Yazar: Kazım Büyükboduk
Sevgili Hocam Cem Yalçın Yıldırım’ın 60’ıncı doğumgünü anısına.
Giriş
Bu yazı her ne kadar Yalçın Abi’nin 60’ıncı yaş gününe adanmış olsa da onun pek de hoşlanmayacağı derecede odaktan şaşmış bir yazı olacak: Asallar alemindeki temel problemlerden farklı optiklerle bahsetmeyi hedef edinmiş, hani biraz amiyane tabirle (Covid günlerinde sürekli iç geçirerek andığım lokantaları çağrıştırdığı için kullanmaktan kendimi alıkoyamadığım) “ortaya karışık” bir yazı.
Yalçın Abi Bilkent’te lisans öğrencisi olduğum dönemde akademik danışmanımdı. Henüz dijitalleşmemiş kayıt dönemlerinde, onun önerileriyle ve imzalı onayıyla derslere kayıt olurdum yani. Onun derslerini de aldım ama belki de ondan edindiğim en çarpıcı ilke, bir matematikçi olarak çalışacağım problemin bir odak, hatta nirvana noktasının bulunması gerektiği nasihatiydi.
Yalçın Abi’nin odağındaki nesne Riemann zeta fonksiyonu ve onun için bu nirvana noktası Riemann Hipotezi’ydi: matematik dünyasında önemi ve zorluğu herkesçe kabul görmüş, üzerine inanılmaz yoğunlukta zihinsel güç yatırımı yapılmış olmasına rağmen çözülememiş problemlerden biri. Bu yazı içerdiği bir çok (ilk bakışta) birbirinden bağımsız matematiksel kavram itibariyle oldukça dağınık görünse de, aslında bunları birbirine bağlayan bir kavram var: $L$-fonksiyonları. Yani başlıkta ima edildiği gibi, yazıya bu şekilde bakarak, rastgele görüntüsü altında bir düzenden bahsediyor olma ihtimaline bir şans tanıyarak okumalısınız belki de.
Asal Sayılar Arasındaki Boşluklar
Yalçın Hoca’nın matematik dünyasında herkes tarafından bilinen muazzam sonucu, asal sayıların dağılımıyla ilgili. Öklit’ten bu yana asalların sonsuz sayıda olduğunu biliyoruz. Bunları küçükten büyüğe sıralayabiliriz: Bundan böyle $p_i$ ile, asalları küçükten büyüğe sıraladığımızda $i$’inci sırada bulunan asalı gösterelim. Mesela $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$, $p_4=7$, $p_5=11$, $p_6=13$, $p_7=17$, vs.
Öklit’ten öğrendiğimiz kadarıyla, bu liste sonsuzdur. Elbette ki bu asal sayılarla ilgili sorular sormayı bırakmalıyız anlamına gelmiyor, hatta belki tam tersi: Mesela, $[1,X]$ aralığında rastgele bir pozitif tamsayı seçtiğimizde, hangi olasılıkla bu tamsayı bir asal sayıdır? Asal sayılar sonlu sayıda olsaydı, bu olasılık $X$ büyüdükçe mecburen 0’a yaklaşacaktı. Bir sonraki cümleyi okumadan önce, bu ifadeyi kavramaya çalışın. Ama Öklit sağolsun, bu sorunun cevabının o kadar kolay olmadığını biliyoruz — bu problem 19. yüzyılın sonunda Jacques Hadamard ve Charles Jean de la Vallêe Poussin tarafından Asal Sayı Teoremi ispatlanıncaya kadar açık kalmıştır. Asal Sayı Teoremi, bize $1$ ile $X$ arasında rastgele bir tamsayı seçtiğimizde, seçtiğimiz sayının asal olma ihtimalinin kabaca $\frac{1}{\ln(X)}$ olduğunu, başka bir ifadeyle, kabaca $X$ kadar büyük olan ardışık asallar arasındaki ortalama uzaklığın kabaca ${\ln(X)}$ olduğunu söylüyor.
Evet, pek de basit olmayan bir cevap ve ispatı da aynı derecede çetrefilli. Ana oyuncu: Riemann’ın Zeta fonksiyonu. Bu sonucu asal sayıların dağılımıyla ilgili ilk ciddi sonuç olarak not edelim.
Bundan sonraki sorumuz, asalların hangi sıklıkta karşımıza çıkabilecekleri. Bir başka deyişle, ardışık sıralanmış iki asal, misal $k$’inci sıradaki $p_k$ asal sayısıyla $(k+1)$’inci sıradaki $p_{k+1}$ verildiğinde, aralarındaki fark (yani $p_{k+1}-p_k$) $k$ değiştikçe nasıl davranıyor olabilir? Kısa bir örnekle, bu sorunun da cevabının öyle çok basit olmadığını görelim: Aralarındaki fark en az 100 olan asal sayıların varlığını kanıtlayacağım. Bunun için, şu 100 elemanlı kümenin,
$${101!+2, 101!+3,\ldots, 101!+100, 101!+101}$$
hiç bir elemanının asal olamayacağını ve $101!+2$’den küçük bir asalın var olduğunu gözlemek yeterli. Benzer bir fikri kullanarak, herhangi bir $n$ pozitif tamsayısı verildiğinde, aralarındaki fark en az $n$ olan asalların varlığını kanıtlayabilirsiniz. Bir başka deyişle, $p_{k+1}-p_k$ farkının dilediğimiz kadar büyük olmasını sağlayabiliriz.
Asallar arasındaki “küçük” boşluklar
Yalçın Hoca’nın asal sayılarla ilgili büyük katkısı, diğer ekstremle ilgili:
$p_{k+1}-p_k$ farkı ne kadar sıklıkla “küçük” olabilir?
Bu probleme girişmeden sormamız gereken ilk soru elbette küçük derken, kastımız ne kadar küçük? Diyelim ki aritmetiğin elverdiği ölçüde en küçük — yani $p_{k+1}-p_k$ farkı hangi sıklıkta $2$ değerini alabilir? Belki biraz daha “kolay” haliyle:
İkiz Asal Problemi: $p_{k+1}-p_k$ değerinin $2$ olmasını sağlayan sonsuz sayıda ardışık asal sayı ikilisi
${p_k,p_{k+1}}$ bulunabilir mi?
Bir başka deyişle, $p$ ve $p+2$ tamsayılarının aynı zamanda asal olmasını sağlayan sonsuz tane $p$ tamsayısı bulunabilir mi?
İlk bakışta makul lise eğitimi almış pek çok insana “dur ya bir bakayım şu probleme, öyle çok da eti, budu yok gibi” diye düşündürebilecek bir problem. Ama bu son derece zararsız görünümlü problem, bir çok profesyonel matematikçi için ömür törpüsü olmuştur!
Yanlış anlaşılmamak için bir not düşmeliyim: Bir matematikçi için, tek bir matematik problemi üzerinde ömür boyu çalışmak çok da yadırganacak bir durum değil asla. Yalçın Hoca’nın hepimiz için dersi tam olarak bu: Büyük bir hedefle çalışırsanız, o istikamette atacağınız her adım kıymetli olacaktır. Hem kendi entelektüel gelişiminiz anlamında, hem de çalıştığınız alana yapacağınız katkı anlamında. Bu yazıdan size kalacak tek bir fikir seçecek olsam, Yalçın Hocamız’ın bu nasihatı olurdu muhakkak!
Son yüzyılda ikiz asal problemi üzerine çalışan bir çok ünlü isim olmuş. Ardışık asalların aralıkları hakkında belki de ilk kantitatif sonuç Paul Erdos’e ait. Tekrar hatırlatmaktan zarar gelmez, problemimiz $p_{k+1}-p_k$ farkının sonsuz sıklıkta ne kadar küçük olabileceğini belirlemek. Az önce küçükle kastımız ne olabilir sorusuna ekstrem bir yanıt verdik, ama tecrübelerin gösterdiği kadarıyla, baş edilmesi çok güç bir problemle karşılaştık. O yüzden biraz daha az iddialı bir ‘küçüklük’ ölçütü belirleyelim.
Birkaç paragraf öncesinden hatırlayalım, Asal Sayı Teoremi bize bu farkın ortalamada kabaca ${\ln(p_k)}$ olduğunu söylemişti. O zaman belki ilk makul soru olarak, $p_{k+1}-p_k$ farkının sonsuz sıklıkta ${\ln(p_k)}$ değerine kıyasla bir nebze de olsa küçük olup olamayacağı sorusunu irdelemeliyiz.
Daha matematiksel ifadeyle, 1’den küçük bir $c$ pozitif reel sayısı için,
$p_{k+1}-p_k< c \ln (p_k)$
eşitsizliğini gerçelleyen sonsuz sayıda ardışık asal sayı ikilisi $(p_k<p_{k+1})$ bulunabileceğini ispat etmek. İşte Erdos tam olarak bu neticeyi kanıtlamış, 1940 senesinde!
Bu sonucu biraz daha kompakt biçimiyle ifade edebiliriz, ama bu biraz matematiksel olgunluk gerektiriyor olabilir: (Örneğin, Wikipedia seviyesinde $\liminf$ kavramıyla tanışıklık yeterli olacaktır.)
$$\liminf_{k\to \infty} \frac{p_{k+1}-p_k}{\ln(p_k)} < c<1.$$
Bunun ikiz asal problemiyle alakasını görüyorsunuz eminim, ama yazının sonraki parçalarıyla ilgisini kurabilmek adına, ikiz asal problemini daha zayıf haliyle de not edeyim istedim. Problemimiz şu: Sonsuz sayıdaki $p$ asalı için, $[p, p+d(p)]$ aralığında en az iki asal bulunmasını olanaklı kılacak mümkün olduğunca küçük $d(p)$ değerini kabaca bilmek istiyoruz. Mesela ikiz asal probleminin kendisi, $d(p)=2$ için -Yani $d(p)$’nin zaten alabileceği en küçük değer için, çünkü ardışık iki tek asal arasındaki fark en az $2$ olabilir- bu iş olur diye tahmin yürütüyor. Erdos ise bize nispeten daha mütevazı bir üst sınır belirliyor ve $d(p)$ değerini $c \ln(p)$’den küçük seçebileceğimizi söylüyor. (Mütevazı, ama yine de beklenen ortalama uzaklıktan küçük.) Bir başka ifadeyle, $0<c<1$ olmak üzere $[p,p+c\ln(p)]$ aralığında en az iki asal bulunmasını olanaklı kılan sonsuz sayıda $p$ asalı bulunduğunu gösteriyor.
Burada dikkat edilmesi gereken konu, $c\ln(p)$ değerinin, Asal Sayı Teoremi’nin işaret ettiği iki asal arasındaki ortalama uzaklığa kıyasla küçük olması. Diğer dikkat edilmesi gereken konu, $d(p)$ için Erdos’ün belirlediği üst sınırla ($c \ln(p)$ ile) ikiz asal probleminin tahmin ettiği sınır ($2$”) arasında hâlâ çok büyük bir uçurum bulunduğu ve tahmin edebileceğiniz üzere, daha alacağımız çok yol olduğu! Erdos’ün bu sonucunu Helmut Maier 1986 yılında, bahsi geçen $c$ pozitif reel sayısının değerini $0,25$ olarak belirleyebileceğimizi kanıtlayarak geliştirmiş olsa da yine de yol uzun.
Ve artık sahne sırası Yalçın Hoca’mıza geldi nihayet! Bu problem üzerine Cem Yalçın Yıldırım’ın ilk bahsedeceğim neticesi, 2004 sonbaharında Daniel Goldston’un Oberwolfach’ta duyurduğu -Bu düzeltme için Yalçın Abi’ye çok teşekkür ediyorum- $c$ değerinin $0,134$ olarak belirlenebileceğini kanıtladıkları Goldston ile ortak çalışması.
Bundan çok kısa bir süre sonra, Cem Yalçın Yıldırım, Daniel Goldston ve Janos Pintz’in 2004 Aralık’ında tamamladıkları ortak çalışmaları bütün matematik dünyasında gerçek anlamda ses getirdi. Goldston–Pintz–Yıldırım, $c$ pozitif reel sayısının değerini dilediğimiz kadar küçük seçebileceğimizi kanıtladı. Daha matematiksel bir ifadeyle artık,
$\liminf_{k\to \infty} \frac{p_{k+1}-p_k}{\ln(p_k)} =0$
olduğunu, daha az matematiksel ifadeyle, ardışık asallar arasındaki farkın sonsuz sıklıkta ortalama farktan çok çok daha küçük olabileceğini öğrendik, Yalçın Hoca ve ortakları sayesinde!
Goldston–Pintz–Yıldırım, bu neticelerini bir adım daha öteye taşıyıp, seri makalelerinin ikincisinde,
$\liminf_{k\to \infty} \frac{p_{k+1}-p_k}{(\ln(p_k))^{\frac{1}{2}}(\ln \ln(p_k))^2} =0$
olduğunu, bir başka deyişle, ardışık asallar arasındaki farkın sonsuz sıklıkta ortalama farktan (büyüklük mertebesi kıyasında dahi) çok küçük olabileceğini kanıtladılar.
Bu sonuçlar her ne kadar ikiz asal sayı probleminde iddia edilen, yani
$\liminf_{k\to \infty} \, ({p_{k+1}-p_k}) \stackrel{?}{=}2$
tahminine kıyasla zayıf görünse de teknik açıdan çok büyük bir ilerlemeye dayalı ve birazdan bahsedeceğim çok çarpıcı başka neticelere ulaşılmasına olanak sağlayan kapıyı aralayan metodlara dayanıyor.
Bundan 10 sene kadar önce, İstanbul Sayılar Teorisi Buluşmaları’nın ilkinde Yalçın Hoca bu çalışmalarından bahsettiği bir konuşma yapmıştı. Temel teknik adımlarının, 100 küsur sayıda eşitsizliği doğrulamak olduğundan bahsettiğini hatırlıyorum. Bu da yapılan işin ne derece muazzam bir özveri ve odaklanma gerektirdiği konusunda bir ipucu verebilir belki.
Bundan sonraki hedef, ardışık asallar arasındaki farkın sonsuz sıklıkta daha önce belirlenmiş bir değerden küçük olduğunu, matematiksel ifadeyle
$\liminf_{k\to \infty} \,(p_{k+1}-p_k) $
değerinin sonlu olduğunu kanıtlamak ve bu değer için makul üst sınırlar bulmak olmuştu artık. Peşinde olduğumuz ifadeyi daha net ortaya koyabilmek adına:
$$\liminf_{k\to \infty} \,(p_{k+1}-p_k) \leq N$$
demek, aralarındaki fark en çok $N$ olan sonsuz sayıda ardışık asal ikilisi var demek oluyor. Hatırlatayım; ikiz asal problemi $\liminf\, ({p_{k+1}-p_k}) \leq 2 $ olduğunu iddia ediyor, yani üst sınır olarak $N=2$ belirleyebileceğimizi söylüyor. O kadarının şu aşamada hayal olduğunu düşünerek, bu daha zayıf haliyle (ama hala çok çok zor!) problemi çalışmak makul görünüyor olmalı.
Yalçın Hoca ve çalışma arkadaşları, bir ön koşula dayalı da olsa, aslında \eqref{eqn_bounded_gaps} tadında sonuçlar da elde etmeyi başarmışlardı. Elliott-Halberstam sanısının doğru olduğunu varsayarsak,
$$\liminf_{k\to\infty } ({p_{k+1}-p_k}) \leq 16$$
olduğu ve hatta daha net olarak,
$${n+7,n+11,n+13,n+17,n+19,n+23}$$
kümesinin en az iki asal barındırmasını olanaklı kılacak sonsuz sayıda $n$ tamsayısı bulunabileceği Goldston–Pintz–Yıldırım’ın çalışmalarında ispat ediliyor. Bunun ikiz asal sanısına ne derece yakın bir ifade olduğunu görebiliyorsunuzdur diye tahmin ediyorum ve umarım ki bu kısa özet, bunun o mertebede heyecan verici bir sonuç olduğunu ve Yalçın Hocayla ortaklarının çalışmasının muazzam önemini gözler önüne seriyordur.
Hikâye elbette burada bitmiyor: 2013 yılında Yitang Zhang, Yalçın Hoca ve çalışma arkadaşlarının yöntemlerini bir aşama öteye taşıyarak, koşulsuz olarak,
$$\liminf_{k\to\infty} ({p_{k+1}-p_k}) < 70.000.000$$
olduğunu kanıtladı! Diğer bir ifadeyle, ardışık iki asalın arasındaki fark sonsuz sıklıkta yetmiş milyondan küçük olmak zorundadır.
Bu çarpıcı sonucun sahibi Yitang Zhang ile beraber, Daniel Goldston, Janos Pintz ve Cem Yalçın Yıldırım Amerika Matematik Topluluğu (AMS) tarafından Frank Nelson Cole Ödülü’ne layık görüldüler.
Peki neden yetmiş milyon? Zhang denklemi ile belirlenen bu üst sınır oldukça rastgele bir sayıymış gibi duruyor. Zhang’ın çalışmasını takiben, Terence Tao ve James Maynard liderliğinde Polymath 8 projesiyle, Zhang ve Goldston–Pintz–Yıldırım yöntemini keskinleştirerek bu üst sınırı 246’ya kadar çekmeyi başardılar:
$$\liminf_{k\to\infty} ({p_{k+1}-p_k}) \leq 246\$$
Asal sayılar arasındaki “büyük” boşluklar
Elbette ki ardışık asalların aralarındaki fark sonsuz sıklıkta ne kadar küçük olabilir sorusuna paralel olarak, ne kadar büyük olabilir sorusunu da sorabiliriz. Hatırlatmak gerekirse, buradaki büyüklük ya da küçüklük için kıstasımız, Asal Sayı Teoremiyle belirlenen ortalama.
Bu bağlamda, $G(X)$ ile bir $X$ pozitif reel sayısından küçük iki ardışık asal arasındaki olabilecek en büyük farkı gösterelim. Matematiksel ifadeyle
$$G(X):=\max_{p_{k+1}<X}{p_{k+1}-p_k}$$
olarak belirlenen tamsayı olsun. Problemimiz, $G(X)$’in Asal Sayı Teoremi’nin belirlediği ortalama fark olan $\ln(X)$’e kıyasla ne derece büyük olabileceğini bulmak.
Bu problemle ilgili ilk anlamlı netice Rankin tarafından 1938 yılında ispatlanmış:
$$G(X)\geq \frac{1}{3}\ln(X)\frac{\ln \ln(X) \cdot \ln \ln \ln \ln(X)}{(\ln \ln \ln(X))^2}.\,$$
Bu eşitsizliğin sağ tarafındaki ifadeye Rankin’in alt sınırı diyelim ve $G_R(X)$ ile gösterelim. Bunu takiben Erdos, $$G(X)\geq f(X)G_R(X)$$ve $$\liminf_{X\to \infty} f(X)=\infty$$olacak şekilde bir $f(X)$ bulanabileceğini ifade eden bir sanıya 10.000 dolar ödül koymuş.
Bu sanı, 2016 yılında Maynard ve bağımsız olarak Green–Ford–Konyagin–Tao tarafından kanıtlandı. Sonrasında, Maynard ve Ford–Konyagin–Tao güç birliği yaparak,
$$f(X)=c\ln \ln \ln(X)$$
seçimiyle Erdos’ün tahmin ettiği eşitsizliğin doğru olacağını gösterdiler. Daha net ifadeyle:
$$G(X) \geq c\ln \ln \ln(X) \cdot G_R(X) >> \ \ln(X)\frac{\ln \ln(X) \cdot \ln \ln \ln \ln(X)}{(\ln \ln \ln(X))}$$
Evet, bence de bu kadar eşitsizlik yeterli! Biraz duraksayalım kıssadan hisse için:
- Cem Yalçın Yıldırım ve ortaklarının çalışmasının devamı olarak Yitang Zhang ve Polymath 8 projesi tarafından, ardışık asallar arasındaki farkın sonsuz sıklıkta 247’den küçük olabileceği ispat edildi.
- Öte yandan, Maynard, Tao ve ekipleri, ardışık asallar arasındaki farkın sonsuz sıklıkta, Asal Sayı Teoremi’nin belirlediği ortalamadan mertebe olarak daha büyük olabileceğini kanıtladılar.
Kısaca, asalların dağılımı konusunda çok da net bir çerçeve çizebilmek mümkün değil, iki ekstrem de pek ala gözlemlenebiliyor. Yani asallar biraz da rastgele davranmaya meyilli sanki…
Benimki gibi anal retentif bünyeler için karamsar olabilecek bu tabloya, asalların davranışlarına dair başka problemlere bakarak çekidüzen vermek mümkün. Yazının bundan sonraki kısmı, apayrı bir bakış açısıyla asal sayıların incelenmesine ayrılacak. Bu Gauss ile başlayıp, Langlands, Shimura–Taniyama ve Wiles ile noktalanan, çok uzun bir serüvenin özeti olacak.
Gauss, Langlands ve Wiles Optiğiyle Asallar Kümesindeki Düzen
Yok artık Gauss!
Gauss’un, hangi sebeple olduğunu tam olarak bilemeyecek olsak da \emph{altın teoremim} diye adlandırdığı evriklik (Türkçe’de ayrıca karşılıklılık” kelimesi de kullanılır.) ilkesinden bahsedeceğim. Bu bize bir asalın bir başka asaldanhaberdar” olduğunu, asalların bir anlamda etkileşim halinde olduklarını gösterecek. Bu bakış açısıyla, asalların çok da rastgele davranış sergilemediğini aktarmaya çalışacağım.
En temel haliyle, evriklik ilkesi şunu ifade ediyor: $p$ ve $q$ iki asal sayı olsun. Bu durumda, yalnızca
$$x^2\equiv p \mod q$$
denkliğinin çözümü olup olmadığını bilerek,
$$y^2\equiv q \mod p$$
denkliğinin de çözümü var mı yok mu bilebiliriz.
Bu prensibi, sizi matematiksel jargona boğmadan daha net ifade edebilmek için $p$ ve $q$ asallarının tek ve en az birinin $4$’e bölündüğünde $1$ kalanını verdiğini varsayacağım. Bu durumda, Gauss bize birinci denkliğin çözümü olması için gerek ve yeter koşulun ikinci denkliğin çözümü olması olduğunu söyler. Mesela $p=37$, $q=2^{82589933} – 1$ (bilinen en büyük asal) olarak belirleyecek olursak, $2^{82589933} – 1$ ile bölündüğünde $37$ kalanı veren bir tam karenin varlığı için, $37$ ile bölündüğünde $2^{82589933} – 1$ ile aynı kalanı veren bir tam karenin bulunması gerek ve yeterlidir!
Gauss’un bu iddasının, bir başına bu özel durumda dahi, ne denli güçlü bir sonuç olduğunu hemen şöyle gözlemleyebiliriz:
- Çok hızlıca, $2^{82589933} – 1$ tamsayısının 37 ile bölündüğünde verdiği kalanın 24 olduğunu ve hiçbir tamsayının karesinin 37 ile bölünmesi neticesinde 24 kalanını veremeyeceğini görebilirsiniz (ister kas gücüyle, ister Gauss tam olarak ne diyor acaba deyip Wikipedia’ya göz atarak).
- Dolayısıyla, $37$ ile bölündüğünde $2^{82589933} – 1$ ile aynı kalanı veren bir tam kare olmadığını görmek çok da zor iş değil.
- Gauss bu bilgi dahilinde devreye girer ve bize $2^{82589933} – 1$ ile bölündüğünde $37$ kalanını veren bir tam kare olmadığını söyler.
Bunu yalnızca kâğıt kalemle (ve hatta hesap makinesi ya da sıradan bir bilgisayar yardımıyla) yapabilmeniz mümkün değil: $2^{82589933} – 1$ tam $24.862.048$ (yazıyla, yirmi dört milyon küsur!) basamaklı ve birer birer binlerce basamaklı sayıların karelerini alıp bu devasa sayıya (yani $2^{82589933} – 1$’e) bölüp kalanı hesap etmek ve bu kalanın 37 olmadığını kontrol etmek…
Yok bence yol yakınken pes edin, bu iddianın kazananı çok bariz ki Gauss!
İşin hesap-kitap boyutundan öte, Gauss’un Evriklik İlkesi bize asalların çok da rastgele davranmadığını, en azından kareleri belirleme anlamında birbirleriyle etkileşimli olduklarını anlatıyor. Bu ifadeyi biraz daha anlamlı kılabilmek için, Gauss’un teoreminin bir genellemesi olarak düşünebileceğimiz Hilbert’in Evriklik İlkesi’nden bahsedeceğim.
Hilbert’in Evriklik İlkesi
Matematiğe ilgi duyan herkes eminim Diyofant’ın adını duymuştur. Diyofant, muhtemelen temel mühendislik problemlerinden motivasyon bularak ya da belki sadece estetik nedenlerle, bugün Diyofant problemleri diye adlandırdığımız denklemler üzerinde kafa yormuş. En basit haliyle, Diyofant problemi çok değişkenli rasyonel katsayılı bir polinomun, yine rasyonel sayılar kümesi üzerinde çözümleriyle ilgilenir. Matematiksel ifadeyle, bir rasyonel katsayılı ve $n$ değişkenli $F(X_1,\cdots,X_n)$ polinomu verildiğinde, Diyofant,
$$F(X_1,\cdots,X_n)=0$$
denkleminin rasyonel sayı değerli çözüm kümesini betimlemek ister.
Örneğin, $F(X_1,X_2)=X_1^2+X_2^2-1$ olduğu durumda, problemimiz birim çember üzerindeki rasyonel koordinatlı noktalar kümesini belirlemeye dönüşür. Daha dikkatli bakacak olursanız, bunun aslında tamsayı değerli Pisagor üçlülerini bulmakla aynı problem olduğunu göreceksiniz. Bu ilişkiye dair daha fazla bir şey söylemeyip, üzerinde düşünmeniz için size bırakıyorum.
En genel haliyle Diyofant problemleriyle ilgili söylenmesi gereken ilk şey, bu problemlerin çok zor olduğu ve matematiğin en temel güncel araştırma alanlarının merkezinde yer aldığı. Hilbert’in 10’uncu problemi, Diyofant denklemlerini girdi olarak alacak ve rasyonel çözümü var mı yok mu sorusuna yanıtı çıktı olarak verecek bir algoritmanın var olup olmadığını sorgular. Hilbert bu soruyu sorduğunda, aklındaki cevap elbette vardır ama bakalım ilk kim bulacak bu algoritmayı?” olmalı ki,Matematik’te bilemeyiz olamaz!” demiştir. Gelin görün ki Hilbert de yanılabilirmiş, en azından bu problemin tamsayı katsayılı Diyofant denklemlerinin tamsayı çözümlerini bulmakla ilgili versiyonu hakkında: 1970’te neticelenen, 20 senelik süre zarfını kapsayan dönemde Martin Davis, Yuri Matiyasevich, Hilary Putnam ve Julia Robinson’un sonuçları bir araya konduğunda, tamsayı katsayılı bir Diyofant denklemini girdi olarak alan ve tamsayı çözümü var mı yok mu sorusunu yanıtlayan bir algoritma bulunamayacağı ispatlandı!
Buradaki kıssadan hisse, genel Diyofant problemlerinin imkânsızlık derecesinde (hem de kanıtlanabilir olarak!) zor olduğu. O yüzden daha dar bir ölçekte bu problemlerle ilgilenmek daha makul olabilir. Bu yüzden ilk etapta önceliği “düzlem eğrilerine” vereceğiz.
Rasyonel sayılar üzerinde tanımlı düzlem eğrilerinden kastımız, $F(X,Y)$ gibi iki değişkenli ve rasyonel sayı katsayılı polinomların çözüm kümeleri. Mesela $F(X,Y)=aX+bY+c$ gibi birinci dereceden bir polinomsa, eğrimiz bir doğrudur ve bu durumda problemin çözümü de son derece kolaydır. Bu sebeple, bundan sonra derecemiz en az iki olacak. Örneğin, $F(X,Y)=X^2+Y^2-1$ aldığımızda, ilgilendiğimiz düzlem eğrisi” birim çemberdir ve bu özel durumda problemimiz birim çember üzerindeki rasyonel koordinatlı noktalar kümesini betimlemek haline gelir. Ya da $F(X,Y)=X^2+2Y^2-3$ de alabiliriz ve bu durumda bir parabol için, ya da $F(X,Y)=3X^2-Y^2-4$ durumunda bir hiperbol için aynı soruyu sormuş oluyoruz. Şimdilik yalnızca derecesi iki olan düzlem eğrileri, genel geçer isimleriylekonik kesitleri” bazında bu problemi inceleyeceğiz.
Birkaç hinlik içeren değişken değiştirme ve düzenlemeyle (lineer cebir bilenleriniz bunu daha sistematik olarak yapabilecektir), ikinci dereceden düzlem eğrileriyle ilgilendiğimiz senaryoda genelliği bozmadan,
$$F(X,Y)=aX^2+bY^2-1, \qquad a,b\in \mathbb{Q}\setminus{0}$$
görünümündeki polinomlarla çalışmaya odaklanabiliriz. Bu kurguda, $(a,b)$ ile göstereceğimiz Hilbert sembolünü tanımlamaya hazırız artık:
$$(a,b):=\begin{cases}
+1 & \hbox{ eğer } F(X,Y)=0 \hbox{denkleminin}
& \hbox{rasyonel sayılarda çözümü varsa}\\
+1& \hbox{ya da} aX^2+bY^2=0 \hbox{denkleminin}
& \hbox{ rasyonel sayılarda (0,0)’dan}
&\hbox{başka çözümü bulunabiliyorsa}\\
-1 & \hbox{ diğer durumlarda.}
\end{cases}$$
Eminim bir kısmınıza bu tanım oldukça tuhaf gelecek: $F(X,Y)=0$ denklemini anladık da, $aX^2+bY^2=0$ denklemi de nereden çıktı şimdi? Daha tecrübeli olanlarınız için bu noktaya dair vereceğim ipucu şu: $F(X,Y)=0$ denkleminin projektif düzlemdeki kapanışını çalışmak daha elverişli olduğu için, aslında gizliden gizliye projektif düzlemdeki konikleri çalışıyoruz. Diğerleriniz bu tanımı, biraz matematik çalışarak anlaşılabilecek bir kara kutu olarak kabul edebilirler.
Dolayısıyla, düzlem konikleri üzerinde rasyonel nokta var mı arayışımızla ilgili olan problemimizi şu şekilde yeniden ifade edebiliriz: Bizlere $a$ ve $b$ gibi sıfırdan farklı iki rasyonel sayı verildiğinde, Hilbert sembolü $(a,b)$’nin değerini nasıl belirleyebiliriz?
En azından tamsayı katsayılı polinom denklemlerinin, tamsayı çözümleri var mı yok mu sorusuyla uğraşırken, ilk denememiz acaba bir $p$ asalı ve $n$ pozitif tamsayısı için, denklemin $p^n$ modunda çözümü var mı diye incelemek olur. Bu yaklaşıma yönelmemizin sebebi açıktır diye ümit ediyorum: $p^n$ modundaki bir denklemi sonlu sayıda denemeyle bile çözebiliriz, yalnızca kas gücü kullanacaksak bile. Bundan hareketle, herhangi bir $p$ asalı için, $(a,b)_p$ ile gösterecegimiz $p$-Hilbert sembolünü
$$(a,b)_p=\begin{cases}
+1 & \hbox{ eğer } F(X,Y)\equiv 0 \mod p^n
& \hbox{ denkliğinin her $n\in \mathbb{Z^+}$ için }
&\hbox{ bir çözümü varsa ya da}\\
+1& \hbox{ eğer } aX^2+bY^2\equiv 0 \mod p^n
& \hbox{ denkliğinin her $n\in \mathbb{Z^+}$ için }
&\hbox{(0,0)’dan başka çözümü}
&\hbox{bulunabiliyorsa}\\
-1 & \hbox{ diğer durumlarda}
\end{cases}$$
şeklinde tanımlayalım. Yine haklı olarak, $a$ ve $b$’nin paydalarının $p$ ile bölünmesi durumunda, $aX^2+bY^2 \equiv 0,1 \mod p^n $ denkliklerine nasıl anlam verdiğimizi sorgulayabilirsiniz. Bununla ilgili ipucum, aslında projektif düzlemdeki çözümlerle ilgilendiğimizi hatırlatmak olabilir, yani $F(X,Y)=0$ denkleminden ziyade, hesabını tutmak istediğimiz küme homojenize edilmiş denklemin (Bu homojenize edilmiş denklem, $aX^2+bY^2-Z^2=0$ denklemidir. Aşağıda bir örnekle bu meselenin üzerinden geçiyoruz.) projektif çözümleri. Bütün bu (detaylarını sizlere bıraktığım) hikaye, size projektif eğrileri çalışmanın neden daha elverişli olabileceğini işaret ediyor olmalı.
Aslında belki de asal sayıların kuvvetleri modunda denklemimizi incelemeden önce ilk olarak bu denklemin reel sayı çözümlerinin olup olmadığına bakmalıyız. Bundan hareketle, $(a,b)_\infty$ ile temsil edeceğimiz $\infty$-Hilbert sembolünü,
$$(a,b)_\infty=\begin{cases}
+1 & \hbox{ eğer } F(X,Y)=0 \hbox{ denkleminin}
& \hbox{ reel sayılarda çözümü varsa }\\
+1& \hbox{ ya da } aX^2+bY^2=0 \hbox{ denkleminin}
%\hbox{ reel sayılarda (0,0)’dan başka çözümü}
&\hbox{ bulunabiliyorsa}\\
-1 & \hbox{ diğer durumlarda}
\end{cases}$$
şeklinde tanımlayalım. $\infty$-Hilbert sembolünün değerlerini kolayca belirlemek mümkün elbette:
$$(a,b)_\infty=\begin{cases}
-1 & a,b<0\\
+1 & \hbox{ diğer durumlarda.}
\end{cases}$$
Problemimizin, $0$’dan farklı $a$ ve $b$ rasyonel sayı değerleri verildiğinde, $(a,b)$ ile gösterdiğimiz Hilbert sembolünü hesaplamak olduğunu hatırlayalım. Tanımlara göz atacak olursanız,
$$(a,b)=1 \implies (a,b)_\infty=1\,, (a,b)_p=1 \ \hbox { (her $p$ asalı için)}$$
olduğunu göreceksiniz. Bu noktada, hedef belirlediğim tartışmayla uzaktan ilgisi olsa da, konikleri tam olarak anlamamızdaki anahtar sonuç olan Hasse–Minkowski teoremini anmadan geçemeyeceğim: Hasse–Minkowski teoremine göre, yukarıdaki önermenin tersi de doğrudur! Diğer bir deyişle,
$$(a,b)=1 \iff (a,b)_\infty=1\,, (a,b)_p=1 \ \hbox { (her $p$ asalı için)}.$$
Bu sonuç bizlere, bir düzlem koniğinin rasyonel nokta barındırabilmesi için gerek ve yeter koşulun, reel nokta barındırması ve ilgili denklemin her $p$ asalı ve pozitif tamsayısı için mod $p^n$ çözümlerinin bulunması gerektiğini söylüyor. Bunun ne derece çarpıcı bir iddia olduğunun üzerine biraz düşünmenizi tavsiye ediyorum.
Peki bütün bu anlattıklarımın asalların birbirinden haberdar olmasıyla ilgisi ne? Tam da bu noktaya ulaşmış bulunuyoruz: Hilbert’in Evriklik İlkesi (Bir sonraki aşamaya geçmeden, Gauss’un Evriklik İlkesi’nin neredeyse Hilbert’inkisiyle eşdeğer güçte olduğunu detaya girmeden not edelim.) bize,
$$(a,b)_{\infty}\cdot\prod{p: \,{\rm asal}}(a,b)_p=1$$
olduğunu söyler. (Bu sonsuz çarpımın anlamlı olabilmesi için, sonlu sayıda terim haricindekilerin $1$ olduğunu bilmemiz gerekir — ki gerçekten öyledir de: Anahtar Chevalley–Warning Teoremi.)
Örneğin, $a=\dfrac{7}{13}$ ve $b=-\dfrac{15}{13}$ olsun. Bu durumda ilgilendiğimiz konik kesiti,
$$F(X,Y)=\dfrac{7}{13}X^2-\dfrac{15}{13}Y^2-1=0$$
denkleminin çözüm kümesi olarak verilecektir. Bu düzlem eğrisinin projektif kapanışıysa
$$G(X,Y,Z):=7X^2-15Y^2-13Z^2=0$$
denkleminin projektif düzlemdeki çözüm kümesi olacaktır.
Hızlıca $(\frac{7}{13},-\frac{15}{13})_\infty=1$ olduğunu görebilirsiniz (yani reel çözümlerimiz var). Bu durumda Hilbert’in Evriklik İlkesi Hilbert denklemi bizlere,
$$\prod_{p: \,{\rm asal}}\left(\frac{7}{13},-\frac{15}{13}\right)_p=1$$
olduğunu söyler. Diyelim ki size,
$$G(X,Y,Z)\equiv 0 \mod p^n$$
denkliğinin her $n$ tamsayısı için, belki $p=13$ dışında bir çözümü olduğu bilgisini hediye olarak verdim. Yani, size $p\neq 13$ iken $(\frac{7}{13},-\frac{15}{13})p=1$ olduğunu söyledim. Bu durumda, hemen Hilbert’in Evriklik İlkesinde gösterdiğimiz denklemi kullanarak ve hiçbir efor sarfetmeden $(\frac{7}{13},-\frac{15}{13}){13}=1$ olması gerektiği sonucuna ulaşacaksınız. Bir başka deyişle, $G(X,Y,Z)\equiv 0 \mod 13^n$ denkliğinin her $n$ tamsayısı için çözümü olması gerektiğini hiç kalem oynatmadan göstermiş olacaksınız!
Sloganlaştıracak olursak: Asallar, en azından konik yüzey nispetinde, öyle rastgele davranamazlar; birbirlerinden haberdar olmak zorundadırlar.
Peki, daha yüksek boyutlu polinomların çözüm kümesi olan, potansiyel olarak daha karmaşık yapıdaki yüzeyler? Onlar nispetinde de bir “evriklik ilkesi” mevcut mudur? Bu tam olarak bir sonraki aşama (aşağıdaki Fermat, Eichler, Shimura, Wiles ve Langlands bölümü); modern çağın mega yıldızları Deligne, Serre, Langlands, Shimura, Wiles ve Scholze’ye kadar uzanan -Ve hatta ara aşama olarak Fermat’nın Son Teoremi’nin bir kanıta kavuşmasını olanaklı kılan- ve henüz tamamlanmayı bekleyen upuzun bir hikâyenin başlangıcı!
Fermat, Eichler, Shimura, Wiles ve Langlands
Gauss evriklik meselesinin bu derecede dallanıp budaklanacağını öngörmüş müydü bilinmez ama, bu hikayesi günümüzde de devam eden upuzun bir serüvenin ilk adımı. Günümüz matematiğinin en temel problemlerinden -Belki de problem silsilesi olarak adlandırmak daha yerinde olacaktır.- biri olan Langlands Sanıları, az önce bahsettiğimiz Gauss’un Evriklik İlkesi’nin daha yüksek mertebedeki ve değişkendeki genellemerini ilgilendiren uçsuz bucaksız genellemeleri içerir.
Önce Gauss ve Hilbert’in önceki sayfalarda özetlediğim sonuçlarını biraz alaşağı ederek genel durumda çizeceğimiz resme uygun bir çerçeveye yerleştirmeye çalışacağım.
İlgilendiğimiz düzlem konik kesiti $C$’nin
$$aX^2+bY^2=1,\qquad a,b \in \mathbb{Q}\setminus{0}$$
denklemiyle verildiğini kabul etmemizin genelliği bozmayacağını hatırlatıyorum. Ayrıca bu denklemi $a$ ile çarparsak ve $x=aX$, $y=Y$, $ab=-D$ ve $c=a$ değişken değişiklikleriyle eğrimiz $C$’yi belirlemek için pekâlâ,
$$C:\,\quad x^2=Dy^2+c, \qquad D,c\in \mathbb{Q}\setminus{0}$$
denklemini de kullanabiliriz. $D$ ve $c$ rasyonel sayılarının payını ve paydasını bölmeyen $p$ asal sayıları için, $N_p$ ile
$$ x^2\equiv Dy^2+c \mod p$$
denkliğinin $\mod p$ çözüm sayısını gösterelim. İlk gözlemimiz, $N_p$’nin en çok $2p$ olabileceği: Her $x\mod p$ değeri için, en fazla iki tane $y\mod p$ değeri bulabilirsiniz. Lisans seviyesinde Sayılar Teorisi dersi aldıysanız çok daha iyisini yapabilirsiniz — sizin için şu hesabı yapmak güzel bir egzersiz olabilir:
$$N_p=p-\left(\frac{D}{p}\right).$$
Burada $\left(\frac{D}{p}\right)$ ile gösterdiğimiz Legendre sembolü:
$$\left(\frac{D}{p}\right):=\begin{cases}
+1 &\hbox{ eğer } D\equiv u^2 \mod p \hbox{ olacak şekilde}
& \hbox{ bir $u$ tamsayısı varsa}\\
-1 & \hbox{ değilse.}
\end{cases}$$
Yani Legendre sembolü $D \mod p$ kare midir değil midir hesabını tutuyor bizim için.
Güzel de evriklik ilkesiyle ilgisi ne bütün bunların diye meraktaysanız, buyrun cevabı. $p$ bir asal sayı olmak üzere, $N_p$ ile
$$ x^2\equiv Dy^2+c \mod p$$
denkliğinin mod $p$ çözüm sayısını ve $a_p(C)$ ile $p-N_p$ değerini gösterelim.
Teorem (Gauss’un Evriklik İlkesi}: Eğer $p$ asalı $2cD$’yi bölmüyorsa, $a_p(C)$ değeri $p$ değişkenine göre $4D$ modülünde periyodiktir.
Daha matematiksel ifadeyle, $p’$ bir asal olmak üzere eğer $p’-p$ farkı $4D$ ile bölünüyor ve $2cD$ değeri $p’$ ile bölünmüyorsa,
$$a_p(C)=a_{p’}(C)$$
olmalıdır.
Bu periyodiklik özelliğini $D$, $4$ ile bölündüğünde $1$ kalanını veren bir asal olduğu özel durumda, kabaca içeriğini özetlediğimiz Gauss’un Evriklik İlkesi’nden nasıl elde edeceğimizi görelim.
Yukarıda gözlemlediğimiz üzere, $a_p(C)$ olarak tanımladığımız değer, tam olarak $\left( \dfrac{D}{p}\right)$ ile temsil ettiğimiz Legendre sembolü. Daha net ifadeyle, $p$ asalı $D$’den farklı olduğu durumda,
$$a_p(C)=\begin{cases}+1& \hbox{ eğer } \eqref{eqn_Gauss_2} \hbox{ ile gösterdiğimiz}
& \hbox{ denkliğinin ($q=D$ iken) çözümü}
&\hbox{ varsa}\\
-1& \hbox{ değilse}.
\end{cases}$$
Ancak Gauss’un Evriklik kanuna göre, \eqref{eqn_Gauss_2} ile gösterdiğimiz denkliğin ($q=D$ iken) çözümü olması için gerek ve yeter koşul, \eqref{eqn_Gauss_1} denkliğinin ($q=D$ iken) çözümü olması. (Tam olarak bu noktada basitleştirici $D\equiv 1 \mod 4$ ön kabulümüzü kullanıyoruz. Genel durum çok da zor değil, ama bu yazının bir noktada sadede gelmesi de gerekiyor!) Dolayısıyla,
$$a_p(C)=\begin{cases}+1& \hbox{ eğer \eqref{eqn_Gauss_1} ile gösterdiğimiz }
& x^2\equiv p {\rm \,mod\,} D \hbox{ denkliğinin çözümü}
& \hbox{ varsa}\\
-1& \hbox{ değilse}.
\end{cases}$$
$ x^2\equiv p \mod D $ denkliğinin çözümünün olup olmaması, yalnızca $p$’nin mod $D$ değerine bağlıdır. Bir başka deyişle, şayet $p’$ asalı $2D$ değerini bölmüyor ve $p\equiv p’ \mod D$ ise, $ x^2\equiv p \mod D $ denkliğinin çözümünün bulunması ancak ve ancak $ x^2\equiv p’ \mod D $ denkliğinin çözümünün bulunmasıyla mümkündür. Daha da bir başka ifadeyle, gerçekten de $2D$ değerini bölmeyen ve $p\equiv p’ \mod D$ koşulunu gerçelleyen her $p’$ asalı için, $a_p(C)=a_{p’}(C)$ olmadır -Yani $p$ ve $p’$ her ne kadar farklı asallar olsalar da, $C$ eğrisi nazarında biri diğeri hakkında bir bilgi taşımaktadır-. Yani, bir $C$ konik kesiti verildiğinde, $a_p(C)$ değerleri $p$ değişkenine göre $D$ modülünde periyodiktir.
Şimdi ana sorumuza geri dönelim: Yüksek dereceli polinomların çözüm kümesi olan, potansiyel olarak daha karmaşık yapıdaki yüzeyler nispetinde de bir ”evriklik ilkesi” mevcut mudur? Gauss’un Evriklik İlkesi’ne getirdiğimiz yeni yorumla bu soruyu şu şekilde yeniden sorabiliriz: Diyelim ki $F(X,Y)$ iki değişkenli ve tamsayı katsayılı bir polinom olsun. $C$ ile $F(X,Y)=0$ denkleminin belirlediği düzlem eğrisini temsil edelim ve $N_p(C)$ ile
$$F(X,Y)\equiv 0 \mod p$$
denkleminin çözüm sayısını gösterelim. Bu durumda $N_p(C)$’ler, $p$ asalı değiştikçe, bir periyodiklik özelliği taşıyor olabilir mi?
Mesela $E$ ile (Bu denklemin önceki bir versiyonunda bulunan bir hataya işaret ettiği için Ayhan Günaydın’a teşekkür ederim.),
$$y^2+y=x^3-x^2-10x-20$$
denkleminin belirlediği düzlem eğrisini gösterelim. Bir $p$ asalı verildiğinde, $a_p(E)=p-N_p(E)$ değerini tanımlayalım. (Bunu konikler için verdiğimiz benzer tanımla kıyaslayabilirsiniz.) Sorumuz, $a_p(E)$ değerlerinin $p$ değişkenine göre periyodik olup olmadığı. Cevap: Periyodik kelimesinin en bariz anlamıyla değil belki, ama farklı bir anlamda, evet. Daha net ifadeyle, $a_p(E)$ ifadesi,
$$f_E:=q\prod_{j=1}^\infty (1-q^j)^2(1-q^{1+j})^2=\sum_{n=1}^\infty a_nq^n$$
sonsuz çarpımın açılımındaki $q^p$’nin katsayısı olan $a_p$ ile aynı değerdedir -Bu müthiş gözlem Martin Maximilian Emil Eichler’e ait ve aşağıda bahsedeceğim birçok gelişmenin öncüsü-. Bu yazıyı okurken, Hadi canım, ne alaka?” deme hakkınızı tam olarak burada kullanabilirsiniz. Sonraki tepkiniz,Bize ne ki?” olabilir, ama eminim bir taraftan da bu işin içinde bir iş olduğunu hissediyorsunuz!
Bu sonucun tuhaf bir kaza ya da kara büyü olmadığına sizleri ikna edebilmek için, $f_E$ ile gösterdiğimiz ifadenin alelade bir fonksiyon olmadığını, aslında bir çok çarpıcı özellik taşıdığını söyleyerek başlayacağım: Eğer $q=e^{2\pi iz}$ değişken değişikliğiyle $f_E$’yi $z$ değişkeninde karmaşık değerli bir fonksiyon olarak düşünecek olursanız,
- $f_E(z)$ fonksiyonu, $$\mathbb{H}:={z=a+ib\in \mathbb{C}: b>0}$$ yarı düzlemi üzerinde analitik bir fonksiyondur.
- $\sum_{n=1}^\infty a_nq^n$ serisi $q$’nun küçük değerleri için yakınsaktır.
- Şayet $a,b,c,d$ tamsayıları $ad-bc=1$ ve $c\equiv 0 \mod 11$ koşullarını sağlıyorlarsa, $$f_E\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^2f_E(z)$$ fonksiyonel denklemleri gerçellenir.
Yukarıya not ettiğimiz (a) ila (c) özelliklerini taşıyan fonksiyonlara ağırılığı $2$ ve seviyesi $\Gamma_0(11)$ olan modüler formlar diyoruz ve bu fonksiyonların kümesini $S_2(\Gamma_0(11))$ ile gösteriyoruz. Gördüğünüz üzere, $f_E(z)$ fonksiyonu hem son derece düzgün davranışlı analitik bir fonksiyon hem de (c)’de altını çizdiğimiz üzere, çok zengin periyodiklik özelliklerine sahip. İşte bu anlamda, $E$ eğrisine eşlediğimiz $f_E$ fonksiyonun periyodik özellikleri bağlamında, $a_p(E)$ değerleri ”periyodik” özellikler taşımaktadırlar.
Bu hikâyenin bir kaza eseri ortaya çıkan tesadüflerden fazlası olduğunun altını çizebilmek için, bu resmin çok daha genel olarak, ”eliptik eğri” adını verdiğimiz kübik düzlem eğriler denklemiyle belirlenen düzlem eğrisi $E$, bir eliptik eğri örneğidir. Daha genel olarak, rasyonel sayılar üzerinde tanımlı eliptik eğriyle kastımız, $f(x,y)=0$ gibi üçüncü dereceden rasyonel katsayılı bir $f$ polinomuyla belirlenen düzgün düzlem eğrilerdir.} için de doğru olduğunu not edelim:
Modülerlik Teoremi: Eğer $A$ rasyonel sayılar üzerinde tanımlı bir eliptik eğriyse, bir $N_A$ pozitif tamsayısı için $A$’ya eşlenen, ağırlığı $2$ ve seviyesi $\Gamma_0(N_A)$ olan $f_A=\sum_{n=1}^\infty b_nq^n\in S_2(\Gamma_0(N_A))$ modüler formu bulunabilir.
Burada eşlenmekten kastımız, her $p$ asalı için $a_p(A)=b_p$ olması, yani $f_A$’nın $q=e^{2\pi iz}$ değişkenine göre seri açılımında, $q^p$’nin katsayısı olan değerin tam olarak $a_p(A)$ değeri olması. İşte $A$ eliptik eğrisi nazarında evriklik ilkesi dediğimiz şey tam olarak budur: $a_p(A)$ değerlerinin $f_A$ gibi yüksek periyodik özellikteki analitik bir fonksiyonu belirleyen katsayılar olmaları.
”Eeee?” — bu kadar teknik bilgiyi buraya iliştirmemin özel bir sebebi var elbette: Modülerlik Teoremi olarak yukarıya not ettiğim sonuç, Andrew Wiles’ın Fermat’nın Son Teoremi’nin ispatındaki (Andrew Wiles’ın bu muazzam çalışması 2016 senesinde Abel Ödülü’ne layık görüldü ve Wiles şövalye ilan edildi. A. Wiles şu an Oxford Üniversitesi’nde, kendi adını taşıyan matematik bölümü binasında çalışıyor.) ana adımı teşkil ediyor. Bir başka deyişle, 350 yıl boyunca çözüm bekleyen bu problem, eliptik eğriler için evriklik ilkelerinin keşfedilmesiyle çözülebiliyor. İlave etmem gerekir ki bu sadece buzdağının görünür kısmı: Wiles, Taylor–Wiles, Breuil–Conrad–Diamond–Taylor tarafından ispatı tamamlanan Modülerlik Teoremi, Langlands Evriklik İlkeleri olarak adlandırılan sanılar silsilesinin ilk örneklerinden bir tanesi. Langlands programının taşıdığı teknik öneme önemli bir delil, Fermat’nın Son Teoremi’nin ispatında bu felsefenin oynadığı rol.
Yazımın geri kalan kısmında, matematikle profesyonel olarak haşır neşir olan ya da o niyette olanlar için, Modülerlik Teoremi’ni biraz daha kavramsal olarak ifade etmeye çalışacağım. Burada hızlıca özetleyeceğim fikirleri detaylarıyla öğrenmek oldukça emek isteyecek bir süreç olsa da, Langlands’ın sanılarının sunduğu kavramsal zenginliğin altını çizebilmek adına bu yazıyı kısa kesmeye, özellikle bu noktaya ulaşmışken, gönlüm el vermedi.
Hadi başlayalım o zaman: İlk iş olarak, “ağırlığı $2$ ve seviyesi $\Gamma_0(N)$ olan” modüler form tanımını ($N$ bir pozitif tamsayı olmak üzere), yukarıda (a) ila (c) öğelerinde verdiğimiz analitik tanımın yerine geometrik olarak verebiliriz. (Bunun avantajı ne diye merak ediyorsanız, Deligne’in Ramanujan sanılarına verdiği ispata işaret edebilirim: Bu kanıttaki anahtar rol, modüler formların cebirsel geometri nesneleri olarak tanımlanabileceği fikridir. Aşağıda, bu konunun üzerinden çok hızlıca geçeceğiz.) Ağırlığı $2$ ve seviyesi $\Gamma_0(N)$ olan bir modüler form $f$ vermekle, $X_0(N)$ ile gösterilen $\Gamma_0(N)$-seviyesindeki modüler eğri üzerinde $f(z)dz$ diferansiyel formu vermek aynı şeydir. Bir başka ifadeyle, ağırlığı $2$ ve seviyesi $\Gamma_0(N)$ olan modüler formları, $X_0(N)$ modüler eğrisi üzerindeki diferansiyel formlar olarak da düşünebiliriz.
Peki, nedir bu $X_0(N)$ ile gösterdiğimiz modüler eğriler? Oldukça kabaca ifadeyle, $X_0(N)$ eğrisinin her bir noktası, $(E,H)$ gibi bir eliptik eğri $E$ ve $E$’nin $N$ elemanlı çembersel bir altgrubu $H$’den oluşan ikililerin izomorfizma sınıfına karşılık gelir. $X_0(N)$’nin bu tanımıyla bir cebirsel eğri olduğunu (yani, $F(X,Y,Z)=0$ gibi, üç değişkenli rasyonel katsayılı homojen bir polinom $F$’nin projektif düzlemdeki çözüm kümesi olarak tanımlanabileceğini) görmek çok zor elbette, ama gerçekten öyle! Örneğin, Weierstrass eliptik eğri denklemiyle verilen eğri aslında $X_0(11)$ eğrisidir ve $f_Edz$ de bu eğri üzerinde bir diferansiyel formdur.
$X_0(N)$ eğrilerinin böyle bir “moduli probleminin” çözümü olmasıyla beraber, üzerinde birçok ilginç yapı taşır. Bunlardan biri, $X_0(N)$’nin kohomoloji (Kolaylık olsun diye burada singüler/Betti kohomolojiyle çalıştığımızı varsayabilirsiniz. Ama isterseniz êtale kohomolojisi de olabilirdi, ya da herhangi bir Weil kohomoloji teorisi!) grupları $H^i(X_0(N), \mathbb{C})$ üzerinde ($\mathbb{C}$-lineer olarak) etki eden, her bir $p$ asalı için $T_p$ ile göstereceğimiz Hecke operatörleridir. Dahası:
Teorem (Eichler–Shimura): $H^1(X_0(N),\mathbb{C})$ vektör uzayı, ağırlığı $2$ ve seviyesi $\Gamma_0(N)$ olan modüler formu uzayı $S_2(\Gamma_0(N))$’nin iki kopyasına doğal olarak izomorftur:
$$H^1(X_0(N),\mathbb{C})\simeq S_2(\Gamma_0(N)){\oplus} S_2(\Gamma_0(N))$$
Modülerlik Teoremi’ni çok daha geometrik ve kavramsal olarak şu haliyle yeniden ifade edebiliriz: Yukarıdaki gibi $A$ ile gösterdiğimiz, rasyonel sayılar üzerinde tanımlanmış bir eliptik eğri verildiğinde, $N_p(A)$ değerini $A$’nın mod $p$ çözüm sayısı ve $a_p(A)=p-N_p(A)$ olarak tanımladığımızı hatırlayalım.
$$H^1(X_0(N),\mathbb{C})\left[\{T_p-a_p(A)\}_{p}\right]$$
ile, her $p$ asalı için $T_p$ operatörünün $a_p(A)$ özdeğeriyle etki ettiği alt uzayı gösterelim. Daha net ifadeyle,
$$H^1(X_0(N),\mathbb{C})\left[\{T_p-a_p(A)\}_{p}\right]:= $$ $$\{c\in H^1(X_0(N),\mathbb{C}): T_p(c)=a_p(A)\cdot c\quad \forall \, p\}.$$
Modülerlik Teoremi $\mathbb{C}$-vektör uzayı,
$$H^1(X_0(N),\mathbb{C})\left[\{T_p-a_p(A)\}_{p}\right]$$
iki boyutludur.
Modülerlik Teoremi’nin ilk haliyle bu ikincisi arasındaki geçişin, Eichler–Shimura izomorfizması vasıtasıyla olabileceğini en azından hissediyorsunuzdur umarım. İlaveten, Modülerlik Teoremi’nin bu ikinci ifadesinde, birinci halinde kullandığımız ”eşlenmek” fiilini geometrik olarak anlamlandırmış bulunuyoruz.
Çok çok çok daha fazlasını söylemek mümkün! Mesela, katsayı olarak $\mathbb{C}$ değil de $\mathbb{Z_\ell}$ ($\ell$ bir asal olmak üzere $\ell$-adik tamsayılar halkası) ve kohomoloji teorisi olarak êtale kohomolojisini kullanabiliriz. Bu kurguda Modülerlik Teoremi’ni şu şekilde ifade edebiliriz:
Modülerlik Teoremi (êtale): $\mathbb{Z}_\ell$-modülü
$$H^1_{êt} (X_0(N)_{\overline{\mathbb{Q}}},\mathbb{Z}_\ell)\left[\{T_p-a_p(A)\}_{p}\right]$$
mertebesi iki olan serbest bir modüldür. Dahası, bu modül, bir Galois modülü olarak, $A$’nın $\ell$-adik Tate modülü ${\rm Ta}_\ell(A)$ ile izomorftur: $$H^1_{êt} (X_0(N)_{\overline{\mathbb{Q}}},\mathbb{Z}_\ell)\left[\{T_p-a_p(A)\}_{p}\right]\simeq {\rm Ta}_\ell(A)\,.$$
Andrew Wiles’ın ispatlamaya çalıştığı Modülerlik Teoremi versiyonu, işte tam olarak da bu versiyondur! Her ne kadar, bir $A$ eliptik eğrisi nispetindeki eğriklik ilkesinin (Bu halinde, eliptik eğriye eşlenen ${a_p(A)}_p$ ile gösterdiğimiz sayı dizisinin, bambaşka bir geometrik obje olan $X_0(N)$’nin kohomolojisinin spektral özellikleri tarafından kodlandığını ifade eder.) diğer ifadelerine kıyasla çok daha teknik görünse de cebir ve cebirsel geometri menşeli araçlara başvurmamıza ancak bu kapsamdaki yorum müsaade eder.
Bu hikâyenin sadece ağırlığı iki olan modüler formlarla ilgili olmadığının altını çizmek için, Deligne’in, Ramanujan Sanısı olarak bilinen problemi, benzer (Benzerden ziyade, Modülerlik Teoremi diye adlandırdığımız ifadeye öncü niteliğinde demek daha doğru olur.) yöntemlere başvurarak çözümünden kısaca bahsetmek isterim bitirmeden önce. Bu parçadaki başrol oyuncusu,
$$\Delta:=q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}=\sum_{n>0}\tau(n)q^n$$
ile ilgili. $\Delta$, ağırlığı 12 ve seviyesi $1$ olan bir modüler form: $ad-bc=1$ koşulunu sağlayan her tamsayı dörtlüsü $a,b,c,d$ için ve yukarıdaki gibi $q=e^{2\pi iz}$ olmak üzere,
$$\Delta\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^{12}\Delta(z)$$
fonksiyonel denklemi gerçellenir. Ramanujan’ın ”tau fonksiyonu” olarak adlandırılan $\tau(n)$ ($n\in \mathbb{Z^+}$), yukarıdaki ifadesindeki sonsuz çarpımın $q$ değişkeninde kuvvet serisi olarak açılımındaki katsayılar olarak tanımlanmıştır. Ramanujan’a ne şekilde malum olmuştur asla bilemeyeceğiz, ama kendisi bunu her $p$ asalı için,
$$|\tau(p)|<p^{\frac{11}{2}}$$
olduğunu iddia eder. Bu iddiayı iddiayı 1968 senesinde Deligne, $\Delta$ modüler formunu cebirsel geometri dünyasında yeniden tanımlayarak kanıtlamıştır. Biraz da olsa açmak gerekirse, ${\rm KS}_0(1)$ ile seviyesi $1$ olan $X_0(1)$ modüler eğrisi üzerindeki $11=12-1$ boyutlu Kuga–Sato varyetesini gösterelim. Deligne,
$$H^{11}_{êt}({\rm KS}_0(1),\mathbb{Z}_\ell)[\{T_p-\tau(p)\}_p]\neq \{0\}$$
olduğunu kanıtlar. Bu temel bilgi dahilinde, Deligne ispat ettiği Weil sanılarını (Deligne’in bu başyapıt çalışmaları 1978 yılında Fields Madalyası’na ve 2013 yılında Abel Ödülü’ne layık görüldü.) 11 boyutlu ${\rm KS}_0(1)$ varyetesi üzerinde kullanarak Ramanujan sanısının kanıtını tamamlar.
Elbette ki konu sadece düzlem eğrileriyle sınırlı değil. En genel anlamda Langlands Evriklik İlkeleri (ve Fontaine–Mazur sanıları) tam olarak bu problemle ilgileniyor: Bu genellikte $X_0(N)$ yerine yüksek mertebeli Shimura varyeteleri kullanarak, modüler formlar yerineyse genel otomorfik formlarla çalışmak gerekiyor. Bütün bu dünyalar arasındaki köprü vazifesini gören, Riemann zeta fonksiyonunun kuzenleri (ve genellemeleri) olan $L$-fonksiyonlarından, isimlerini anmak dışında bahsedemedik ne yazık ki. Daha fazlasını söylemek bu yazıyı yüzlerce sayfaya taşımak demek olacağı için, burada nokta koyalım.
Peki Sonuç?
Hikâyemize, asalların biraz rastgele yapı sergiliyor oldukları hissine kapılmamıza neden olabilecek bir bakış açısını özetleyerek başladık. Yazının ikinci kısmındaysa, en azından Gauss–Langlands–Wiles (evriklik ilkeleri) optiğiyle asalların birbirlerinden haberdar olduklarını gözlemledik.Gauss, Langlands ve Wiles Optiğiyle Asallar Kümesindeki Düzen bölümündeki genel tartışma, daha net bir ifadeyle, aritmetik varyeteler nispetinde asalların birbirleriyle etkileşim halinde olduğunu anlatıyor. Sizi bilmem, ama hikayenin bu parçası söylem olarak da, sunduğu kavramsal derinlik ve kapsam açısından da benim kalbimin daha hızlı çarpmasına neden olacak kadar heyecan verici geliyor!
