Yazar: Olcay Coşkun (olcaycoskun@gmail.com)
Yıl: 2022-2
Sayı: 112
Galois teorisi matematiğin en temel ve en estetik teorilerinden birisidir. Galois’nın yaklaşımı problemlere bakış açımızda köklü bir değişiklik önererek cebirin (ve matematiğin) yönünü değiştirmiştir.
Her ne kadar günümüzde ileri matematik sayılsa da Galois’nın teorisi aslında çok temel bir gözlemi ifade etmektedir. Hepimiz polinomların karmaşık köklerinin ikililer hâlinde geldiğini biliriz: Eğer
İşte Galois’nın teorisi bu gözlemi genelleştirip, verilen bir polinom için, bir anlamda yerel olarak, o polinomun fark edemeyeceği değişimleri belirlemeyi hedeflemektedir. Örneğin,
Bu yazının amacı Galois’nın teorisinin tam bir sunumunu yapmak değil, bu köklü değişimin ana aracı sayılabilecek Galois gruplarını tanımlamaktır. Böylece teknik ayrıntılardan uzak durmayı ve daha geniş bir okuyucu kitlesine ulaşabilmeyi hedefliyoruz. Tam bir incelemeyi ilerleyen sayılarda bir kapak konusu olarak sunmayı planlıyoruz.
Biraz tarih
Polinomların köklerinin bulunması antik bir problemdir. Binlerce yıl öncesinden ikinci derece denklemlerin çözümlerini içeren kalıntılar bulunmaktadır. Kökleri bulma probleminin yanı sıra kökleri belli bir kurala göre bulma yöntemi de ayrı bir problem olarak karşımıza çıkar. Bu yazının konusu, kökleri polinomun katsayılarıyla ifade eden formüller bulma problemi hakkında. Ancak formülleri bulurken katsayılarla birlikte sadece
İkinci derece denklem içeren problemleri M.Ö. 1700’ler-den kalma Babil tabletlerinde bulunmaktadır. Babilliler
Daha yeni olan üçüncü ve dördüncü derece denklemler için olan çözümler 16’ncı yüzyılda bulunmuştur. Aşağıda bu çözümlerden birine kısaca göz atacağız.
Beşinci ve daha üst dereceli polinomlar için benzer formül arayışı uzun yıllar devam etmiştir. Birçok matematikçinin ilgisini çeken bu problemin yanıtının olumsuz olması beklenirken, hemen hemen eksiksiz ve olumsuz ilk yanıtı 1799’da Ruffini vermiştir. Ruffini’nin yanıtındaki boşlukları 1824 yılındaki yayınında Abel doldurmuş ve beşinci dereceden polinomların radikallerle çözülemeyeceğini kanıtlamıştır.
Diğer taraftan, Gauss’un hesaplarıyla gösterdiği ve Lagrange’ın genişlettiği sonuçlar bazı tür polinomların radikal çözümlerinin mümkün olduğunu göstermektedir. Dolayısıyla Abel’in teoremi yeni bir problem ortaya atmıştır:
Abel’in bu problem üzerinde çalıştığı bilinmektedir ancak çalışmasını tamamlayamadan, genç yaşta (27) tüberküloz hastalığından hayatını kaybetmiştir.
Galois bu yeni problemi, yine çok genç bir yaşta (18) çözmüş, ama ne yazık ki çözümünün kabul edilmesini göremeden bir düelloda, 21 yaşında, hayatını kaybetmiştir. Başlangıçta çeşitli gerekçelerle kabul edilmeyen Galois’nın çalışması 15 yıl sonra Liouville tarafından gözden geçirilip matematik dünyasına (MD’ye değil!) sunulmuştur. Böylece, radikallerle çözümlerin varlığını polinomlara ilişkilendirilmiş grupların (şimdi Galois grupları diyoruz) özellikleriyle belirleyen bu muhteşem fikir aydınlığa kavuşmuştur.
11 yaşına kadar evde eğitim gören Galois sonradan Paris’teki Collége Louis-le-Grad’a devam etti. 1828 ve 1829’da École Polytechnique’e girme çabaları sonuçsuz kalınca 1829’un Ekim ayında École Préparatoire’e (sonradan École Normale Supérieure adını alacak) kabul edildi. Ancak siyasi nedenlerle Aralık 1830’da okuldan atıldı. 1831-1832 yılları arasına sekiz ay hapis de yatan Galois 31 Mayıs 1832’de bir düelloda hayatını kaybetti. [1]
Galois grupları, köklerin bir takım permütasyonlarının ürettiği gruplardır. Bu fikir, yani köklerin permütasyonlarını düşünmek, ilk Galois tarafından keşfedilmemiştir. Öncesinde Ruffini ve Abel aynı fikri kullanmış olsalar da fikrin olgunluğa ulaşması Galois’yla birlikte olmuştur.
Kısa bir kronoloji
1545: Cardano, “Ars Magna”; üçüncü (Cardano) ve dördüncü (Ferrari) derece denklem çözüm yöntemi.
16. yy: Vieta’nın çalışmalarıyla formüllerin ortaya çıkışı.
1771: Lagrange, simetriler yardımıyla bilinen formülleri bir araya getirir, benzer yöntemlerin beşinci derece için çalışmayacağını gözler.
1799: Ruffini, beşinci derece denklemler için radikal çözüm olmadığı yönünde kanıt sunar, eksik olduğundan kabul görmez.
1801: Gauss, çember (ing. cyclotomic) polinomların radikallerle çözülebileceğini gösterir.
1813: Ruffini, o zaman değilse de bugün kabul gören bir kanıt sunar.
1824: Abel, beşinci derece denklemler için radikal çözüm olmadığının (kabul edilen) ilk kanıtını yapar. Simetrileri kullanmaktadır.
1830: Galois, grup tanımını da içeren ve Abel-Ruffini teoremini genelleyen kanıtını sunar, ama kabul görmeyen bu kanıt, Galois’nın ölümüyle bir süre kaybolma tehlikesine yaşar, taa ki
1847: Liouville Galois’nın çalışmasını herkesin kabul edeceği bir formda sunana kadar.
1930: Artin, (aradaki gelişmeleri haddimiz olmadan atlayarak) Galois’nın teorisinin modern versiyonunu ortaya koyar.
Düşük derecelerde ne oluyor?
Hepimiz ikinci derece denklemleri çözmeyi biliyoruz:
formülleriyle verilir. Bu çözüm binlerce yıldır bilinmektedir! Kökler,
eşitliklerini de sağlar.
Üçüncü ve dördüncü dereceler için de kökleri benzer şekilde veren formüller vardır. Her iki formül de 16’ncı yüzyılda ortaya çıkmıştır. İlk olarak, Cardano üçüncü derece (kübik) denklemler için, sonrasında Ferrari dördüncü dereceler için yöntemler ortaya atmıştır. Daha sonra, Lagrange bilinen formülleri birleştiren bir sonuç kanıtlamıştır. Aşağıda sadece kübik denklemlerin çözümünü anlatacağız.
Öncelikle, herhangi bir kübik denklemi standart adı verceğimiz bir biçime dönüştürelim. Bir kübik denklemin en genel formu
İlk olarak, eğer gerekliyse,
elde edebiliriz. Kökleri
denklemine standart kübik denklem diyeceğiz.
Elde ettiğimiz denklemi çözelim. Öncelikle
denkleminin çözümlerinin
Böylece standart kübik denklemimizin köklerini bulmuş olduk:
Aslında bu son eşitlik toplamda 9 sayı tarif etmektedir (her bir küp kökün 3 değeri olacak). Ancak
Vieta’nın Teoremi’nin kübik versiyonu, katsayıları köklerin fonksiyonu olarak belirler:
Verdiğimiz iki örneğin önemli iki ortak özelliğine dikkat çekelim:
- Kökleri veren formüller denklemin katsayılarını ve sadece
işlemlerini ve kök alma işlemini kullanıyor. - Katsayıları kökler cinsinden ifade ettiğimizde ortaya çıkan ifadeler köklerin permütasyonlarından bağımsızdır.
Tabii ikinci gözlem temel olarak Vieta’nın Teoremi’nin bir sonucudur ve tüm derecelerden polinom denklemleri için geçerlidir. Konuyu bilenler için, bu katsayı formülleri aslında köklerin temel simetrik polinomlarından başka bir şey değil! Asıl problem ilk gözlemin ne kadar genel olduğu!
Biraz tanım
Galois’nın içgüdüsü, belki de problemin çözümünün katsayıları değil kökleri düşünerek bulunacağıydı. Galois’nın makalesinde katsayıların hiç görünmüyor olması bu içgüdüye işaret olarak düşünülebilir. Biz de bu fikri takip edeceğiz. Dolayısıyla, yazımızın geri kalan bölümü için,
Tanım 1.
Örnek 1.
olur. Gerçekten de
Örnek 2.
olur. Bu örneğe daha sonra döneceğiz. Alıştırma olarak,
eşitliğinin sağlandığını göstermeye çalışın.
Galois cisim teorisini kullanmamıştır. Modern dilde
ve polinomları seçildiğinde düzgün tanımlı bir fonksiyondur. Diğer taraftan, ’de hesapladığımızda ortaya bir karmaşık sayı çıkar ve bu sayının gösterimi biricik değildir.- Başlangıçta kökleri sıralarken ilk seçimimizden farklı bir sıralamayla başlarsak, sonuçta aynı kümeyi elde ederiz, ancak elemanları elde etme yöntemimiz değişir. Örneğin
sıralamasıyla başladığımızda polinomu yerine üretir.
Bu uyarılar kümenin tanımını etkilememektedir. Ancak az sonra göreceğimiz gibi köklerin permütasyonlarını tanımlarken etkili olacaklar.
Polinom kökü mü değil mi?
Bir polinomun kökü olma katsayılara bağlıdır. Eğer karmaşık sayı katsayılara izin verilirse her karmaşık sayı bir polinom kökü olur (
Cebirsel sayılar tüm rasyonel sayıları kapsar. Ayrıca bazı irrasyonel sayılar da cebirseldir, örneğin
Galois gruplarını tanımlamak için üç temel sonuca ihtiyacımız var. Bu sonuçların kanıtları cisim genişlemelerine ve polinom halkalarının bazı özelliklerine dayanır. Böylesine teknik bir inceleme uzun ve yoğun bir çalışma gerektirir. Bu sebepten, ihtiyaç duyduğumuz temel sonuçları kanıtsız sadece örnek üzerinde göstererek vereceğiz. Amacımız Galois’nın köklerin permütasyonu fikrini göstermek olduğundan kanıtsız ilerlemekte sorun görmüyoruz.
İlk iddiamız yukarıdaki örnekte alıştırma olarak verdiğimiz eşitliğin her zaman doğru olduğunu söylüyor. Daha açık olarak,
eşitliğini sağlayan bir
yani,
İndirgeyebildiklerimizden misiniz yoksa indirgeyemediklerimizden misiniz?
Polinomları incelerken katsayıların seçimi önemlidir. Örneğin, en rahat halimizle, katsayıların karmaşık sayılar olmasına izin verirsek, o zaman her polinomu birinci dereceden polinomların çarpımı olarak yazabiliriz. Gerçekten de
olur.
Eğer katsayıları kısıtlarsak, örneğin sadece gerçel katsayılı polinomları düşünürsek, bu durumda yukarıdaki çarpanlara ayırmaya her zaman izin vermemiş oluruz. Çünkü
kökler
olarak yazabiliriz. Burada
Bu kez indirgeyemediklerimiz birinci ya da ikinci dereceden polinomlar oldu. Bu yönde devam edip, katsayıları rasyonel sayılara kadar kısıtlarsak, artık herhangi bir dereceden indirgenemez polinomlar ortaya çıkmaya başlayacaktır. Örneğin
Örnek 3.
Yukarıdaki örneğe döneceğiz, yani
Biraz hesap yapalım:
buluruz. Dolayısıyla
Kanıtı zor ikinci iddiamızsa
söylüyor. (İndirgenemezlik için yazı içindeki ilgili kutuyu bulun!) Bir diğer deyişle, polinom kökleri
Örnek 4.
Bu iddiamızı da hemen bir önceki örnek üzerinde deneyelim.
Dikkat edilirse
eşitliği
Öncelikle
elde etmiş olduk. Kökler rasyonel olmadığından yukarıdaki çarpanlara ayırma rasyonel katsayılı olmadı. Polinomun indirgenemez olduğunu göstermek için ikili çarpımların da rasyonel katsayılı olmadığını göstermek yeterlidir. Bunu da okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz.
Şimdi örneği takip ederek, genel durumda da
Her
eşitliği sağlanır.
Dikkat edilirse,
Örnek 5.
Yukarıda yaptığımız hazırlıkların meyvelerini toplama zamanı geldi. Bulduğumuz
Bu noktada imkânsızı başarıp üçüncü iddianın doğruluğunu da kabul eden okuyucu Galois grubunun tanımını görebilir. Amacımız köklerin permütasyonlarını tarif etmekti. Yukarıdaki örnekte de görüleceği gibi her bir
kökleri
olarak tanımlanır.
Örnek 6.
Yukarıdaki tablodan köklerin permütasyonlarını okur ve bunları standart olarak
olduğunu görürüz. Temel grup teori bilgisiyle,
sonucuna ulaşabiliriz.
Şimdi durup, verdiğimiz isimlerden bağımsız olarak sonucu anlamaya çalışalım. Polinomumuzun kökleri
Permütasyonlara bakarsak, aslında sadece ilk iki kökü ve son iki kökü kendi aralarında karıştırmaya izin veriyoruz. Yani, köklerin simetrileri aslında bir dikdörtgenin simetrileriyle eşleşiyor. Bu beklentimizi karşılayan bir sonuç, çünkü
olarak yazılabilir ve bu yazımdaki çarpanlar indirgenemezdirler. Dolayısıyla, parçaların köklerinin birbirinden bağımsız olmasını bekliyoruz. Çok daha ilginç iki polinom örneğini aşağıda bulabilirsiniz.
Peki ya sonra?
Kritik kanıtları yapmadan hızlıca Galois gruplarını tanımladık. Dikkat ederseniz, yukarıdaki örneğimizde, dört kökün toplam 24 permütasyonundan 4 adedini belli bir şekilde seçtik ve ortaya çıkan gruba (grup ortaya çıkması da ilginç!) Galois grubu dedik. Her şeyden önce bu grubun radikallerle çözümün mümkünatı ile ilgisinin kurulması gerekli.
Galois’nın temel sonucu da işte bu ilişkiyi kuruyor:
Galois teorisini kullanarak derecesi dört ve daha küçük her polinomun radikallerle çözülebileceğini formülleri bulmadan kanıtlayabiliriz. Tek yapmamız gereken bu tür polinomların Galois gruplarının çözülebilir olduğunu göstermek. Ancak en çok dört kök olacağından, köklerin bütün permütasyonlarını düşünsek bile, elde edeceğimiz grubun mertebesi en çok 24 olacaktır. Grup teori kullanarak, çözülebilir olmayan gruplardan en düşük mertebelisinin mertebesinin 60 olduğu gösterilebilir. Dolayısıyla mertebesi
Diğer taraftan derecesi 5 veya daha büyük olan polinomlardan bir çoğunun Galois grubu çözülebilir değildir. Örneğin
Galois’nın simetrileri bildiğimiz gibi değil!
Galois’nın seçtiği kök simetrileri, köklerin geometrik yerlerine bakarak gözle karar verilebilmenin ötesindedir. Aşağıdaki iki örneğe bakalım. Sizce hangisi daha simetrik? Hangi polinom radikallerle çözülebilir?


(Grafikler wolframalpha.com sayfasından alınmıştır.)
Görsel olarak incelediğimizde sağdaki resim daha simetrik görünüyor. Hem koodrinat eksenlerinde hem de
Beklenen sürpriz, Galois teori yönünden, soldaki şeklin daha simetrik olduğu yönünde. Gerçekten de soldaki kökler,
Diğer yandan sağdaki şekil Galois teorisi açısından simetri fakiridir. Bu görseldeki sekiz kök,
Galois teorisini, dolayısıyla cisim genişlemelerini ve polinom halkalarını, daha derinlemesine öğrenmeden bu sonucun kanıtını anlamak pek mümkün değil. Yine de Galois’nın ulaştığı sonucun yüceliğini takdir edebiliriz. Köklerin permütasyonlarından kritik bir seçim yaparak, yüzyıllar boyunca çözülemeyen bir problemi, tamamen soyut bir kavram (grup) ortaya atıp, bu soyut kavramın bir özelliğine indirgemiş ve çözmüştür.
Galois’nın ortaya attığı bakış açısı biz cebirciler için bir rol modeldir. Yaptığımız işlerde Galois’yı örnek alır, onun yarattığı teorinin benzerini bulmak isteriz. Lisans cebir derslerinden başlayarak öğrencilerimize bu yaklaşımı öğretir, cebirsel yaklaşımlarının Galois’nın teorisiyle şekillenmesini isteriz. Birçok matematikçinin de kabul edeceği üzere, Galois’dan bu yana soyut matematikte daha büyük bir keşif olmamıştır!
Yazımızı, Galois’nın düello gecesi, 29 Mayıs 1832’de arkadaşı Auguste Chevalier’e yazdığı mektubun son cümlesiyle bitirelim. Galois’nın radikallerin çözümü de dahil önemli çalışmalarını bu mektupla arkadaşına gönderdiği inancı olsa da yukarıda belirttiğimiz tarihlerden de anlaşılacağı üzere bu doğru değildir. Bu mektup Galois’nın bazı yeni keşiflerini içerse de en önemlilerini içermemektedir. Çok genç yaşta hayatını kaybeden Galois’nın yazılarının titiz ve detaylı bir incelemesi [3]’te bulunabilir. İlgilenen okurlara içtenlikle tavsiye ederiz.
Après celà il se trouvera, j’espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gachis. Je t’embrasse avec effusion.
Bundan sonra, umarım, tüm bu karmaşayı deşifre etmekten faydalanacak insanlar olacaktır. Seni coşkuyla kucaklıyorum.
Galois’nın çalışmaları
Sur la théorie des nombres Nisan 1830.
Galois bu makalesinde sonlu cisimleri tanımlar ve bu cisimlerin temel özelliklerini inceler.
Bu makalenin dışında, Galois’nın yukarıda bahsettiğimiz mektubunda sözü geçen 3 çalışması bulunmaktadır:
Sur les conditions de résolubilité des equations par radicaux:
Bugün Premier Mémoire olarak biliniyor. Paris Academy’nin üç kere reddettiği bu çalışma Galois gruplarının tanımını ve çözülebilirlik kriterini içeriyor. Galois Theori’nin ortaya çıktığı çalışmadır. 1847’de Liouville tarafından gün ışığına çıkarıldı. Taslağın başlığını (yukarıda) ve kanıtlarından bir parçayı (aşağıda) kendi el yazısından fotoğraflarla paylaşıyoruz. Tüm notlara [4]’ten ulaşılabilir.
Second Mémoire: Galois’nın bu çalışması taslak olarak kalmıştır. Grup teorinin temellerini incelemeye gayret sarfettiği bu taslakta çözülebilir grupları da belirlemeye çalışmıştır.
Troisième Mémoire: İntegraller ve elliptik fonksiyonlar hakkında olduğunu belirttiği bu çalışma kaybolmuştur.
*: Çözülebilir gruplar ilerleyen yıllarda başka özellikleriyle de öne çıkmıştır. 1900’lerin başında Burnside çözülebilir olmayan grupların mertebesinin çift olması gerektiğini iddia etmiştir. Bu sanı 60 yıl sonra Feit-Thompson tarafından çözülmüş ve elde edilen sonuç basit sonlu grupların sınıflandırılması probleminin temel taşlarından biri olmuştur.
- Gowers, T. et al, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.
- Tignol, J. P., Galois’ Theory of Algebraic Equations, World Scientific, 2001.
- Neumann P. M., Mathematical Writings of Évariste Galois, European Mathematical Society, 2011.
- Galois É., Manuscripts, digital images by F. Xavier Labrador at