Elemanların Kuvvetleri

Bundan böyle, $(\mathbb{Z},+)$ ve $(SymX,\circ )$ örneklerinde olduğu gibi somut bir gruptan söz edilmiyorsa, söz konusu olan rastgele bir grupsa, dolayısıyla $\star$ işlemi belirtilmemişse, $\star$ yerine $\cdot$ ve $x\star y$ yerine $x\dot{y}$, hatta hiç noktasız $xy$ yazacağız. Ayrıca $e$ yerine $1$ yazacağız. Tabii bu $1$, $1$ doğal sayısı olmayabilir. Önceki yazıda kanıtladığımız

$y=x^{-1}⟺x\star y=e⟺y\star x=e$

eşdeğerlikleri bir defa daha bu dilde yazalım, önemliler çünkü:

$y=x^{-1}⟺xy=1⟺yx=1$

Bir grubun bir $x$ elemanı kendisiyle $n$ defa çarpıldığında elde edilen eleman $x^n$ olarak gösterilir ve bu elemana $x$’in $n$inci kuvveti adı verilir. Burada $n$ pozitif bir doğal sayıdır. $x^0$ elemanı $1$ olarak tanımlanır. Tanım gereği $x^1=x$ olur. Diğer kuvvetlerin ne demek oldukları bariz:

$x^2=xx$, $x^3=xxx=x^{2}x=x{x}^2$.

Bir grubun bir $x$ elemanının kuvvetinin formel tanımı şöyle: $x^0=1$ ve her $n\in \mathbb{N}$ için

$x^{n+1}=x^{n}x$.

Eğer bir grupta, $n>0$ tamsayısı için $x^n=1$ olursa, o zaman,

$x{x}^{n-1}=x^n=1$

olduğundan, yukarıdaki eşdeğerliklere göre

$x^{-1}=x^{n-1}$

olur. Bu önemli gözlemi sık sık kullanacağız. Bunun bir özel durumu olarak, $x^2=1$ ise

$x^{-1}=x$

olduğu bulunur.

Önsav 1. Bir grupta her $x$ elemanı ve her $n$, $m\in \mathbb{N}$ için

$x^n{x}^m=x^{n+m}$ ve $(x^n{)}^m=x^{nm}$

olur. Demek ki

$x^n{x}^m=x^m{x}^n$

olur.

Kanıt: Birinci eşitlikten başlayalım. $m$ üzerine tümevarımla kanıtlayacağız. Eğer $m=0$ ise

$x^n{x}^m=x^n{x}^0=x^{n}1=x^n=x^{n+0}=x^{n+m}$.

Şimdi eşitliğin $m$ için doğru olduğunu varsayıp eşitliği $m+1$ için kanıtlayalım:

$x^n{x}^{m+1}=x^n(x^{m}x)=(x^n{x}^m)x=x^{n+m}x=x^{(n+m)+1}=x^{n+(m+1)}$

Sıra ikinci eşitlikte. Eğer $m=0$ ise hem $(x^n{)}^m$ hem de $x^{nm}elemanı$1${}^{\prime }eeşittir.Şimdieşitliğin$m$ için doğru olduğunu varsayalım. Kanıtlanan bir önceki eşitliği kullanarak,

$(x^n{)}^{m+1}=(x^n{)}^m{x}^n=x^{nm}{x}^n=x^{nm+n}=x^{n(m+1)}$

elde ederiz. Kanıtımız tamamlanmıştır. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji\; td-animation-stack-type0-1"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}$

Eğer $n>0$ bir tamsayıysa, $x^{-n}$’yi $(x^n{)}^{-1}$ olarak (yani $x^n$’nin tersi olarak) tanımlıyoruz:

$x^{-n}=(x^n{)}^{-1}$

ama burada bir şeyi kontrol etmek gerekir: Daha önce $x^{-1}$ elemanını $x$’in tersi olarak tanımlamıştık. Oysa burada $x^{-1}$in farklı bir tanımını yaptık: Burada $x^{-1}$ (eğer tanımda $n=1$ alınırsa), $x^1$’in, yani $x^{\prime }in$ tersi olarak tanımlanmıştır. Her iki tanımın da aynı elemanı işaret ettiği belli, yani daha önceki tanımla bu tanım $n=1$ ise örtüşüyor; bir sorun yok. Hatta tanımda $n=0$ bile alabiliriz, gene bir sorun olmaz. Eski tanıma göre:

$x^{-0}=x^0=1$

diğer yandan yeni tanıma göre de

$x^{-0}=(x^0{)}^{-1}=1^{-1}=1$

çıkar.

Pozitif $n$ tamsayıları için (tanım gereği) doğru olan bu eşitliğin taraflarının tersini alırsak

$x^n=(x^{-n}{)}^{-1}$

elde ederiz. Demek ki $m=-n$ için

$(x^m{)}^{-1}=x^{-m}$

olur. Böylece $x^{-n}=(x^n{)}^{-1}$ eşitliğinin negatif sayılar için de doğru olduğunu görürüz.

Önsav 2. Bir grubun her $x$ elemanı ve her $n$, $m\in \mathbb{Z}$ için

$x^n{x}^m=x^{n+m}$ ve $(x^n{)}^m=x^{n}m$,

Demek ki

$(x^{-1}{)}^n=x^{-n}$ ve $x^n{x}^m=x^m{x}^n$

olur.

Kanıt: Birinci eşitlikten başlayalım. Gerekirse kanıtlamak istediğimiz eşitliğin tersini alarak (o zaman $x^{-(n+m)}=m^{-m}{x}^{-n}$ elde ederiz),

$n+m\ge 0$

varsayımını yapabiliriz. Demek ki ya $n\ge 0$ ya da $m\ge 0$. Önsav 1’den dolayı $n$ ya da $m$’nin negatif olduğunu varsayabiliriz.

Birinci Şık: $m<0$. Bu durumda Önsav 1’e göre,

$x^{n+m}(x^m{)}^{-1}=x^{n+m}{x}^{-m}=x^{(n+m)+(-m)}=x^n$

olur. Sol taraftaki $x^m$’yi sağ tarafa atarak istediğimiz

$x^{n+m}=x^n{x}^m$

eşitliğini elde ederiz.

İkinci Şık: $n<0$. Bu durumda Önsav 1’e göre,

$(x^n{)}^{-1}{x}^{n+m}=x^{-n}{x}^{n+m}=x^{(-n)+(n+m)}=x^m$

olur. Soldaki $x^n$’yi sağ tarafa atarak istediğimiz

$x^{n+m}=x^n{x}^m$

eşitliğini elde ederiz.

Gelelim $(x^n{)}^m=x^{nm}$ eşitliğine. Gerekirse tarafların tersini alarak $m\ge 0$ varsayımını yapabiliriz. Eğer $m=0$ ise eşitlik $0$’ıncı kuvvetin tanımından çıkıyor. Eşitliğin $m$ için doğru olduğunu varsayıp eşitliği $m+1$ için kanıtlayalım. Kanıtlanan bir önceki eşitlikten ve tanımdan,

$(x^n{)}^{m+1}=(x^n{)}^m{x}^n=x^{nm}{x}^n=x^{nm+n}=x^{n(m+1)}$

elde ederiz.

$(x^{-1}{)}^n=x^{-n}$ eşitliği bir öncekinden elde edilir. Nitekim bir önceki $(x^n{)}^m=x^{nm}$ eşitliğinde $n=-1$ alırsak, her $m\in \mathbb{Z}$ için $(x^{-1}{)}^m=x^{-m}$ buluruz. Son eşitliğin kanıtı:

$x^n{x}^m=x^{n+m}=x^{m+n}=x^m{x}^n$. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji\; td-animation-stack-type0-1"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}$

Sonuç 3. Her grubun her x elemanı için,

$x^n:n\in \mathbb{Z}$

kümesi çarpma ve tersini alma işlemi altında kapalıdır ve grubun etkisiz elemanını içerir. Bir başka deyişle bu küme grubun işlemi altında kendi başına bir grup olur.

Kanıt: Doğrudan bir önceki önsavın sonucudur. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji\; td-animation-stack-type0-1"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}$

Ama dikkat, $x^n:n\in \mathbb{Z}$ kümesi sonsuz olmak zorunda değildir. Bu konuya bir sonraki yazıda değineceğiz.

Sonuç 4. Eğer bir grubun bir $x$ elemanı için

$x^n=1$

oluyorsa ve eğer $n$ sayısı $a-b$ sayısını bölüyorsa (yani $a\equiv \mathrm{mod}n$ oluyorsa), o zaman

$x^a=x^b$ olur.

Kanıt: $a-b=nk$ olsun. O zaman $x^a=x^{b+nk}=x^b{x}^{nk}=x^b(x^n{)}^k=x^b{1}^k=x^{b}1=x^b$ olur. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji\; td-animation-stack-type0-1"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}$

Önemli bir şeye dikkat etmek lazım: $(xy{)}^n$ elemanı $x^n{y}^n$ elemanına eşit olmayabilir. Öte yandan eğer $xy=yx$ ise $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ olur. Şimdi bunu kanıtlayalım.

Önsav 5. Eğer bir grubun $x$ ve $y$ elemanları birbirleri ile değişiyorlarsa, yani $xy=yx$ ise o zaman her $n$ ve $m$ tamsayısı için $x^n{y}^m=y^m{x}^n$ ve $(xy{)}^n=x^n{y}^n$ olur.

Kanıt: Önce $x{y}^m=y^{m}x$ eşitliğini kanıtlayalım. İlk olaral $m\ge 0$ varsayımını yapalım. Eğer $m=0$ ya da $m=1$ ise kanıtlayacak bir şey yok. Eşitliğin $m$ için geçerli olduğunu varsayalım. O zaman eşitlik $m+1$ için de geçerli olur:

$x{y}^{m+1}=x(y^{m}y)=(x{y}^m)y=(y^{m}x)y=y^m(xy)=y^m(yx)=(y^{m}y)x=y^{m+1}x$.

Demek ki her $m\ge 0$ için

$x{y}^m=y^{m}x$.

Eğer $m<0$ ise, $-m>0$ olduğundan, biraz önce yaptığımızdan

$x{y}^{-m}=y^{-m}x$

olur. $y^{-m}$ terimlerini diğer tarafa atarak

$x{y}^m=y^{m}x$

buluruz.

Şimdi de $x^n{y}^m=y^m{x}^n$ eşitliğini kanıtlayalım. Eğer $n=0$ ise eşitlik bariz. Eğer eşitlik $n$ için doğruysa, biraz önce kanıtlanan $y^{n}x=x{y}^n$ eşitliğini kullanarak,

$(xy{)}^{n+1}=(xy{)}^n(xy)=(x^n{y}^n)(xy)=x^n(y^{n}x)y=x^n(x{y}^n)y=(x^{n}x)(y^{n}y)=x^{n+1}{y}^{n+1}$

elde ederiz. Demek ki (tümevarımla) eşitlik $n\ge 0$ için doğru. Şimdi $n<0$ olsun. $m=-n>0$ tanımını yapalım. Biraz önce kanıtladığımız

$(xy{)}^m=x^m{y}^m$

eşitliğini ters çevirirsek,

$y^{-m}{x}^{-m}=(xy{)}^{-m}$, yani $y^n{x}^n=(xy{)}^n$

buluruz. Bu ve bir önceki eşitlik

$x^n{y}^n=(xy{)}^n$ verir. $\mathrm{<img\; draggable="false"\; role="img"\; class="emoji\; td-animation-stack-type0-1"\; alt="◻"\; src="https://s.w.org/images/core/emoji/15.1.0/svg/25fb.svg">}$

İleride bu önsavları referans vermeden özgürce kullanacağız.

$$

Örnek 1. Eğer $(1$ $2$ $3$ $4)(5$ $6$ $7$ $8$ $9)$ $\in$ $Sym$ $9$ ise

$g^2=(1$ $3)(2$ $4)(5$ $7$ $9$ $6$ $8)$

$g^3=(1$ $4$ $3$ $2)(5$ $8$ $6$ $9$ $7)$

$g^4=(5$ $9$ $8$ $7$ $6)$

$g^5=(1$ $2$ $3$ $4)$

$g^6=(1$ $3)(2$ $4)(5$ $6$ $7$ $8$ $9)$

$g^7=(1$ $4$ $3$ $2)(5$ $7$ $9$ $6$ $8)$

$g^8=(5$ $8$ $6$ $9$ $7)$

$g^9=(1$ $2$ $3$ $4)(5$ $9$ $8$ $7$ $6)$

$g^{10}=(1$ $3)(2$ $4)$ olur. Dolayısıyla,

$g^{20}=g^{10\cdot 2}=(g^{10}{)}^2=[(1$ $3)(2$ $4){]}^2=I{d}_9$

ve $g^{-1}=g^{19}$ olur. Ayrıca,

$g^{143}=g^{20\cdot 7+3}=(g^{20}{)}^7{g}^3=g^3=(1$ $4$ $3$ $2)(5$ $8$ $6$ $9$ $7)$ olur.

$$

Örnek 2. Eğer

$g=(1$ $2)(3$ $4$ $5)(6$ $7$ $8$ $9)(10$ $11$ $12$ $13$ $14)$ ise $g^{143}$ permütasyonunu bulalım.

$g^{60}=Id$ olduğu belli. Demek ki $g^{143}=g^{23}$. Şimdi $g^{23}$ permütasyonunu bulalım. Kareler alarak,

$g^2=(3$ $5$ $4)(6$ $8)(7$ $9)(10$ $12$ $14$ $11$ $13)$

$g^4=(3$ $4$ $5)(10$ $14$ $13$ $12$ $11)$

$g^8=(3$ $5$ $4)(10$ $13$ $11$ $14$ $12)$

$g^{16}=(3$ $4$ $5)(10$ $11$ $12$ $13$ $14)$ buluruz. Buradan,

$g^{143}=g^{23}=g^{16+8-1}=g^{16}{g}^{8}g-1$

$=[(3$ $4$ $5)(10$ $11$ $12$ $13$ $14)][(3$ $5$ $4)(10$ $13$ $11$ $14$ $12)][(1$ $2)(3$ $5$ $4)(6$ $9$ $8$ $7)(10$ $14$ $13$ $12$ $11)]$

$=(1$ $2)(3$ $5$ $4)(6$ $9$ $8$ $7)(10$ $13$ $11$ $14$ $12)$

Şöyle de yapabilirdik:

$a=(1$ $2)$, $$ $b=(3$ $4$ $5)$, $$ $c=(6$ $7$ $8$ $9)$, $$ $d=(10$ $11$ $12$ $13$ $14)$ olsun.

Bu dört eleman birbirleriyle değişirler, yani mesela $ab=ba$ olur.

$a^2=I{d}_9$, $b^3=I{d}_9$, $c^4=I{d}_9$, $d^5=I{d}_9$ olduğundan,

$g^{143}=g^{23}=(abcd{)}^{23}=a^1{b}^2{c}^3{d}^3=(1$ $2)(3$ $5$ $4)(6$ $9$ $8$ $7)(10$ $13$ $11$ $14$ $12)$ olur.

$$

Örnek 3. Eğer $G$ ve $H$ birer grupsa ve $g\in G$ ve $h\in H$ ise, her $n\in \mathbb{Z}$ için

$$ $(g,$ $h{)}^n=(g^n,$ $h^n)$

olur. Benzer şey $\prod _I{G}_i$ ve ${\oplus }_I{G}_i$ gruplarında da geçerlidir.

$$

Örnek 4. Eğer grubun işlemi $+$ ise, ki bu durumda matematikçiler arasında yapılan anlaşmaya göre o grup değişmeli olmak zorundadır, o zaman $g^n$ yerine $ng$ yazıldığını söylemiştim. Toplamsal bir grup olan $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$’den örnek verelim. Eğer $k\in \mathbb{Z}$ ve $(x,$ $y)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ ise $k(x,$ $y)=(kx,$ky)$ olur.

Eğer grubun işlemi toplama $(+)$ işareti ile simgeleniyorsa, o zaman, $g^n$ yerine $ng$ yazılır. Yukarıda kanıtladığımız eşitlikler bu yeni yazılımla şu hali alırlar: Her $n,$ $m\in \mathbb{Z}$ ve her $x,$ $y\in G$ için,

$$ $(n+m)x=nx+mx$

$$ $n(mx)=(nm)x$

$$ $n(x+y)=nx+ny$.

$$

Alıştırmalar

1. Eğer bir grubun $a$ ve $b$ elemanları için $a^n=b^m=1$ oluyorsa, $e=$ ekok$(n,m)$ için $(ab{)}^e=1$ eşitliğini kanıtlayın.
2. Eğer bir grubun bir $a$ elemanı için $a^n=a^m=1$ oluyorsa $d=$ ebob$(n,m)$ için $a^d=1$ eşitliğini kanıtlayın.
3. $G$ bir grup ve $c,x\in G$ olsun. Eğer $x^n,x^m\in C_G(c)$ ise, $d=$ebob$(n,m)$ için $x^d\in C_G(c)$ olduğunu kanıtlayın.