oyuncunun. Daha sonuncusunun örneğini görmedik. Görmemiz de zor, zira tanımladığımız haliyle Toplarkutu oyununda bu şekilde bir durum oluşturmak mümkün değil, hamle yapmamak hep yapmaktan daha avantajlı.
Bunu, isteyen oyuncunun alabileceği bir gri kutu ekleyerek çözebiliriz.
Yukarıdaki oyunda ilk oyuncu kimse gri kutuyu alır ve oyunu kazanır.$^4$
Oyunlar ve Pozisyonları
Oyunumuzun ağacının kökünü kestiğimizi düşünelim. Bu durumda elimizde üç küçük ağaç kalır. Bunların hepsi kendileri de oyundur, onların kazanan stratejilerinden de bahsedilebilir. Aslen ağaçtaki her nokta ve o noktadan çıkan parçaların tümü kendi bir ağaç oluşturur.
Teorem 3. Kombinatorik bir oyunun her pozisyonu kendi de kombinatorik bir oyundur.
Bu durumda oyunu tarif etmenin bir yolu, o oyundan hangi oyunlara hamle olduğunu tarif etmek.
Mesela şöyle diyebiliriz:
Gerçi bu siyahın başladığı durum. Beyazın başladığı durumu da eklersek (karışmasın diye bir çubukla ortadan ayıralım) oyunu şöyle yazabiliriz:
Bu oyunumuzu tamamen tarif eder. Hamleleri aynı olan oyunları bundan sonra aynı kabul edeceğiz.
Üstteki gibi yapılara ikili küme diyoruz. Oyunlarda her zaman siyah-beyaz renk kullanılmadığı için, oyuncuların isimleri kümedeki yerlerine göre verilmiş: hamleleri soldaki kümede yer alan oyuncuya L (Left, sol) oyuncusu, diğer oyuncuya R (Right, sağ) oyuncusu deniyor.$^5$
Herhangi bir $G$ oyununu bir ikili küme olarak görebiliriz: $$G=\{a,b,c,\ldots\mid f,g,h,\ldots\}.$$ Daha pratik bir yazımla bunu şu şekilde ifade ediyoruz: $$G=\{G^L\mid G^R\}$$
Burada $G^L$ ve $G^R$’yi sırayla sol ve sağ oyuncunun hamlelerini göstermek için kullanıyoruz. $G^L$ birkaç hamleden de oluşabilir, tek bir hamleden de oluşabilir, boş da olabilir. Aynı şey $G^R$ için de geçerli.
Peki en küçük oyunlar nedir? Örneğin kimsenin hamlesi olmayabilir:
$$0:=\{\quad|\quad\}$$
Bu oyunda sıra kimdeyse kaybetmiştir.
Sadece tek bir siyah kutu olsun. Bu durumda siyah oyuncunun $0$’a hamlesi var, beyaz oyuncunun hiç hamlesi yok. Bu oyuna $+1$ diyeceğiz. Arkadaşı olan sadece tek bir beyaz kutu olma durumuna ise $-1$.
$$1:=\{0\mid \quad \}\qquad \quad -1:=\{\quad\mid 0\} $$
Bu nereye gidiyor diye düşündüğünüzü görebiliyorum. “Oyunların aritmetiğini mi yapacağız yoksa?” diyorsunuz. Sevgili dostum, aritmetikle kalmayacağız, gerçel sayıları kuracağız. Hatta orada da durmayacağız, gerçelüstü sayılara doğru ilerleyeceğiz.
İsterseniz önce oyunları bir daha tanımlayalım. Yukarıdakilerin ışığında kombinatorik oyunlara tekrar, bu sefer özyinelemeli bir tanım verebiliriz.
Teorem 4. Aşağıdaki iki aksiyom, kombinatorik oyunların eşdeğer bir tanımını verir:
$\quad\bullet$ $0:=\{\quad|\quad\}$ kombinatorik bir oyundur.
$\quad\bullet$ Elemanları kombinatorik oyunlardan oluşan her ikili küme kombinatorik bir oyundur.
Şu anda, çok basit bir başlangıçla olası bütün kombinatorik oyunları matematiksel olarak tanımlamış olduk. Örneğin siz akşam evinizde bir oyun uydurun, eğer kombinatorik oyun koşullarını sağlıyorsa, yukarıdaki tanımla onu da gösterebiliriz.
Alıştırma: İki tanımın eşdeğer olduğunu gösterin.
Şimdi de yukarıda bahsettiğimiz kazanma koşullarını tekrar ifade edelim.
Teorem 5. Her kombinatorik oyun aşağıdakilerden tam olarak bir tanesini sağlar:
$\quad$1. Kim başlarsa başlasın sol oyuncunun kazanan stratejisi vardır. Böyle oyunlara pozitif diyoruz ve $G > 0$ ile gösteriyoruz.
$\quad$2. Kim başlarsa başlasın sağ oyuncunun kazanan stratejisi vardır. Böyle oyunlara negatif diyoruz ve $G < 0$ ile gösteriyoruz.
$\quad$3. Her zaman ikinci oyuncunun kazanan stratejisi vardır. Böyle oyunlara sıfır diyoruz ve $G=0$ ile gösteriyoruz.
$\quad$4. Her zaman ilk başlayan oyuncunun kazanan stratejisi vardır. Böyle oyunlara bulanık diyoruz ve $G\,||\,0 $ ile gösteriyoruz.
Sonuncusu şaşırtıcı değil mi? Bunun bulanık mantıkla alakası var mı? İlginç bir soru. Hem var hem yok. Konuyu bulanık mantığa bağlamayacağız ama bulanık mantığın “bulanık” olma nedeniyle bu oyunların “bulanık” olma nedeni aslında aynı.
Şu ana kadar baktığımız tek bulanık oyun örneği isteyen oyuncunun alabileceği tek bir gri kutu olan örnekti. Onu da $\star$ ile göstereceğiz:
$$ \star=\{0\mid 0\}. $$
Haydi biz sohbetimize devam edelim, bulanık oyunlardan daha sonra konuşacağız zaten.
Normal Kombinatorik Oyunlar
Şu andan itibaren, oyunlarımıza ek bir kısıtlama koyacağız.
Normal oyun: Hamlesi kalmayan oyuncu oyunu kaybeder.
Artık oyun dediğimizde, normal olanları kastediyoruz. Bunun alternatifi son hamleyi yapan oyuncunun oyunu kaybetmesi. Böyle oyunlara “Misère” oyunlar deniyor, bunu acılı olarak çevirebiliriz. Eğer ismi mesajı yeterince veremediyse diye söylüyorum, misère oyunların teorisi çok daha karışık.$^6$
Normal oyunlar dünyasında ise her şey güllük gülistanlık. Mesela $1$ pozitif, $-1$ negatif, $0$ ise $0$ değerinde bir oyun.
Oyunlarımızı yavaş yavaş büyütelim. Sıradaki tanımlayacağımız oyun yukarıda da tarif ettiğimiz bir siyah, bir beyaz blok olan oyun olsun. Yani bir tane $1$ oyunu ve bir tane $-1$ oyununu yan yana koyunca elde ettiğimiz oyun.
Bu oyunu hamleleriyle aşağıdaki şekilde yazabiliriz:
Bunun hep ikinci oyuncunun kazandığı, yani $0$ değerinde bir oyun olduğundan bahsetmiştik. Acaba bunu $(+1)+(-1)=0$ olarak ifade edebilir miyiz?
Bunu yapabilmek için iki şeye ihtiyacımız var; oyunlarda toplama işlemini ve farklı iki oyunun birbirine eşit (veya eşdeğer) olmasını tanımlamaya. İşte sıradaki adımımız bu olacak.
Tanım 2. Bir $G=\{G^L\mid G^R\}$ ve bir $H=\{H^L\mid H^R\}$ oyunu alalım. $G+H$ oyunu, sıradaki oyuncunun ister $G$’den, ister $H$’den hamle yaptığı oyundur. Başka bir deyişle:
$$G+H=\{G^L+H, G+H^L\mid G^R+H, G+H^R\}.$$
Bu değişmeli bir işlem, yani $G+H$ ve $H+G$ tam olarak aynı oyun.
Toplarkutu oyununda işlemimiz, iki oyunu yan yana koymaya denk geliyor. Örneğin,
Kutuları ne şekilde dizdiğimizin fark etmemesi hamleleri aynı olan oyunlar aynıdır kabulümüzden geliyor.
İlk başladığımız pozisyonu da benzer bir şekilde üç oyunun toplamı olarak görebiliriz:
Bunlardan iki tanesini zaten tanımlamıştık. Üçüncüsü için biraz daha çalışmamız gerekecek.
Bu arada dikkat ederseniz, bir oyuna $0$ oyununu eklediğimizde, yanına hiçbir şey koymamış oluyoruz.
Başka bir deyişle,
Her $G$ için: $\quad G + 0 = 0 + G =G$.
Şimdi söz verdiğimiz eşdeğerlik koşulunu tanımlayalım.
Tanım 3. Eğer iki oyunun kazanma durumu aynıysa (ikisi de pozitif, negatif, $0$ veya bulanıksa) bunu $G\sim H$ ile gösterelim. Bir $G$ ve bir $H$ oyunu aşağıdaki koşulu sağlıyorsa, bu iki oyuna eşdeğer diyoruz ve $G=H$ ile gösteriyoruz:
$\qquad \qquad \qquad $ Her $K$ oyunu için $G+K\sim H+K$ sağlanır.
Bu koşulun sizi şaşırtmış olması doğal, daha önce bu dergide bahsettiğimiz eşitlik koşullarına pek benzemiyor.
Bunu bir “ayırt edebilme'” koşulu olarak düşünebilirsiniz. Eğer teorimiz içinde $G$ ve $H$ oyunlarının farklı davranmasını sağlayan bir $K$ oyunu varsa, onlar bizim için farklı. Aksine, eğer $K$ için $G+K$ ve $H+K$ aynı davranıyorlarsa, bizim için ha $H$ olmuş, ha $G$ olmuş fark etmez. Oyunlar, toplamları ve kazanma durumlarından oluşan tatlı dünyamızda onları ayırt etmek için bir sebebimiz yok.
Alıştırma: Oyunlardaki eşdeğerlik ilişkisinin bir denklik bağıntısı olduğunu gösterin.
$0$-değerindeki oyunlara neden $0$ dediğimizi görme zamanı geldi.
Teorem 6. $G$ oyunu ikinci oyuncunun kazanan stratejisi olan, yani $0$ değerinde bir oyun olsun. O zaman tüm $H$ oyunları için, $H$’nin kazanma durumu ile $G+H$’ninki aynıdır. Başka bir deyişle, tüm $H$ oyunları için $H\sim G+H$ sağlanır.
Şimdi bu teoremimizi kanıtlayalım.
Soru 4. Kombinatorik oyun teorisinde nasıl kanıt yapıyoruz ki?
Evet, haklısınız, şu ana kadar oturup bir kanıt yazmamıştık. Ama bu derginin bir kuralı var, yazı $5$ sayfayı geçince mutlaka bir kanıt içermesi gerekiyor$^7$. Eh, biz de $6.$ sayfamızda olduğumuza göre zaman geldi. Bu teoride eşdeğerliği kimin ne zaman kazanan stratejisi olduğu üzerinden tanımlıyoruz. O zaman kanıtlarımızı yaparken de işimiz bu kazanan stratejilerini tarif etmek.
Kanıt. $H$ kombinatorik bir oyun olsun. $H$’de kazanan stratejisi olan oyuncu her kimse, $G+H$’yi şu stratejiyle kazanabilir:
$\quad$$\bullet$ Rakibin $G$’de hamle yapmadığı turlarda hep $H$’de oyna. $H$’deki kazanan stratejini kullan.
$\quad$$\bullet$ Rakip eğer $G$’den hamle yaparsa, $G$’de ikinci oyuncunun kazanan stratejisini uygulayarak karşı hamle yap.
$\quad$$\bullet$ Rakip $H$’de oynarsa $H$’de, $G$’de oynarsa $G$’de cevap vererek devam et.
İkisinde de kazanan stratejin olduğu için ikisinde de rakibin hamleleri senden önce bitecektir. Önce birinde biterse sadece diğerinde devam etme şansı kalacaktır ama senin onda da kazanan stratejin olduğu için onda da hamleleri senden önce bitecektir. Demek ki $H$’de kazanan stratejisi olanın $G+H$’de de varmış. Yani $H\sim G+H$. $\qquad\qquad\square$
Şimdi normal oyunları güzel yapan en önemli özelliklerine geliyoruz.
Teorem 7. İkinci oyuncunun kazanan stratejisi olan bütün oyunlar $0$ oyununa eşdeğerdir.
Kanıt. İkinci oyuncunun kazanan stratejisi olan bir $G$ oyunu alalım. Az önce Teorem 6 ile kanıtladığımız üzere, tüm $K$ oyunları için $K\sim G+K$ olur. $K$ de $K+0$’a eşit olduğu için $G=0$’dır. $\qquad\qquad\square$
Bunun bir sonucu da $G+0=G$ denklemini değeri $0$ olan bütün oyunlara genişletebilmemiz. Örneğin şunu söyleyebiliriz,
Bunu oyun stratejisi olarak şöyle düşünebiliriz. Siyah oyuncunun
oyununda kazanan stratejisi varsa, bunu
oyununda da aynen uygulayabilir. Tek yapacağı beyaz oyuncu dışarıdaki beyaz kutuya hamle yaptığında yanındaki siyah kutuya hamle yapmak. Oyun sadece iki hamle uzamış olur ama seyri değişmez. Bu beyaz için de geçerli. Yani $0$ değerli bir parça eklemenin kazanan stratejilere bir etkisi yoktur.
Bir Oyunun Tersi
Bir hikâye vardır, belki bilirsiniz. Bir adamın evine iki satranç ustası ziyarete gelir. Adamın küçük kızı, iki ustayı aynı anda maça davet eder. Biriyle siyah, diğeriyle beyaz olarak oynayacaktır. Der ki:
“Dondurmasına iddiaya girerim ki en fazla biriniz beni yenebilirsiniz.”
İki usta gülerler, küçük kız satrançla ilgili taşların nasıl hareket ettiği dışında bir bilgiye sahip değildir. Bununla beraber kız haklı çıkar. Şöyle bir yol izler. Bir usta beyazda hamle yapınca, diğer oyunda o hamleyi taklit eder. Diğer usta siyahla hamleye cevap verince ilk oyuna dönerek siyahın hamlesini uygular. Bu şekilde iki ustayı birbirleriyle oynatır. İki oyunun da sonucu aynı olacağı için, gerçekten de en fazla bir tanesi kızı yenebilecektir.
Pratikte iki usta da kızla berabere kalırlar, kız da bol bol dondurma yer.
Bu rakip oyuncuyu taklit etme fikrini biz de kendi oyunlarımızda kullanabiliriz. Önce bir oyunun tersini tanımlamakla başlayalım.
Tanım 4. Bir $G$ oyunu için, oyun ağacı boyunca iki oyuncunun hamlelerini birbirleriyle değiştirerek elde ettiğimiz oyuna $-G$ diyoruz. Başka bir deyişle:
$$ -G:= \{-G^R\mid -G^L\}$$
Toplarkutu oyununda bu siyah kutuları beyaz, beyaz kutuları siyah yapmaya denk geliyor.
Şimdi, küçük kızın hikâyesinden de ilham alan teoremimiz geliyor: $G$ oyunu ne olursa olsun, ikinci oyuncu $G-G$ oyununu birinci oyuncuyu taklit ederek kazanabilir.
Teorem 8 (Simetri İlkesi). $G-G=0.$
Kanıt. Bunu tümevarımla rahatça kanıtlayabiliriz. Eğer $G$ oyunu $0$ ise ikinci oyuncu zaten kazanmıştır. Şimdi $G$ $0$’dan farklı bir oyun olsun. Birinci oyuncunun $G-G$ oyununda bir hamle yaptığını düşünelim. Ya $G$’den olur bu hamle, ya da $-G$’den. Diyelim $G$’den $H$’ye hamle yaptı, $H-G$ kaldı. İkinci oyuncu da $-G$’den $-H$’ye hamle yapar, $H-H$ kalır. Benzer şekilde birinci oyuncu $-G$’den $-H$’ye hamle yapar ve $G-H$ bırakırsa, ikinci oyuncu da $G$’den $H$’ye hamle yapıp oyunu $H-H$’ye çevirebilir. Tümevarım hipotezimizden $H-H$’de ikinci oyuncunun kazanan stratejisi olduğu için $G-G$’de de ikinci oyuncunun kazanan stratejisi vardır. Teorem 7’de bu durumda $G-G=0$ olduğunu kanıtlamıştık. $\qquad \qquad \square$
Soru 5. Oyunlarda tümevarım nasıl oluyor?
Evet, bundan daha bahsetmemiştik, çok iyi yakaladınız. Oyunlarda tümevarım yaparken doğum günü isimli bir ölçü kullanıyoruz. Bunu oyunun ağacınının uzunluğu olarak düşünebilirsiniz, hamlelerin ağaçları daha kısa olmak zorunda. Sadece bu “ağaç uzunluğu'” hesaplanırken her noktadan iki oyuncunun da nereye gidebileceği düşünülerek hesaplanıyor, o yüzden biraz daha karışık.
Tanım 5. Bir oyunun doğum gününü şöyle tanımlıyoruz:
$\quad$ $\bullet$ $0=\{\,\mid\,\}$ oyununun doğum günü $0$’dır.
$\quad$ $\bullet$ Bir $G$ oyununun doğum günü, en büyük doğum günü olan hamlesinin doğum gününden $1$ fazladır.
Mesela, $1$ ve $-1$ oyunlarının doğum günü $1$. $1+(-1)$ oyununun doğum günü $2$ (Genel olarak $G-G$’nin doğum günü, $G$’nin doğum gününün iki katı diyebiliriz.). Başlangıçta baktığımız
oyununun doğum günü ise $5$.
Oyunların Aritmetiği
Şu ana kadar $0$, $+1$ ve $-1$ oyunlarını tanımlamıştık. Şimdi toplama işlemini de kullanarak tüm tamsayıları tanımlayabiliriz.
İsterseniz toplama tamsayılardaki gibi çalışıyor mu diye bir kontrol edelim.
Bu şekilde herhangi iki tamsayıya denk gelen oyunları toplarken, siyah ve beyaz kutu çiftleri birbirini götürür ve gerçekten o sayıların toplamına denk gelen oyunu elde ederiz.
Teorem 9. Tüm $a$ ve $b$ tamsayıları için, $a$ oyunu ve $b$ oyununun toplamı $a+b$ oyununa eşittir.
Aynı işlemi ikili kümelerle de yapabilirdik.
$$-3+2 = \{\quad\mid -2\}+\{1\mid\quad\}=\{-3+1\mid 2-2\}= \{-2\mid 0\} = -1.$$
Demek $\{-2\mid 0\}$ oyunu $-1$’e eşdeğermiş.
Şimdi bir de
oyununa bakalım. Burada siyah oyuncunun iki hamlesi var ama aslında $0$ hamlesi çok da önemli değil, çünkü $1$ kutu bırakmak varken neden iki kutuyu da alsın? Teoride iki hamlesi var ama pratikte bu oyun $\{1\mid \quad \}$ oyununa eşdeğer, yani $2$ oyununa.
Bunu kanıtlamak için
oyununda ikinci oyuncu için kazanan bir strateji bulmak yeterli. İki oyuncunun kutuları birbiriyle bağlantılı olmadığı için, hamleleri de birbirinden bağımsız. İkisi de ikişer hamle yapınca oyun bitiyor ve ikinci oyuncu kazanıyor.
Daha az avantajlı hamleleri silmek, oyunun değerini değiştirmez.
Soru 6. Her oyun bir sayıya mı eşdeğer?
Neredeyse evet. Bulanık oyunlar ortalığı biraz karıştırıyorlar. Bu soruya net olarak şöyle cevap verebiliriz.
Bir oyunun bir gerçel sayıya eşit olmasının gerek yeter koşulu, oyunun her $G^L$ sol hamlesi ve her $G^R$ sağ hamlesi için $G^R-G^L > 0$ olmasıdır.
Bulanık oyunları da katınca az önce de bahsettiğim gerçelüstü sayıları elde ediyoruz. Gerçi yavaş olalım, daha rasyonel sayıları bile tanımlamadık.
Pozitif oyunları, L oyuncusunun avantajlı olduğu oyunlar olarak düşünebiliriz. Oyunun değerinin $n$ olması, avantajın $n$ hamlelik olduğu anlamına geliyor. Benzer şekilde negatif oyunları da R oyuncusunun avantajı olan oyunlar olarak düşünebiliriz. Değeri $0$ olan oyunlar iki oyuncu için de avantajlı değildir, bulanık oyunlar ise duruma göre bazen $L$ bazen $R$ oyuncusu için avantajlı olabilir. Peki $1/2$ oyununu nasıl düşünebiliriz? Yarım hamle avantajlı olmak nasıl mümkün olabilir?
Beraber böyle bir oyun tanımlamayı deneyelim. $G=\{G^L\mid G^R\}$ oyununu düşünelim. Bunun değerinin $1/2$ olmasını istiyoruz. Bunu $G+G=1$ olmalı diye de düşünebiliriz. Başka bir deyişle, $G+G-1$ oyununda her zaman ikinci oyuncunun kazanan stratejisi olmalı. Aşağıdaki oyunu düşünelim.
Teorem 10. Yandaki oyunda ikinci oyuncunun kazanan stratejisi vardır.
Kanıt. Öncelikle siyahın başladığı duruma bakalım. Hangi kuleden hamle yaptığı fark etmeyeceğine göre, siyahın tek bir başlangıç hamlesi var, o da kulelerden birinin altındaki siyah kutuyu almak.
Bu durumda beyaz diğer kulenin üzerindeki beyaz kutuyu alarak kazanabiliyor.
Demek ki siyah başladığında beyazın kazanan bir stratejisi varmış. Şimdi de beyazın başladığı duruma bakalım. Beyazın iki farklı olası başlangıç hamlesi var. Ya kulelerden birinin üstündeki beyaz kutuyu alarak başlayabilir:
Ya da kenardaki beyaz kutuyu alabilir.
İki durumda da siyah kazanıyor, yani beyaz başladığında da siyahın kazandıran bir stratejisi var. $\square$
Bu durumda
oyununa gönül rahatlığıyla $1/2$ oyunu diyebiliriz. Benzer bir argümanla $1/4$’ü de tanımlayabiliriz:
Alıştırma: $(1/4)+(1/4)+(1/4)+(1/4)=1$ olduğunu gösterin.
Aynı şekilde devam edersek $2$’nin tüm negatif kuvvetlerini tanımlayabiliriz:
$\bullet$ $1/8:= \{0\mid 1/4\},$
$\bullet$ $1/{2^{n+1}}= \{0\mid 1/{2^n}\}.$
Üstelik bunları tanımladığımızda negatif versiyonları ve diğer sayılarla toplamları da bedava geliyor önceki kurallardan. Yani gerçel sayılar içinde paydası $2$’nin kuvveti olanların hepsini tanımlamış olduk. Bu oyunların kümesine $S$ diyelim. Tüm gerçel sayıları tanımlamadık daha ama gerçel sayılar içinde yoğun bir $S$ kümesi tanımlamış olduk.
Soru 7. Hep iki tarafın ortalaması mı oluyor oyunun değeri?
Hayır ama öyle olsa ne güzel olurdu değil mi? Mesela $\{-1\mid1/2\}$ oyununu düşünelim. Bu oyunda ilk oyuncu L oyuncusu ise tek hamlesi olan $-1$’e oynayacaktır, bu da R oyuncusunun kazanan stratejisi olan bir oyundur. İlk oyuncu R olursa, o da tek hamlesi olduğu için $1/2$’ye oynayacaktır. Bu oyun da pozitif olduğu için L oyuncusunun kazanan stratejisi vardır. Hep ikinci oyuncunun kazanan stratejisi olduğuna göre $\{-1\mid1/2\}=0$ olur, $-1/4$ değil.
Şimdi bu konuda çok ilginç bir ilkeye geliyoruz:
Basitlik ilkesi: Sol ve sağ hamlelerin hepsinin sayı olduğunu varsayalım. Eğer tüm sol hamlelerden küçük ve tüm sağ hamlelerden büyük sayılar varsa, oyunun değeri bunlardan en basit olanı tarafından verilir.
Burada $a/2^n$ formunda sayılara bakıyoruz. Basitliği de şöyle tanımlıyoruz: $n\geq0$ ne kadar küçükse sayı o kadar basittir. Paydası aynı olan iki sayıdan da $0$’a daha yakın olanı daha basittir.
Örneğin demin baktığımız $\{-1\mid1/2\}$ oyununda, iki sayının arasında kalan bir sürü sayı vardır: $0, -1/2, 1/4, -1/4,\ldots$ ama en basit olanları $0$’dır. Bu yüzden basitlik ilkesine göre $\{-1\mid1/2\}=0$ olur.
Benzer şekilde yazıya başladığımız Toplarkutu pozisyonunun değerine de bakabiliriz. Oyunun sadece en soldaki kuleye eşdeğer olduğunu zaten göstermiştik, o yüzden sadece onun için hesap yapsak yeter.
Gerçel sayılara dönersek, $S$ kümesine ait olmayan sayıları nasıl tanımlayabiliriz? Bu sorunun cevabı iki kelimeden oluşuyor: “Dedekind kesitleri”. Bunun için önce oyunları sıralamamız gerekiyor.
Oyunlarla Gerçel Sayılar
Oyunlar üzerinde sıralamadan bahsedebilmek için yeni notasyonlara ihtiyacımız olacak.
$\quad$ $\bullet$ $G> H \quad \Leftrightarrow \quad G-H> 0 ,$
$\quad$ $\bullet$ $G< H \quad \Leftrightarrow \quad G-H<0 .$
Büyük eşit ve küçük eşit kavramlarını da şu şekilde taşıyabiliriz:
$\quad$ $\bullet$ $G\geq H \quad \Leftrightarrow \quad G > H\text{ veya } G=H$,
$\quad$ $\bullet$ $G\leq H \quad \Leftrightarrow \quad G < H \text{ veya } G=H$,
$\quad$ $\bullet$ $G\trianglerighteq H \quad \Leftrightarrow \quad G > H\text{ veya } G\, | | \,H$,
$\quad$ $\bullet$ $G\trianglelefteq H \quad \Leftrightarrow \quad G < H\text{ veya } G \,| | \, H$.
Teorem 11. $\geq$ oyunlar üzerinde bir sıralama ilişkisidir. $\trianglerighteq$ ise değildir.
Kanıt. $G-G=0$ olduğundan $G\geq0$ sağlanır. Eğer $G\geq H$ ve $H\geq G$ ise, $H-G\geq0$ ve $G-H\geq0$ olur. İki oyun birbirinin tersi olduğu için bu ancak $G-H=0$ olduğunda, yani $G=H$ olduğunda sağlanır. Eğer $G-H\geq 0$ ve $H-J\geq 0$ ise de $(G-H)-(H-J)=G-J\geq0$ da sağlanır. Bu son kısmın kanıtını alıştırma olarak bırakalım. $\trianglerighteq$ ilişkisi ise bu özelliklerden hiçbirini sağlamaz. Eşitlik durumunu içermediği için ne $G=G$ veya $G\trianglerighteq H, H\trianglerighteq G \Rightarrow H$ diyebiliriz ne de geçişlilikle ilgili bir şey söyleyebiliriz. $\qquad \qquad \square$
$S$ kümesine ait olmayan, yani paydası $2$’nin kuvveti olan bir rasyonel sayı olarak yazılamayan bir $x$ sayısı alalım. Bu sayıya denk gelen şöyle bir oyun tanımlayabiliriz: $$x:=\{ a\in S, a > x \mid b\in S, b < x \}.$$
Bu oyunda iki oyuncunun da sonlu hamle seçeneği var ama birini seçtikten sonra yapabilecekleri toplam hamle sayısı sonlu. Yani oyun her zaman sonlu hamlede bitiyor. Bu da tanımımıza uygun olduğu anlamına geliyor.
Böylece oyunlarla tüm gerçel sayıları, sıralamalarını ve toplama işlemini tanımlamış olduk. Yapısal olarak bir tek çarpma işlemine ihtiyacımız var. Çarpma işleminin oyunlarda biraz teknik bir tanımı var ve sadece sayı olan oyunlar için geçerli:
Tanım 6 (Çarpma). Birer gerçel sayıya karşılık gelen $G=\{G^L\mid G^R\}$ ve $H=\{H^L\mid H^R\}$ oyunları alalım. $G\cdot H$ oyununu özyinelemeli olarak şöyle tanımlıyoruz: $$ \left\{ \begin{array} \,G^L\cdot H + G\cdot H^L \,-\, G^L\cdot H^L, \\ G^R\cdot H + G\cdot H^R \,-\, G^R\cdot H^R \end{array}\Bigg| \begin{array} \,G^L\cdot H + G\cdot H^R \,-\, G^L\cdot H^R, \\ G^R\cdot H + G\cdot H^L \,-\, G^R\cdot H^L\end{array} \right\}$$
Bu çarpmanın gerçel sayılardaki çarpma gibi davranıp davranmadığını kontrol edelim.
Teorem 12. Her $G=\{G^L\mid G^R\}$ oyunu için, $G\cdot 0= 0\cdot G= 0$ ve $G \cdot 1= 1 \cdot G= G$ sağlanır.
Kanıt. Herhangi bir oyunu $0$ oyunuyla çarptığımızda, $0$’ın hiç hamlesi olmadığından çarpımın da hamlesi olmuyor, yani yine $0$ oyununu elde ediyoruz. $G$ oyununu $1$ ile çarptığımızı düşünelim. $1$’in tek sol hamlesi $0$, sağ hamlesi ise yok, yani içinde $1$’in sağ hamlesi geçen terimler kayboluyor.
$$\begin{split}
G\cdot 1=& \{G^L\! \cdot 1 + G\cdot 0 \,-\, G^L\! \cdot 0\mid G^R\! \cdot 1 + G\cdot 0 \,-\, G^L\!\cdot 0\} \\
=& \{G^L\! \cdot 1 + 0 \,-\, 0\mid G^R\!\cdot 1 +0 – 0\} = \{G^L\mid G^R\!\cdot 1\}.
\end{split}$$
$$\begin{split}
G\cdot 1=& \{G^L \cdot 1 \} \\
=& \{G^L\! \cdot 1 + 0\}.
\end{split}$$
Bu son ikili küme de tümevarımla $G$’ye eşittir. $\qquad \qquad \square$
Soru 8. Bir saniye, tümevarımı doğum günü üzerinden yapıyorduk. Oyunların hepsi sonlu hamlede bitecek ama bir oyunun doğum günleri farklı sonsuz hamlesi olabilir. Yani oyun sonlu hamlede mutlaka bitse de doğum günü sonlu olmayabilir!
Beni yakaladınız sevgili dostum, o kısımı geçiştirmiştim. Çok haklısınız. Örneğin doğal sayıların da hepsi sonlu ama üst sınırına bakınca sonlu bir değer bulamıyoruz. Gerçek tümevarım size anlattığımdan biraz daha karışık, ben size daha çok ana fikri verdim. Tümevarımı,
“$\Phi(G^R), \Phi(G^L)\Rightarrow\Phi(G)$ ve $\Phi(0)$ doğruysa, o zaman tüm oyunlar için $\Phi(G)$ sağlanır.”
şeklinde yapıyoruz, bu doğru. Bunu tamamen doğum günü üzerine kurabileceğimiz tam olarak doğru değil, bu biraz daha karışık. Belki başka bir sohbette daha detaylı konuşuruz.
İyi haber ise toplaması, çarpması ve sıralamasıyla, gerçel sayıları oyunlar içinde tamamen tanımlamayı başarmış olmamız. Bunların istediğimiz özellikleri sağladığını göstermeyi aşağıda bir seri alıştırma olarak ifade ettik. Şimdi bir sonraki adıma geçebiliriz.
Alıştırmalar: Aşağıdaki önermeleri kanıtlayın:
- $G\geq 0$ ve $H \geq 0$ ise $G+H \geq 0$ olur.
- $G\leq 0$ ve $H \leq 0$ ise $G+H \leq 0$ olur.
- $G\trianglerighteq 0$ ve $H\trianglerighteq 0$ ise $G+H\trianglerighteq H$ olmak zorunda değildir.
- $-G +(-H)=-(G+H)$.
- Her $x< y$ gerçel sayı çifti için, onlara denk gelen oyunlar $x <y$ eşitsizliğini sağlar.
- Her $x,y$ gerçel sayı çifti için, $x$’e denk gelen oyun ve $y$’ye denk gelen oyunun toplamı $x+y$’ye denk gelen oyundur.
- Sayıya denk gelen $G=G’$ ve $H=H’$ oyunları alalım. Bu durumda $G\cdot H= H \cdot G$ olur.
- Eğer $G$, $G’$, $H$ ve $H’$ sayılara denk gelmiyorsa, yukarıdaki çarpma tanımında $G\cdot H= G’ \cdot H’$ olmak zorunda değildir.
- Oyunlarda çarpma işlemi değişmeli ve birleşmelidir: $$G\cdot H =H \cdot G, \quad (G\cdot H)\cdot J= G\cdot(H\cdot J).$$
- Çarpma toplama üzerine dağılır: $$(G+H)\cdot J=G\cdot J+ H\cdot C.$$
- Sayılara denk gelen her $G$ ve $H$ için, $(-G)\cdot H= G\cdot(-H)=-G\cdot H$ olur.
Gerçelüstü Sayılar
İki kişinin de alabileceği tek bir gri kutudan oluşan $\star$ oyunumuza dönelim. Bunun sayıların arasında yeri nedir?
Örneğin $\star$’ı $1$ ile karşılaştırmak için $\star+(-1)$ oyununa bakabiliriz:
Bu oyuna siyah oyuncu (yani L oyuncusu) başlarsa mecbur gri kutuyu almak zorundadır. Beyaz beyaz kutuyu alıp kazanır. Beyaz başlarsa gri kutuyu alır, siyaha hamle kalmadığı için yine beyaz kazanır. Yani $\star-1$ negatif bir oyundur, başka bir deyişle $\star < 1$ olur.
Benzer bir argümanla $\star > -1$ olduğunu da gösterebiliriz. Aslında bunlara şaşırmamak lazım. $\star$ o kadar simetrik bir oyun ki ne pozitif tarafta ne negatif tarafta kalabilir. $0$’a eşit de kesinlikle değil, kazanma durumu farklı. Peki nedir bu $\star$’ın durumu?
Arşimed Özelliği: Eğer bir $x$ sayısı tüm $n$ sayıları için $-1/{2^n} < x < 1/{2^n}$ eşitsizliğini sağlarsa $x=0$ olur.
Arşimed özelliğinin anlamı, sistemde sonsuz küçük elemanlar olmamasıdır. Bu gerçel sayılarda sağlanan bir özelliktir, bu nedenle gerçel sayılarla çalışırken, örneğin analiz yaparken, sonsuz küçük sayılar yerine limit kullanırız.
Gerçel sayılara sonsuz küçük sayılar eklenerek elde edilen yapılar da var ve bunlarla da çalışmak mümkün. Hatta sonsuz küçük sayıları ekleyip, daha büyük bir yapıda çalışıp, sonra sonsuz küçükleri sıfıra eşleyerek gerçel sayılara yeni sonuçlarla geri de dönebiliriz.
Matematikte sonsuz küçükleri içeren birkaç yapı var. Biri filtre ve ultrafiltreleri içeriyor. Bir diğeri ise bu yazıda kurduğumuz, kombinatorik oyunların oluşturduğu yapı: gerçelüstü sayılar.
Teorem 13. $\star$ oyunu tüm $n$ sayıları için $-1/{2^n} < x < 1/{2^n}$ eşitsizliğini sağlar. $0$’a eşit değildir.
$\star$’ın sistemimizdeki yeri işte bu. O $0$ etrafında bulunan ama $0$’a eşit olmayan, sonsuz küçük bir eleman. Kendisiyle topladığımızda $\star + \star = \{0\mid 0\} + \{0\mid 0\} = \{\star \mid \star \}$ oyununu elde ediyoruz. Bu oyunda hep ikinci oyuncunun kazandığını kontrol edebilirsiniz. Yani $\star +\star= 0$. Bu oyunun başka bir özelliği ise $-\star=\star$ olması.
Tabii bulanık elemanlar sadece $0$ etrafında yer almıyor. Her yerdeler! Örneğin herhangi bir $x$ sayısı için $x+\star$ oyunu $x$’in etrafında olan ama $x$’e eşit olmayan bir eleman olacaktır.
Üstelik $0$’la karşılaştırılabilir sonsuz küçük elemanlarımız da mevcut. Aşağıdaki iki oyunu düşünelim:
$$\uparrow:=\{0\mid\star\}, \qquad \quad \downarrow:=-\uparrow=\{\star\mid 0\}.$$
Teorem 14. $\uparrow$ oyunu sonsuz küçük pozitif bir oyundur. Başka bir deyişle, tüm $n$ sayıları için $0 < x < 1/{2^n}$ eşitsizliğini sağlar.
Benzer şekilde $\downarrow$ da negatif sonsuz küçük bir elemandır.
Kombinatorik Oyunların Tarihi ve Kaynaklar
Oyunların kazanan stratejisinin çalışılması ve bu konuda fikirler üretilmesi yeni değil, oyunlar var olduğundan beri var. Bunun matematik diline aktarılması ise son yüzyılda gerçekleşti. Kombinatorik oyun teorisi ile ilgili ilk çalışmalardan biri, Nim oyununun 1900’lerin başlarında Charles Bouton tarafından çözümlenmesi kabul ediliyor.
Bouton, C. L. Nim, A Game with a Complete Mathematical Theory (1901). Annals of Mathematics.
Sonrasında teori Sprague ve Grundy’nin çalışmalarıyla 1930’larda tüm tarafsız oyunlara genişletiliyor.$^8$ Hikâyenin taraflı oyunlara taşınıp, yukarıda konuştuğumuz matematiksel sisteme oturtulması ise 1960’larda Elwyn Berklekamp, Richard Guy ve John Conway isimli üç matematikçinin çalışmalarına dayanıyor.$^9$
Bu konudaki ilk kitap Conway’e ait: Sayılar ve Oyunlar. Bu kitap ikili kümelerden başlayarak bizim de konuştuğumuz gerçelüstü sayılar sistemini kuruyor. Anlatım matematik kitaplarında daha alışık olduğumuz şekilde tanımlar ve teoremlerle ilerliyor.
Conway, J. H. On Numbers and Games (1976). Academic Press.
İkincisi ise Berklecamp, Conway ve Guy’ın beraber yazdığı hâlâ kombinatorik oyun teorisinin en temel, en geniş ve en keyifli kaynağı olan 4 kitaplık Matematiksel Oyunlarınız için Kazanma Yöntemleri serisi. Bu kitaplar hikâyeyi tamamen oyunlar üzerinden anlatıyor, çeşit çeşit oyunlar ve renk renk örneklerle dolular. Üstelik yazarlar tanımları yaparken sürekli Alice Harikalar Diyarında$^{10}$ kitabına göndermeler yapmışlar. Örneğin simetri ilkesi kitaptaki ikiz karakterlere gönderme olarak “Tweedledum ve Tweedledee İlkesi” olarak geçiyor.
Berlekamp, E., Conway, J. H., Guy, R. Winning Ways for your Mathematical Plays: Vol I-IV (1982). Academic Press.
Ne yazık ki bu kitapların Türkçe çevirisi mevcut değil. Bu konuda tek bir Türkçe kitap çevirilmiş, Knuth’un Sürreel Sayılar kitabı.$^{11}$ Çok da keyifli bir kitap, iki gencin diyalogları ve antikçağdan kalan kalıntıları incleyerek gerçelüstü sayıları keşfetmeleri anlatılıyor. 1974 tarihli kitabın Türkçe çevirisi 1995’te yayımlanmış ama telif hakları nedeniyle yeni baskı yapılamıyor.
Knuth, D. E. Sürreel Sayılar (1995). Nar yayınları.
Türkçe kaynak olarak ne yazık ki başka öneri yapamıyorum.$^{12}$ Gelecekte beraber bu eksikliği gidermeye çalışabiliriz. İngilizce olarak ise Dierk Schleicher ve Michael Stoll’un internet üzerinden rahatça ulaşabileceğiniz “An Introducion to Conway’s Games and Numbers” başlıklı ders notlarını önerebilirim. Akademik seviyede, geniş ve detaylı bir metin. Güncel çalışmalar içinse MSRI (Mathematical Sciences Research Institute) kütüphanesine bakabilirsiniz. Bu konuda makalelerin toplandığı Games of No Chance kitap serisine MSRI internet sayfasından ücretsiz olarak ulaşabilirsiniz (http://library.msri.org/books/).
Kombinatorik oyun teorisi şu anda matematiğin aktif çalışılan bir alanı. Bu alanda birçok açık soru var ve düzenli olarak makaleler üretiliyor. Oyunlarla çalışmanın eğlencesine ek olarak, bu alanı çekici yapan başka bir yönü içine girmesinin kolay olması. Yukarıda konuştuklarımız dışında fazla bir ön bilgi gerektirmiyor. Bu da bu alanı daha genç matematikseverlerle (örneğin lise öğrencileri veya lisans öğrencileriyle) araştırma yapmak için güzel bir alan yapıyor. Gerekli ön bilginin çok az olduğu, bu konuya yatkınlığı olan ve iyi çalışan insanların rahatlıkla yeni sonuçlar üretebileceği bir alan.
Bu alanın başka bir özelliği de örgün matematik eğitiminin bir parçası olmaması. Yani matematik lisansı okuyup, yüksek lisans yapıp, doktora yapıp, akademisyen olarak çalışıp bu alanı hiç bilmeyebilirsiniz. Bu sohbeti tamamlarken sevgili dostum, size bu konuda artık matematikçilerin (kendi tanıdıklarım üzerinden kaba bir hesapla) yüzde 95’inden daha fazla bilgi sahibi olduğunuzu söyleyebilirim. Burada durmak zorunda hissetmeyin ama daha derginin başındayız. Daha konuşacak çok şeyimiz var.
$^1$ Bu ismi ilk bu yazıda kullandığım için Toplarkutu hakkında fazla bilgi bulamayabilirsiniz. Aslında Hackenbush/Biçerot isimli kombinatorik oyunun basitleştirilmiş bir halini oynuyoruz.
$^2$ Burada ağaçla kastettiğimiz aslında çizge teorisindeki ağaç, hem de köklü olanlar. (bkz. MD 2003-Güz sayısı) Çizge teorisi bilmiyorsanız da baş aşağı duran gerçek bir ağaç hayal edebilirsiniz.
$^3$ Kullanılan puanlamaya göre beraberlik de mümkün olabilir.
$^4$ Gri kutular birkaç sayfa ilerideki Her tarafsız oyun bir Nim kulesine eşdeğerdir! yazısında başrolde olacaklar.
$^5$ Oyuncuların isimlerini özgün halleriyle bırakmayı seçiyorum, hem ilgili okurlar onlara rahat devam edebilsin diye hem de S oyuncu ve S oyuncu kafa karıştırıcı olabileceği için. Alternatif fikirlerinizi paylaşabilirsiniz.
$^6$ Misère Oyunlar ve Çözüm Kümeleri yazısında bu konudan daha detaylı bahsedeceğiz.
$^7$ Şaka. Değil mi yoksa? Karşı örneğini bulursanız paylaşabilirsiniz.
$^8$ Bakınız Her tarafsız oyun bir Nim kulesine eşdeğerdir! yazısı.
$^9$ Ne yazık ki 2019, 2020 yıllarında üçünü de üst üste kaybettik. Guy daha 104 yaşının baharındaydı.
$^{10}$ Alice Harikalar Diyarında kitabının yazarı Lewis Carroll’un aslında Charles Lutwidge Dodgson adlı bir matematikçi olduğunu biliyor muydunuz?
$^{11}$ Ben olsam Gerçelüstü Sayılar diye çevirirdim haliyle.
$^{12}$ Konuyla ilgili en geniş Türkçe kaynağın elinizdeki bu dergi olma ihtimali var sevgili okur.
