Yıl: 2014-3
Sayı: 100
Bu kısımda bahsedeceklerimiz daha öncekilerden biraz daha soyut. Aslında bölüm uzayı kavramından lineer fonksiyonlardan bahsetmeden önce bahsedilebilirdi ama lineer fonksiyonları bilince bu kavramı anlamak daha kolay. Şu ana kadar yaptıklarımızın vektör uzayları konusuna bu bölümü anlamaya yetecek kadar aşinalık yaratacağını düşünüyoruz.
Direkt Toplam
Tanım 8. Verilen $V$ ve $W$ uzaylarının kartezyen çarpımı üzerine şu şekilde vektör uzayı yapısı koyabiliriz: Verilen $v_{1}, v_{2} \in V$, $w_{1}, w_{2} \in W$ ve $r$ için
$$
\left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right)
$$
ve
$$
r\left(v_{1}, w_{1}\right)=\left(r v_{1}, r w_{1}\right)
$$
olarak tanımlanır.
Bu işlemlerin $V \times W$ üzerinde bir vektör uzayı yapısı verdiği kolaylıkla görülür. Bu uzaya $V$ ile $W$’nun (dış) direkt toplamı denir ve genelde $V \oplus W$ olarak gösterilir.
Eğer $B_{V}$ ve $B_{W}$ sırasıyla $V$ ve $W$’nun tabanlarıysa
$$
( B_{V} \times \{ 0_{W} \} ) \cup ( \{ 0_{V} \} \times B_{W} )
$$
kümesinin $V \oplus W$’nun bir tabanı olduğunu görmek kolay. Yani eğer $V$ ve $W$ sonlu boyutlu vektör uzaylarıysa
$$
\operatorname{dim}(V \oplus W)=\operatorname{dim} V+\operatorname{dim} W
$$
olur.
Örnek 9. Kolay bir örnekle başlayalım. Mesela $V=\mathbb{R}^{2}$ ve $W=\mathbb{R}^{3}$ olsun. İyi bildiğimiz bu iki vektör uzayından yeni bir vektör uzayı olan $\mathbb{R}^{2} \oplus \mathbb{R}^{3}$ direkt çarpımını elde ederiz. Ama aslında bu uzay hiç de yeni bir uzay değil. Bu uzay küme olarak $\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{3}$ yani $\mathbb{R}^{5}$. Toplama ve skaler çarpmaya baktığımızda tam olarak $\mathbb{R}^{5}$’in işlemleri olduğunu görürüz.
Örnek 10. Şimdi de $V$, $\mathbb{R}^{2}$ içinde bir doğru olsun, mesela $x$-ekseni ve $W$ derecesi en fazla 2 olan polinomlar uzayı olsun. Bu durumda $V \oplus W$’nun elemanları $a_{0}, a_{1}, a_{2}, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere
$$
\left(\left(\begin{array}{l}
b \\
0
\end{array}\right), a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}\right)
$$
formunda olacak. Tanım gereği de bu türden iki elemanı koordinatlarını birbirine karıştırmadan toplarız.
Bu son örnekte de gördüğümüz gibi birbirleriyle çok ilgisi olmayan iki vektör uzayının direkt toplamı o iki uzayı olabildiğince serbest biçimde bir araya getiriyor.
Bir de $V$ ile $W$’nun bu şekilde serbest olmadığı duruma bakalım. Yani $V$ ile $W$ ortak bir $U$ uzayının altuzayları olsun. Bu durumda
$$
V+W:=\{v+w:\, v \in V, w \in W\}
$$
kümesinin de $U$’nun bir altuzayı olduğunu göstermek kolay. Ayrıca
$$
\begin{aligned}
f: \quad V \oplus W & \rightarrow V+W \\
(v, w) & \mapsto v+w
\end{aligned}
$$
olarak tanımlanan fonksiyonun lineer olduğunu görürüz.
Eğer $(v, w)$ bu lineer fonksiyonun çekirdeğindeyse $w=-v$ olmak zorunda. Yani hem $v$ hem de $w$ vektörü $V \cap W$’da olur. Bu da
$$
\operatorname{ker} f \subseteq\{(x,-x) \in V \times W: \, x \in V \cap W\}
$$
demek.
Bunun tersini göstermek için bir $x \in V \cap W$ alalım. Bariz biçimde $f(x,-x)=x+(-x)=0$ olacağından $(x,-x) \in \operatorname{ker} f$ elde edilir.
Bu çekirdeği aşağıdaki lineer fonksiyonu kullanarak biraz daha detaylı inceleyelim:
$$
\begin{aligned}
g: V \cap W & \rightarrow\{(x,-x) \in V \times W:\, x \in V \cap W\} \\
x & \mapsto(x,-x) .
\end{aligned}
$$
Bu fonksiyonun örten olduğu açık. Birebir de olduğunu göstermek için $x \in \operatorname{ker} g$ alalım. Bu $(x,-x)=(0,0)$ demek. Yani $x=0$. Demek ki $g$ birebir ve örten bir lineer fonskiyon. Yani
$$
\operatorname{ker} g \simeq V \cap W
$$
olur.
Eğer ilaveten $V \cap W=\{0_{U}\}$ ise $V+W$ uzayı $V \oplus W$’ya $f$ aracılığıyla izomorfik olur. Bu durumda $V+W$ uzayı da $V \oplus W$ olarak gösterilir ve $V$ ile $W$’nun (iç) direkt toplamı olarak isimlendirilir.
Örnek 11. $\mathbb{R}^{3}$’ün altuzaylarının direkt çarpımlarına bakalım. İlk olarak $V_{1}$ ve $V_{2}$ sırasıyla
$$
\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right) \;\text{ ve }\;\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right)
$$
vektörleriyle gerilen doğrular olsun.
Bu iki vektörden biri diğerinin skaler katı olmadığ için $V_{1}$ ve $V_{2}$ $0$-vektörü dışında kesişmezler. Yani $V_{1} \oplus V_{2}$ ve $V_{1}+V_{2}$ izomorfik olurlar. Bu uzayların boyutu 2 olduğundan $V_{1}+V_{2}$, $\mathbb{R}^{3}$ içinde bir düzlem olur.
Bir de iki düzlemin toplamına bakalım. $V_{3}$ ve $V_{4}$ sırasıyla $x+2 y-z=0$ ve $-x+y-z=0$ lineer denklemlerinin çözüm kümeleri olarak verilen düzlemler olsun. Daha önce defalarca yaptığımız için tekrar etmeyeceğimiz işlemler sonunda $V_{3} \cap V_{4}$ uzayının
$$
\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
-3
\end{array}\right)
$$
vektörüyle gerilen doğru olduğunu görürüz. Bu durumda $V_{3}+V_{4}$ uzayı $V_{3} \oplus V_{4}$ olmaz. Zaten $V_{3} \oplus V_{4}$’ün boyutu 4; yani $V_{3} \oplus V_{4}$’ün $\mathbb{R}^{3}$’ün bir altuzayına izomorfik olmasına imkân yok.
Bölüm Uzayı
Hemen tanımla başlayalım.
Tanım 9. Verilen bir $V$ vektör uzayı ve $W$ altuzayı için $V$ üzerinde şu denklik bağıntısını tanımlayalım:
$$
v_{1} \sim_{W} v_{2} \Longleftrightarrow v_{1}-v_{2} \in W
$$
Bunun gerçekten de bir denklik bağıntısı olduğunu gösterelim. Yansıma özelliği sıfır vektörünün $W$’da olması demek. Simetri özelliği ise $W$’nun $-1$ ile skaler çarpma altında kapalı olmasından çıkıyor: Eğer $v_{1} \sim_{W} v_{2}$ ise
$$
v_{1}-v_{2} \in W\quad \text { ve }\quad v_{2}-v_{1}=-1\left(v_{1}-v_{2}\right) \in W
$$
olur. Bu da $v_{2} \sim_{W} v_{1}$ demek.
Geçişkenlik için $v_{1} \sim_{W} v_{2}$ ve $v_{2} \sim_{W} v_{3}$ olacak şekilde $v_{1}, v_{2}, v_{3} \in V$ alalım. Yani $v_{1}-v_{2} \in W$ ve $v_{2}-v_{3} \in W$. Şimdi $W$’nun toplama altında kapalı olduğunu kullanarak
$$
v_{1}-v_{3}=\left(v_{1}-v_{2}\right)+\left(v_{2}-v_{3}\right) \in W
$$
elde edilir. Yani $v_{1} \sim_{W} v_{3}$.
Bu denklik bağıntısının sınıflarını çoğunlukla $v+W$ şeklinde göstereceğiz, bazen de –eğer $W$’nun ne olduğu açıksa– $\bar{v}$ olarak göstereceğiz. Bu sınıflardan oluşan kümeyi $V / W$ ile gösterelim ve $V$’nin $W$ ile bölüm uzayı olarak adlandıralım. Bu küme üzerine bir vektör uzayı yapısı koymak için toplama ve skaler çarpmayı tanımlamalıyız.
Bunun için $V / W$ kümesinden $\overline{v_{1}}=v_{1}+W$ ve $\overline{v_{2}}=v_{2}+W$ elemanlarını ve $r \in \mathbb{R}$ alalım. Toplama ile çarpmayı şöyle tanımlayalım:
$$
\begin{aligned}
\overline{v_{1}}+\overline{v_{2}} & =\overline{v_{1}+v_{2}}, \\
r \overline{v_{1}} & =\overline{r v_{1}} .
\end{aligned}
$$
Burada $\overline{v_{1}+v_{2}}=\left(v_{1}+v_{2}\right)+W$ ve $\overline{r v_{1}}=\left(r v_{1}\right)+W$ olduğuna dikkat edelim.
Ama bu tanımlarda bir sorun var: Mesela $u_{1} \sim_{W} v_{1}$ ise $\left(v_{1}+v_{2}\right)+W=\left(u_{1}+v_{2}\right)+W$ olmalı. Sıradaki önsav bu tür sorunlara çözüm oluyor.
Önsav 2. Bir $V$ vektör uzayı ve $W \leq V$ alalım. Her $v_{1}, v_{2}, u_{1}, u_{2} \in V$ ve $r \in \mathbb{R}$ için aşağıdakiler doğrudur:
- Eğer $v_{1} \sim_{W} u_{1}$ ve $v_{2} \sim_{W} u_{2}$ ise $v_{1}+v_{2} \sim_{W}$ $u_{1}+u_{2}$ olur,
- Eğer $v_{1} \sim_{W} u_{1}$ ise $r v_{1} \sim_{W} r u_{1}$ olur.
Kanıt. Birincisini kanıtlamak için $v_{1}-u_{1}$ ve $v_{2}-u_{2}$ vektörlerinin $W$’da olduğunu varsayalım. Bu durumda bu vektörlerin toplamı olan $v_{1}-u_{1}+v_{2}-u_{2}$ vektörü de $W$’dadır. Yani $v_{1}+v_{2} \sim_{W} u_{1}+u_{2}$ olur.
Eğer $v_{1}-u_{1} \in W$ ise $r\left(v_{1}-u_{1}\right)$ vektörü de $W$’dadır. Yani $r v_{1} \sim_{W} r u_{1}$ olur. $\quad \square$
Bu önsavla birlikte yukarıda bahsettiğimiz iyi tanımlılık sorunu kalmadı. Şimdi tanımlanan toplama ve skaler çarpmayla $V / W$’nun bir vektör uzayı olduğunu göstermek kolay.
Örnek 12. $V=\mathbb{R}^{2}$ olsun ve $W$ olarak
$$
\Bigg\{ \left( \begin{array}{l}
x \\
x
\end{array} \right): x \in \mathbb{R} \Bigg\}
$$
altuzayını alalım. Bu durumda $V / W$ uzayının elemanları $\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)+W$ biçiminde. Peki bu sınıflardan iyi bir vektör seçmek mümkün mü? Mesela her $\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)$ vektörü $\left(\begin{array}{c}x-y \\ 0\end{array}\right)$ vektörüne denk. Bu durumda her sınıftan $\left(\begin{array}{l}a \\ 0\end{array}\right)$ formunda bir eleman seçilebilir. Yani $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)+W$ elemanı $V / W$ uzayının bir tabanı olarak seçilebilir. O halde $V / W$’nun boyutu $1$’dir.
Bu örnekte $V / W$’nun boyutunun $1$ çıkması bir rastlantı değil. Şu fonksiyona bakalım:
$$
\begin{aligned}
p: V & \rightarrow V / W \\
v & \mapsto v+W .
\end{aligned}
$$
Bunun lineer olduğu açık ve çekirdeği tam olarak $W$. Bu durumda daha önceden lineer fonksiyonların çekirdekleri ve görüntüsüyle ilgili kanıtladığımız boyut eşitliğinden dolayı
$$
\operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W+\operatorname{dim} V / W
$$
olur. Yani
$$
\operatorname{dim} V / W=\operatorname{dim} V-\operatorname{dim} W
$$
olduğu görülür.
Aslında daha genel olarak şunu kanıtlayabiliriz.
Teorem 2. Verilen bir $f: V \rightarrow W$ lineer fonksiyonu için $V / \operatorname{ker} f$ bölüm uzayı $\operatorname{Im}(f)$ uzayına izomorfiktir.
Kanıt. Şu fonksiyonu tanımlayalım:
$$
\begin{aligned}
\tilde{f}: \quad V / \operatorname{ker} f & \rightarrow W \\
v+\operatorname{ker} f & \mapsto f(v) .
\end{aligned}
$$
Bu fonksiyonun iyi tanımlı ve lineer olduğunu görmek kolay. Ayrıca bu fonksiyonun görüntüsü de $f$’nin görüntüsüyle aynı. Eğer $\tilde{f}$’nın birebir olduğunu gösterebilirsek kanıt biter.
Bunun için de $\tilde{f}(v+\operatorname{ker} f)=0_{W}$ olduğunu varsayalım. Bu $f(v)=0_{W}$ demek. Yani $v \in \operatorname{ker} f$. Bu durumda da $v+\operatorname{ker} f=0_{V}+\operatorname{ker} f$. Yani $\tilde{f}$ birebirdir. $\quad \square$
Elimizdeki bu yeni tanımlarla MD 2014-I’in 98’inci sayfasında kanıtladığımız Teorem 7’nin daha ince halini kanıtlayabiliriz
Teorem 3. Bir $f: V \rightarrow W$ lineer fonksiyonu verilsin. O zaman $V$ ile $\operatorname{Im}(f) \oplus \operatorname{ker} f$ izomorfiktir.
Bir önceki teoremden dolayı, bu teoremi kanıtlamak için şu önsavı kanıtlamak yeterli.
Önsav 3. Verilen bir $V$ vektör uzayı ve $W \leq V$ için $W \oplus V / W$ ile $V$ uzayları izomorfiktir.
Kanıt. İlk olarak $W$’nun bir $B_{W}$ tabanını alalım ve $V$’nin bir $B$ tabanına genişletelim. Aradığımız izomorfizma $V$’nin elemanlarını $W \oplus V / W$ uzayının elemanlarına gönderecek. Bu amaçla bir $v \in V$ alalım ve $w_{1}, \ldots, w_{m} \in B_{W}$, $v_{1}, \ldots, v_{n} \in B \backslash B_{W}$ ve $a_{1}, \ldots, a_{m}, b_{1}, \ldots, b_{n} \in \mathbb{R}$ olmak üzere
$$
v=a_{1} w_{1}+\cdots+a_{m} w_{m}+b_{1} v_{1}+\cdots+b_{n} v_{n}
$$
olarak yazalım. Bu durumda $v$’yi $w \oplus V / W$’deki
$$
\left(a_{1} w_{1}+\cdots+a_{m} w_{m}, v+W\right)
$$
elemanına gönderelim. Bu fonksiyonun lineer olduğunu görmek oldukça kolay. Birebir ve örten olduğunu göstermeyi de okura bırakıyoruz. $\quad \square$
Dual Uzay
Matematiğin birçok alanında işe yarayan bir yaklaşım bir nesneyi çalışmaktansa o nesne üzerindeki fonksiyonları çalışmaktır. Bunun lineer cebirdeki yansıması verilen bir uzay üzerindeki lineer fonksiyonların uzayını çalışmak.
Tanım 10. Verilen bir $V$ vektör uzayının dual uzayı
$$
V^{*}=\{f: V \rightarrow \mathbb{R}:\, f \text { lineer fonksiyon}\}
$$
olarak tanımlanır.
Bu kümeyi vektör uzayı yapan toplama ve skaler çarpma daha önceden birkaç kez tanımladığımız fonksiyon toplaması ve skaler çarpması. Yani $f, g \in$ $V^{*}$ ve $r \in \mathbb{R}$ için
$$
(f+g)(v)=f(v)+g(v) \; \text { ve }\; (r f)(v)=r f(v)
$$
olarak tanımlanır ve $0$-vektörü de sabit $0$ fonksiyonu olarak alınır. Bir kez daha $V^{*}$’ın bu tanımlarla vektör uzayı olduğunu göstermek kolay olduğu için bunu yapmayı okura bırakıp daha ilginç özelliklerine geçelim.
İlk yapacağımız $V$’yi $V^{*}$ içine gömmek; yani $V$’den $V^{*}$’ye giden birebir lineer bir fonksiyon bulmak. Bu $V$’nin her elemanını $V$ üzerinde bir fonksiyon gibi görmek demek. Bunu yapmak için $V$’nin bir $B$ tabanını sabitleyip bu tabanı $V^{*}$ içine göndermek yeterli. (Niçin?)
Şimdi verilen bir $w \in B$ taban elemanından $V$’den $\mathbb{R}$’ye giden lineer bir $w^{*}$ fonksiyonu bulalım: Verilen $v \in V$ vektörünü $B$ tabanına göre $w$’ya tekabül eden koordinatına gönderelim (koordinat kavramı için MD 2014-I’deki Tanım 7’ye bakabilirsiniz) Yani $v$’yi $w_{1}, \ldots, w_{n} \in B$ ve $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere
$$
a_{1} w_{1}+\cdots+a_{n} w_{n}+b w
$$
olarak yazdığımızda, $w^{*}(v)=b$ olarak tanımlanır. Burada $b$’nin sıfır da olabileceğine dikkat edelim.
Bir sonraki amacımız bu fonksiyonun birebir olduğunu göstermek. Bu amaçla bir $v \in V$ alalım ve $a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R}$, $w_{1}, \ldots, w_{n} \in B$ olmak üzere
$$
v=a_{1} w_{1}+\cdots+a_{n} w_{n}
$$
olarak yazalım. Eğer $v$ sıfır vektöründen farklıysa bir $i$ için $v^{}\left(w_{i}\right)$ sıfır olmayacaktır. Yani $v$ sıfır vektörü olmadığı sürece $v^{*}$ sıfır fonksiyonu olamaz.
Bu gömmeden dolayı $\operatorname{dim} V \leq \operatorname{dim} V^{*}$ olduğunu görürüz.
Yukarıda inşa ettiğimiz gömmenin seçtiğimiz $B$ tabanına bağlı olduğuna dikkat edelim. Seçtiğimiz tabanların herbiri başka bir gömme veriyor.
Örnek 13. $\mathbb{R}^{2}$ içinde bir doğru alalım. Mesela $V$, $\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2\end{array}\right)$ vektörüyle gerilen doğru olsun. Yani $V$’nin elemanları $r \in \mathbb{R}$ olmak üzere
$$
v=r\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array}\right)
$$
şeklinde. Böyle bir $v$ vektörü alıp $v^{*}_{1}$ bulalım. Bu vektör $0$-vektörü olmadığı sürece tek başına $V$’nin bir tabanı oluyor. Yani tanım gereği verilen bir
$$
w=s\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array}\right)=\frac{s}{r} r\left(\begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array}\right)=\frac{s}{r} v
$$
için
$$
v^{*}(w)=\frac{s}{r}
$$
olur. ( $v$ sıfır vektörü olmadığı için $r \neq 0$ olduğundan $r$’ye bölme hakkımız var.)
Yukarıdaki gömme işlemini $V^{*}$’a uyguladığımızda $V^{*}$’in $\left(V^{*}\right)^{*}$ içine bir gömmesini elde ederiz. (Genelde $\left(V^{*}\right)^{*}$ yerine $V^{**}$ yazacağız.) Böylece $V$’nin $V^{*}$ içine bir gömmesini buluruz. Yukarıda bahsettiğimiz gibi bu gömme verilen tabanlara bağlı olacak. Fakat $V$’nin $V^{*}$ içine tabanlara bağlı olmayan bir gömmesini de bulabiliriz. Bunun için verilen bir $v \in V$ ve $f \in V^{*}$ için
$$
d_{v}(f)=f(v)
$$
olarak tanımlayalım. Bu notasyonla $V$’nin $V^{**}$ içine gömmesini şöyle tanımlarız.
$$
\begin{aligned}
d: V& \rightarrow V^{* *} \\
v & \mapsto d_{v} \ .
\end{aligned}
$$
Bu fonksiyonun hem lineer olduğunu hem de birebir olduğunu detaylı biçimde gösterelim.
Lineerlik için $v, w \in V$ ve $r \in \mathbb{R}$ alalım. Amacımız $d_{v+w}=d_{v}+d_{w}$ ve $d_{r v}=r d_{v}$ olduğunu göstermek. Her $f \in V^{*}$ için
$$
\begin{aligned}
d_{v+w}(f)=f(v+w) & =f(v)+f(w) \\
& =d_{v}(f)+d_{w}(f) \\
& =\left(d_{v}+d_{w}\right)(f)
\end{aligned}
$$
ve
$$
\begin{aligned}
d_{r v}(f) & =f(r v) \\
& =r f(v) \\
& =r d_{v}(f)
\end{aligned}
$$
olduğundan $d$ lineerdir.
Sırada birebirlik var. Bunun için $v \in$ ker $d$ alalım ve bu $v$’nin sıfır vektörü olduğunu gösterelim. Eğer $v$ sıfır değilse $f(v) \neq 0$ olacak şekilde bir $f \in V^*$ vardır. (Niçin?) Bu durumda $d_{v}(f)=f(v) \neq 0$ olacağından $d_{v} V^{*}$ üzerindeki sıfır fonksiyonu olamaz. Yani ker $d={0}$ olduğundan $d$ birebirdir.
Böyle tanımladığımız $d$ fonksiyonuna $V$’nin değerlendirme fonksiyonu denir. Bunun sebebi her $v$ için $d_{v}$’nin $V^{*}$’in elemanlarına etkisinin $v$’de değerlendirmek olması.
Eğer $V$ sonlu boyutluysa $d$ birebir olmanın yanında örten de olur. Bunu göstermek için $V$ sonlu boyutlu olduğunda $\operatorname{dim} V=\operatorname{dim} V^{*}$ olduğunu göstermek yeterli, çünkü bunun sonucu olarak $\operatorname{dim} V=\operatorname{dim} V^{ *}$ olduğu çıkar ve $d$ birebir olduğundan örten de olmak zorunda kalır.
Diyelim ki $V$ sonlu boyutlu ve $\{v_{1}, \ldots, v_{n}\}$ bir tabanı. Amacımız $\{v_{1}^{*}, \ldots, v_{n}^{*} \}$ kümesinin de $V^{*}$’ın bir tabanı olduğunu göstermek. Bunun için bir $f \in V^{*}$ alalım. Şimdi
$$
f=f(v_{1}) v_{1}^{*}+\cdots+f(v_{n}) v_{n}^{*}
$$
olduğunu iddia ediyoruz. Bu iddiayı kanıtlamak için $v \in V$ alalım ve $v=a_{1} v_{1}+\cdots+a_{n} v_{n}$ olarak yazalım. Şimdi $(f(v_{1}) v_{1}^{*}+\cdots+f(v_{n}) v_{n}^{*})(v)$ sayısı $f(v_{1}) v_{1}^{*}(v)+\cdots+f (v_{n} ) v_{n}^{*}(v)$ sayısına eşit. Her $i$ için $v_{i}^{*}(v)=a_{i}$ olduğundan bu son toplam
$$
f\left(a_{1} v_{1}+\cdots+a_{n} v_{n}\right)=f(v)
$$
olur. Bu her $v$ için doğru olduğundan
$$
f\left(v_{1}\right) v_{1}^{*}+\cdots+f\left(v_{n}\right) v_{n}^{*}=f
$$
elde ederiz. Bu da $\{v_{1}^{*}, \ldots, v_{n}^{*} \}$ kümesinin $V^{*}$’ın bir tabanı olması demek.
Bu yaptıklarımızı şu şekilde bir araya toplayalım.
Teorem 4. Her $V$ vektör uzayı dualinin içine gömülebilir ve çift dualinin içine tabandan bağımsız şekilde gömülebilir. Eğer $V$ sonlu boyutluysa çift dualinin içine gömülmesi bir izomorfizma olur. Yani sonlu boyutlu durumda
$$
\operatorname{dim} V=\operatorname{dim} V^{*}=\operatorname{dim} V^{**}
$$
olur.
