$n\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq(1/2)\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$ ve $\mathbb{Q^*}\subseteq\mathbb{R^*}$ örneklerinde olduğu gibi, bazen bir grubun bir altkümesi, grubun işlemiyle birlikte kendi başına b,r grup olur.
$G$’nin çarpma işlemiyle birlikte bir grup olan altkümelerine $G$’nin altgrubu adı verilir. Eğer $H$, $G$’nin altgrubuysa, bu,
$H\leq G$
olarak gösterilir. Genelde bir altkümenin altgrup olması için işlem altında kapalı olması yetmez, örneğin $\mathbb{N}$ toplama altında kapalı olmasına rağmen $\mathbb{Z}$’nin bir altgrubu değildir. (Öte yandan birazdan kanıtlayacağımız Teorem 1’e göre altküme sonluysa çarpma altında kapalı olmak altgrup olmak için yeterlidir.)
$G$’nin bir $H$ altgrubunun (altgrup kendi başına bir grup olduğundan) etkisiz eleman vardır. Eğer $G$’nin etkisiz elemanına $e$ ve $H$’ninkine de $f$ diyelim. Elbette
$ff=f$
olur; ayrıca $f\in G$ olduğundan, $G$’de hesap yaparak
$fe=f$
bulunur; demek ki
$ff=f=fe$
ve buradan da ($G$ grubunda sadeleştirme yaparak)
$e=f$
buluruz. Demek ki $H$ ile $G$’nin etkisiz elemanı aynıdır. Bundan kolylıla $H$’deki bir elemanın $H$’de ve $G$’de terslerinin aynı olduğu çıkar: $h, k\in H$ ve $g\in G$ elemanları $hk=e$ ve $hg=e$ eşitliklerini sağlıyorsa, $G$’de sadeleştirme yaparak $g=k$ buluruz.
Eğer $G$ bir grup ve $A, B\subseteq G$ ise,
$AB=\{ab:a\in A, b\in B\}$
ve
$A^{-1}=\{a^{-1}:a\in A\}$
tanımlarını yapalım. Demek $A$’nın çarpma altında kapalı olması demek, aynen $AA\subseteq A$ demektir.
$(AB)C=A(BC)$
ve
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
gibi eşitlikler bariz olmalı. Dolayısıyla $(AB)C$ yerine parantezsiz $ABC$ yazabiliriz.
Demek ki bir $H\subseteq G$ altkümesinin $G$’nin bir altgrubu olması için,
$HH\subseteq H, e\in H, H^{-1}\subseteq H$
koşulları gerek ve yeterdir. Birinci koşul, $H$’nin işlem altında kapalı olduğunu, ikincisi $H$’nin $G$’nin etkisiz elemanını içerdiğini ve üçüncüsü $H$’de olduğunu söylüyor. Eğer $G$ toplama altında bir grupsa, yukarıdaki koşullar,
$H+H\subseteq H, 0\in H, -H\subseteq H$
koşullarına dönüşür.
Bir grup ve altgrubunun resmi aşağıda.
————-PICTURE———
Teorem 1. Bir grubun boş olmayan sonlu bir altkümesi çarpma işlemi altında kapalıysa bir altgruptur.
Kanıt: Gruba $G$, grubun sonlu altkümesine $H$ diyelim. Varsayıma göre $H$’nin elemanlarıyla H’nin elemanlarını çarptığımızda sonuç gene $H$’de çıkar. Grup tanımının üç özelliğinin $H$ için sağlandığını kanıtlamalıyız. (İşlem olaraki tabii ki $G$’yi grup yapan işlem alıyoruz.) Birleşme özelliği $G$’nin elemanları için de doğru olsuğundan, $H$’nin elemanları için de doğrudur. Şimdi $H$’de etkisiz elemanın varlığını kanıtlayalım. Aslında $G$’nin etkisiz elemanının zorunlu olarak $H$’den bir $h$ elemanı seçelim ve $h$’yi kendisiyle çarpıp
$h, h^2, h^3, h^4,…$
elemanlarını elde edelim. Varsayıma göre bunların hepsi $H$’nin elemanlarıdır. Ama $H$ sonlu bir küme olduğundan, iki farklı $m$ ve $n$ pozitif doğal sayısı için
$h^n=h^m$
olmalı. Diyelim $n>m$. O zaman
$h^m=h^n=h^{n-m}h^m$
eşitliğinden, $G$ grubunda sadeleştirme yaparak,
$h^{n-m}=1$
elde ederiz. Varsayıma göre
$h^{n-m}\in H.$
Demek ki
$1\in H.$
Ayrıca $h^{n-m}=1$ eşitliğinden,
$hh^{n-m-1}=h^{n-m}=1$
çıkar. Demek ki
$h^{-1}=h^{n-m-1}$
olur. Eğer $n-m=1$ ise
$h^{-1}=h^0=1\in H$,
eğer $n-m>1$ ise
$h^{-1}=h^{n-m-1}\in H$
olur. Demek ki her iki durumda da $h$’nin ($G$ grubundaki) tersi $H$’dedir. Böylece $H$’nin kendi başına bir grup olduğı, yani $G$’nin bir altgrubu olduğu kanıtlanmış oldu. $\Box$
Teorem 1’e göre, eğer $X$ sonlu bir kümeyse, $Sym$ $X$’in bileşke işlemi altında kapalı olan ama boşküme polmayan her altküme bir altgrup olur.İleride bu olguyu sık sık kullanacağız.
Aşağıdaki sonuç da çok yararlıdır.
Önsav 2. $G$ bir grup olsun. Eğer $A, B\subseteq G$ altkümeleri çarpma altında kapalıysa ve $BA\subseteq AB$ ise, $AB$ kümesi de çarpma altında kapalıdr. Eğer ayrıca $A$ ve $B$ sonluysa, $AB\leq G$ olur.
Kanıt: Kanıt bir satırdan ibarettir:
$(AB)(AB)=A(BA)B\subseteq A(AB)B=(AA)(BB)\subseteq AB$. İkinci önerme bundan ve bir önceki teoremden çıkar. $\Box$
Bundan böyle $G$’nin etkisiz elmanını $e$ yerine $1$ ile göstereceğiz. $G$ elbette $G$’nin bir altgrubudur. Ayrıca sadece $1$ elemanından oluşan altküme de bir altgruptur: ${\{1\}}\leq G$. Belki okur tasvip etmeyebilir ama ${{1}}$ altgrubu yerine sık sık $1$ yazılır ve bu yazılım çok kullanışlıdır. Ama hiçbir zaman $1={\{1\}}$ yazılmaz çünkü böyle bir tanım kümeler kuramının Temellendirme Aksiyomu’yla çelişirdi. ${{1}}$ yerine $1$ yazılması (yanlış olan!) $1={\{1\}}$ eşitliğinden değil, matematikçilerin yaptığı bir anlaşmadan kaynaklanır. $1$ simgesinin ne zaman etkisiz eleman $1$ olarak, ne zaman ${\{1\}}$ altgurbu olarak kullanıldığı her zaman metnin kapsamından ve gelişmeden anlaşılacağından, bu tuhaf anlaşma herhangi karışıklığa yol açmayacaktır. (Öyle bir olasılık varsa $1$ altgrubu yerine yazılması gerektiği gibi ${\{1\}}$ yazın.)
Aşağıdaki sonuç da çok yararlı olacak.
Önsav 3. $G$ bir grup ve $A, B\leq G$ olsun. Eğer $A\cap B = 1$ ise
$(a,b)\mapsto ab$
kurlaı $A \times B$’den $AB$’ye giden bir eşleme verir.
Dolayısıyla
$\lvert AB\rvert = \lvert A\rvert \lvert B\rvert$
olur.
Kanıt: Fonksiyonun örten olduğu belli. Diyelim, $a,a_{1}\in A$ ve $b,b_{1}\in B$ için
$ab=a_{1}b_{1}$
o zaman
$a_{}^{-1}a=b_{1}b^{-1}\in A\cap B=1$
olur, yani
$a_{1}^{-1}a=b_{1}b^{-1}=1$,
yani
$a=a_{1}$ ve $b=b_{1}$
olur. Demek ki fonksiyon birebirmiş. $\Box$
Örnekler
Örnek 1. Önce basit örneklerden başlayalım:
$2\mathbb{Z}\leq (3/2)\mathbb{Z}\leq \mathbb{Q} \leq \mathbb{R}$,
$\{1, -1\}\leq \mathbb{Q^*}\leq \mathbb{R^*}$,
$\mathbb{Q}^{>0}\leq \mathbb{R}^{>0}$
Ayrıca
$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:a, b \in \mathbb{Z}\}$
ve
$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]=\{a+b\sqrt{2}:a, b \in \mathbb{Q}\}$
gibi kümeler de $\mathbb{R}$’nin altgruplarıdır.
Biraz daha az bariz örnek:
$\mathbb{Q}[\sqrt{2}]/\{0\}\leq \mathbb{R^*}$
olur. (Okura alıştırma.)
Örnek 2. $\mathbb{Z}$ grubunun tüm altgrublarını sayfa 27’deki Teorem 1’de sınıflandırmıştık: $\mathbb{Z}$’nin her altgrubu bir ve bir tek $n\in \mathbb{Z}$ için $n\mathbb{Z}$ biçimindedir. Örnek 16’da $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ grubunun tüm altgruplarını sınıflandıracağız.
Örnek 3. $G$ değişmeli bir grup olsun.
Eğer $n\in \mathbb{Z}$ ise,
$G_{n}=\{g\in G:g^n=1\}$
kümesi $G$’nin bir altgrubudur. (Bkz. sayfa 44 ve sayfa 47, Teorem 3)
$\pi$, bir asal sayılar kümesi olsun. Asal bölenleri $\pi$ kümesinde olan sayılara $\pi$-sayısı adı verilir.
$\{g\in G:$ $deg$ $g$ $bir$ $\pi – sayısı\}$
bir altgruptur.
Eğer $\pi$, tüm asallar kümesiyse, yukarıdaki örnek, derecsi sonlu olan (yani burulmalı) elemanlardan oluşan bir kümenin bir altküme olduğunu gösterir.
Ama $1$ dışında burulmalı elemanları olan değişmeli bir grupta, burulmasız elemanlar kğmesi hiçbir zaman bir altgrup olamaz.
Örnek 4. Eğer $G$ bir grupsa ve $g\in G$ ise
$\{g^n:n\in \mathbb{Z}\}$
bir altgruptur. Eğer $g$’nin derecesi $d<\infty$ ise bu altgrubun tam $d$ tane elemanı olduğunu ve
$\{1, g, g^2, …, g^{d-1}\}$
kümesine eşit olsuğunu sayfa 47’deki Teorem 3’te görmüştük.
Örnek 5. $(G_{i})_{i}$ bir grup ailesi olsun. O zaman
$\bigoplus_{I}G_{i}\leq \Pi_{I}G_{i}$
olur.
Örnek 6. $A\leq G$ ve $B\leq H$ olsun. O zaman
$A\times B\leq G\times H$
olur. Ama dikkat: $G\times H$’nin tüm altgrupları bu türden değildir. Örneğin, eğer $G=H$ ise,
$\{(g,g):g\in G\}\leq G\times G$
olur ve $G=1$ olmadıkça (yani $G=\{1\}$ olmadıkça!) $A\times B$ türünden yazılan bir altgrup değildir.
Birazdan, Önek 16’da $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ grubunun altgruplarını sınıflandıracağız.
Örnek 7. Bir önceki örneği sonsuz sayıda grubun kartezyen çarpımına genelleştirmek işten bile değildir: $(G_{i})_{i}$ bir grup ailesi olsun. Her $i\in I$ için $H_{i}\leq G_{i}$ olsun. O zaman
$\bigoplus_{I}H_{i}\leq \bigoplus_{I}G_{i}$
ve
$\Pi_{I}H_{i}\leq \Pi_{I}G_{i}$
olur.
Örnek 8. $H\leq \Pi_{I}G_{i}$ olsun. $i_{0}\in I$ sabit bir göstergeç olsun.
$\pi_{i_{0}}:\Pi_{I}G_{i}\rightarrow G_{i_{0}}$
fonksiyonu
$\pi_{i_{0}}((g_{i})_{i}):g_{i_{0}}$
formülüyle tanımlanmış olsun. $\pi_{i_{0}}$ fonksiyonuna $i_{0}$’ıncı izdüşüm fonksiyonu denir.
$\pi_{i_{0}}(H)\leq G_{i_{0}}$
olur.
Örnek 9. Merkezleyici. $G$ bir grup ve $X\subseteq G$ olsun. O zaman
$C_{G}(X)=\{g\in G: her$ $x\in X$ $için gx=xg\}$
olarak tanımlanan $C_{G}(X)$ kümesi $G$’nin bir altgrubudur. (Bkz. sayfa 26, Alıştırma 4) Bu altgruba $X$’in merkezleyicisi adı verilir.
Örnek 10. Normalleştirici. Eğer $G$ bir grup ve $X\subseteq G$ ise,
$X^g=\{x^g:x\in X\}=\{g^{-1}xg: x\in X\}$
olarak tanımlansın. O zaman,
$N_{G}(X)=\{g\in G:X^g=X\}$
kümesi $G$’nin bir altgrubu olur. Bu altgruba $X$’in normalleştiricisi adı verilir. (Uygulamada genellikle $X$ bir altgrup olur.)
Örnek 11. $X$ bir küme ve $Y\subseteq X$ olsun.
$\{g\in Sym$ $X:g(Y)=Y$
ve
$\{g\in Sym$ $X:her$ $y\in Y$ $için$ $g(y)=y\}$
kümeleri $Sym$ $X$’in altgruplarıdır. Eğer $Z\subseteq X$ ise,
$\{g\in Sym$ $X:ya$ $g(Y)=Y$ $ve$ $g(Z)=Z\}$
ve
$\{g\in Sym$ $X:ya$ $g(Y)=Y$ $ve$ $g(Z)=Z$ $ya$ $da$ $g(Y)=Z$ $ve$ $g(Z)=Y\}$
altkümeleri de $Sym$ $X$’in altgrubudur.
Örnek 12. Eğer $\{g\in Sym$ $X$ ise, $g$, $X$’in altkümeler kümesi olan $\wp (X)$ kümesi üzerinde bir etkisi vardır: $A\subseteq X$ için
$\tilde{g}(A)=\{g(a):a\in A\}$
olsun. O zaman $\tilde{g}\in Sym$ $\wp(X)$ olur ve $g\mapsto \tilde{g}$ fonksiyon her $g, h\in Sym$ $X$ için
$\tilde{gh}=\tilde{g}\tilde{h}$
eşitliğini sağlayan $Sym$ $X$’ten $Sym$ $\wp (X)$’e giden birebir bir fonksiyondur. Böylece $g$ elemanını $Sym$ $\wp (X)$ grubunun bir eleman olarak da görebiliriz.
Örnek 13. $G$ bri grup ve $a, b\in G$ olsun. $H$ kümesi $a, b, a^{-1}, b^{-1}$ elemanlarının her türlü çarpımlarından oluşan küme olsun. Örneğin,
$a^4b^2a^{-3}b^5a,$ $b^3a^2b^{-4}a^7b^8a^{-7}\in H.$
(Tabii bu elemanlar eşit olabilirler, örneğin grup değişmeliyse eşşittirler.) $H$ kümesi bir altgruptur.
Bu yaptığımız $a, b, c$ elemanlarıyla ya da sonsuz sayıda elemanla da yapabiliriz.
Örnek 14. Bir grupta her altgrup kümesinin kesişimi bir altgruptur.
Örnek 15. Bir altgrubun da altgrupları vardır. Ama bir grubun bir altgrubunun altgrupları grubun altgruplarıdır elbette. Yani $C\leq B$ ve $B\leq A$ ise $C\leq A$ olur.
Örnek 16. [$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$’nin Altgrupları ]. Bu uzun örnekte $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ grubunun altgruplarını sınıflandıracağız. $H\leq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ olsun.
$A=\{x\in \mathbb{Z}:bir$ $y\in \mathbb{Z}$ $için$ $(x,y)\in H$
tanımını yapalım. ($A$, $H$’nin birinci izdüşümüdür.) $A$’nın $\mathbb{Z}$’nin bir altgrubu olsuğunu kanıtlamak zor değil. Demek ki Teorem 1’e göre, bir ve bir tek $n\in \mathbb{N}$ doğal sayısı için
$A=n\mathbb{Z}$
olur. Tanıma göre
$H\leq A \times \mathbb{Z}=n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$
olmalı. Ayrıca
$B=\{y\in \mathbb{Z}:(0,y)\in H\}$
tanımını yapalım. $B\leq \mathbb{Z}$ olduğundan (kanıt kolay), bir ve bir tek $k\in \mathbb{N}$ doğal sayısı için
$B=k\mathbb{Z}$
olur. Demek ki
$H\cup (\{0\}\times \mathbb{Z})=\{0\}\times B=\{0\}\times k\mathbb{Z}.$
Buradan, eğer $n=0$ ise,
$H\leq \{0\}\times \mathbb{Z}$
ve
$H=\{0\}\times B=\{0\}\times k\mathbb{Z}=\mathbb{Z}(0,k)$
elde ederiz. Bundan böyle $n>0$ olsun.
$n\in A$ olsuğundan, öyle bir $m\in \mathbb{Z}$ vardır ki
$(n,m)\in H$
olur. Böyle bir $m\in \mathbb{Z}$ sabitleyelim. Şimdi $H$’den herhangi bir $(x,y)$ elemanı seçelim. $x$’i $n$’ye bölelim: Öyle bir $q, r\in \mathbb{Z}$ bulunur ki,
$x=nq+r$ ve $0\leq r <n$
olur.
$(x,y)-q(n,m)\in H$
ve
$(x,y)-q(n,m)=(x-qn,y-qm)=(r,y-qm)\in H \leq n\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$
olduğundan $r=0$ olmak zorunda. Demek ki,
$(x,y)-q(n,m)=(0,y-qm)\in H\cup (\{0\times \mathbb{Z}\}),$
yani bu eleman $\{0\times k\mathbb{Z}\}$ kümesinde. Dolayısıyla bir $z\in \mathbb{Z}$ tamsayısı için
$(x,y)-q(n,m)=(0,kz)=z(0,k)$
olur. Buradan da
$(x,y)=q(n,m)+z(0,k)$
çıkar. Demek ki
$H\leq \mathbb{Z}(n,m)+\mathbb{Z}(0,k).$
Diğer yandan, $(n,m), (0,k)\in H$ olduğundan,
$\mathbb{Z}(n,m)+\mathbb{Z}(0,k)\leq H$
içindeliği bariz. Böylece $n\in \mathbb{N} \\ \{0\},k\in \mathbb{N}$ ve $m\in \mathbb{Z}$ için
$H=\mathbb{Z}(n,m)+\mathbb{Z}(0,k)$
eşitliğini kanıtlamış olduk. Ancak bulunan $n,m,k$ sayıları biricik olmayabilir. Bu sayılar üzerindeki koşulları daha da kısıtlamak amacıyla devam edelim. Eğer $k=0$ ise $H=\mathbb{Z}(n,m)$ olur ve biriciklik konusunda bir sorun yaşanmaz. Ama eğer $k>0$ ise, $m$’yi $k$’ya bölelim ve $m=kq_{1}+r_{1}$ ve $0\leq r_{1}<k$ önermelerini sağlayan $q_{1},r_{1}\in \mathbb{Z}$ bulalım.
$(n,m)=(n,r_{1})+q_{1}(0,k)\in \mathbb{Z}(n,r_{1})+\mathbb{Z}(0,k)$
olduğundan
$H=\mathbb{Z}(n,m)+\mathbb{Z}(0,k)\leq \mathbb{Z}(n,r_{1})+\mathbb{Z}(0,k)$
olur. Ama
$(n,r_{1})=(n,m)-q_{1}(0,k)\in H,$
dolayısıyla
$\mathbb{Z}(n,r_{1})\leq H$ ve $H=\mathbb{Z}(n,r_{1})+\mathbb{Z}(0,k)$
olur. Ama
$(n, r_{1})=(n,m)-q_{1}(0,k)\in H,$
dolayısıyla
$\mathbb{Z}(n,r_{1})\leq H$ ve $H=\mathbb{Z}(n,r_{1})+\mathbb{Z}(0,k).$
Aşağıdaki teoremin yarısını kanıtladık:
Teorem 4. $H\leq \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ olsun. Aşağıdakilerden biri ve sadece biri geçerlidir:
i. Bir ve bir tek $k\in \mathbb{N}$ için
$H=\mathbb{Z}(0,k)$
olur.
ii. Bir vr bir tek $0\neq n\in \mathbb{N}$ ve $m\in \mathbb{Z}$ sayı çifti için
$H=\mathbb{Z}(n,m)$
olur.
Kanıt: Varlık kısmını biraz önce kanıtladık. İlk iki şıkkın biriciklik kısmı kolay ve okura bırakılmıştır. Üçüncüsündeki de çok zor değil. Eğer koşulları sağlayan $(n,m,k)$ ve $(n_{1},m_{1},k_{1})$ üçlüleri için
$\mathbb{Z}(n,m)+\mathbb{Z}(0,k)=\mathbb{Z}(n_{1},m_{1})+\mathbb{Z}(0,k_{1})$
olursa, o zaman kolayca görüleceği üzere $(0,k)$ ve $(0,k_{1})$ birbirinin iki katı olmak zorunda (çünkü $n$ ve $n_{1}\neq 0$). Buradan da $k=k_{1}$ çıkar. Aynı şey $n$ ve $n_{1}$ için de geçerlidir. Demek ki $n=n_{1}$. Son olarak eksik kalan $m=m_{1}$ eşitliğini kanıtlayalım.
Bir $x,y\in \mathbb{Z}$ için
$(n,m)=x(n_{1},m_{1})+y(0,k_{1})$
$=x(n,m_{1})+y(0,k)$
$=(xn,xm_{1}+yk)$
olsuğundan, $x=1$ ve $m=m_{1}+yk$ olmalı. Ama
$m\in \{0, 1, …, k-1\}$
içindeliği $y=0$ verir. Demek ki $m=m_{1}$. $\Box$
Alıştırmalar
1. $G$ bir grup ve $H$ ve $K$ iki altgrup olsun. Eğer $K\subseteq H$ ise $K\leq H$ olduğunu kanıtlayın.
2. $G$ bir grup ve $A, B\leq G$ olsun. $A\cup B$ kümesinin bir altgrup olması için ya $A$’nın $B$’yi ya da $B$’nin $A$’yı içermesi gerektiğini kanıtlayın. Üç altgrup için bu doğru değiildir.
3. $G$ bir grup olsun ve her $n$ doğal sayısı için $H_{n}\leq G$ olsun.Eğer her $n$ için $H_{n}\leq H_{n+1}$ ise,
$\cup_{n}H_{n}\leq G$
oldupunu kanıtlayın.
4. Yukarıdaki alıştırmayı genelleştirebiliriz. $G$ bir grup ve $(H_{i})_{i\in I},G$’nin bir altgrup ailesi olsun. Eğer her $i, j\in I$ ve her $h_{i}\in H_{i}$ ve $h_{j}\in H_{j}$ için
$$h_{i}h_{j}\in H_{k}$$
içindeliğini sağlayan bir $k\in I$ varsa, $\cup_{i\in I}H_{i}$ kümesinin bir altgrup olduğunu kanıtlayın.
5. $Sym$ $3$ grubunun tüm altgruplarını bulun.
6. $Sym$ $4$ grubunun tüm altgruplarını bulun.
7. $\mathbb{Q}$ grubunun maksimal bir altgrubunun olmadığını kanıtlayın. (Not: Maksimal altgrup, maksimal özaltgrup anlamına gelir. Bu alıştırma kolay olmayabilir.)
8. Öyle bir $G$ grubu ve bu grubun öyle
$H_{1}> H_{2}> …$
altgruplarını bulun ki
$\cap_{n} H_{n} =1$
olsun. (Buradaki $1$, $\{1\}$ anlamındadır.)
9. $H\leq G$ ve $x\in G$ olsun. $x^{-1}Hx$ kümesinin bir altgrup olduğunu kanıtlayın.
10. $H\leq G$ ve $x\in G$ olsun. $xH$ kümesinin altgrup olması için $x$’in $H$’de olmasının yeter ve gerek koşul olduğunu kanıtlayın. (Bu durumda $xH=H$ olur.)
11. $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ grubunun altgruplarını Örnek 16’daki ya da Teorem 4’teki gibi tamsayılarala sınıflandırın.
12. $1$ ve $G$’den başka altgrubu olmayan bir grubun sonlu olduğunu ve eleman sayısının $1$ ya da asal sayı olduğunu kanıtlayın.
13. $G$ bir grup ve $X\subseteq G$ olsun.
$\{x_{1}^{\epsilon_{1}} … x_{n}^{\epsilon_{n}}: n\in \mathbb{N}, x_{i}\in X,\epsilon_{i}=\pm 1\}$
kümesinin bir altgrup olduğunu gösterin. Bu altgrubun
$\{x_{1}^{\epsilon_{1}} … x_{n}^{\epsilon_{n}}:n\in \mathbb{N},x_{i}\in X, \epsilon_{i}\in \mathbb{Z}\}$
kümesine eşit olduğunu gözlemleyelim. Sabit her $k>0$ doğal sayısı için
$\{x_{1}^{\epsilon_{1}} … x_{n}^{\epsilon_{n}}:n\in \mathbb{N}, x_{i}\in X,\epsilon_{i}=\pm 1,\sum_{i}\epsilon_{i}\equiv 0$ $mod k\}$
kümesinin bir altgrup oduğunu kanıtlayın.
14. $G$ bir grup ve $H \leq G$ olsun. Her $a, b\in G$ için, $aH\cap bH=\varnothing$ ya da $aH=bH$ olduğunu kanıtlayın. Ayrıca her $a, b\in G$ için aşağıdaki önermelerin eşdeğer olsuğunu kanıtlayın:
i. $aH=bH.$
ii.$aH\cap bH\neq \varnothing.$
iii.$b^{-1}a\in H.$
iv.$a^{-1}b\in H.$
v.$a\in bH.$
vi. $b\in aH.$
15. $G$ bri grup ve $a\in G$ olsun. Hangi Koşullarda $\{x\in G:x^2\neq a\}$ bir altgrup olur? (Bu alıştırma kolay olmayabilir. x^2 \neq a yerine x^2ax^3\neq b gibi koşullar alanırsa çok çok daha zor olabilir.)
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 2013 yılı II. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Muhammet Boran‘a ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz.
