Yıl: 1994-1
Yazar: Alp Eden
Kaos Teorisi Düzene Karşı mı?
1980’li yıllar gerek matematik biliminde gerekse matematiği yoğun olarak kullanan fizik, kimya ve biyoloji gibi bilim dallarında büyük bir patlamaya sahne oldu. Bir yandan doğanın yeni geometrisi olduğu iddası ile fraktal geometri diğer yandan da Newton’un paradigmasını yıktığını iddia eden yeni bir mekanik anlayışı ile kaos teorisi elele verip yeni bir bilimin doğuşunu müjdelediler.$^1$ Bilgisayarlarının yardımı ile yüzlerce bilim kadını/adamı ekranlarının başında hayranlıkla bazı karmaşaları gözlemlediler. Bu karmaşıklıklar değişik adlarla biliniyor günümüzde, ama onları görenlerin genellikle çıkarımları aynı: “tamam, bu sistem kaotik”. Düzene merakları ile bilinen matematikçilerin bu arapsaçına benzer şekillerden böylesine keyif almalarını anlamak benim gibi bir matematikçi için güç! Yine de bu yazıda, son kertede insani bir uğraş alanı olan matematik biliminin ve matematikçilerin kaos teorisine nasıl sarıldıklarını ve sonunda artık doyum noktasına ulaşmakta olan bu teorinin kısa bir tarihini yazmanın zamanı geliyor artık. Kaos teorisi ile ilgili genel bir tanıtım yazısı umanları hemen uyarayım, okuyacakları ne bit tanıtım ne de bir savunu yazısı, olsa olsa matematik dünyasında artık kabul görmüş bu bilgi edinim alanının kısıtlı bir anatomisi. Kaos teorisinin yakın tarihçesi ile 1970’li yıllarda parlak fakat kısa süreli bir yaşamı olan Katastrof teorisinin tarihçesi arasında şaşırtıcı benzerlikler var. Bir yandan bu benzerlikleri ortaya koymaya çalışırken diğer yandan da bazı farklarına değineceğim. Kaos ve Katastrof’un dışında yazının üçüncü gizli kahramanı da bilgisayarlar.
Kaos Nedir?
Gündelik kullanımdaki kaos ile günümüzde matematikçi ve fizikçilerin bu kelimeye yükledikleri anlam arasında önemli bir fark var. Bazı kozmoloji teorilerinde evrenin başlangıcı sayılan düzensizliğe kaos adı verilmiş, sözlüklerde ilk anlamı da bu kaos’un. Düzen işte bu ilk düzensizliğin, karmaşanın içinden ortaya çıkıyor. Termodinamiğin ikinci yasası da aynı tür bir düzensizlikten söz ediyor. Rudolf Clausius’un 1854’te ortaya attığı ikinci yasaya göre tüm doğal süreçler entropi üretir. Entropi düzensizliğin ve karmaşasnın bir ölçüsüdür.$^2$ Boltzmann’ın 1873’te öne sürdüğü istatiksel yorum bile termodinamiğin ikinci yasasının geniş kabulünü sağlamadı. Her ne kadar 20. yüzyılda istatiksel mekanikte büyük ilerlemeler olmuşsa da, gerek 1960’larda Ilya Prigogine’nin denge durumu dışındaki sistemlerin istatiksel mekaniği üzerine çalışmaları, gerekse David Ruelle’in 1970’li yıllarda termodinamiğin matematiksel teorisine yaptığı katkılar bu önemli teorinin henüz tam bir berraklığa kavuşmadığını gösteriyor.$^3$
Kaos kelimesinin uzayda düzensizlik anlamı uzaydaki parçacıkların keyfi bir biçimde dağılmasını açıklamaya yönelik. Bu anlamda, düzen parçacıkların bir yerde öbekleşmiş olmasına deniyor. Dinamik sistemler teorisi ise parçacıkların tümüne bakmak yerine birkaç parçacığın zaman içinde dolanımını incelemeye çalışıyor. Amaçlarından biri de uzun zaman sonra parçacıkların yerleşeceğidenge konumunun tespiti. 20. yüzyılın başında Fransız matematikçi Henri Poincaré üç cisim probleminin çözümlerini incelemeye koyuluyor. Newton mekaniğine uygun olarak hareket eden üç cisim düşünelim, bu üç cismin belirli bir zaman sonunda hangi konumda bulunacağını soran probleme üç cisim problemi deniyor. Problemin matematiksel yönü, doğrusal olmayan bir adi diferansiyel denklem sisteminin çözümünü içeriyor. Analitik bir çözüm elde etmenin güçlüğünün yanı sıra Poincaré’nin denediği asimtotik analiz de, iyi sonuçlar vermemiş. Poincaré’nin gözlemi analizinin ilk koşullarının (ilk değer problemini belirlemek için) değerlerine hassas bir biçimde bağlı olması.$^4$ Bir başka deyişle böylesi sistemlerde ilk koşullardaki ufak bir sapma, sistemin uzun zaman içindeki davranış biçimini büyük ölçüde etkiliyor. David Ruelle bu özelliğe, kaos’un fonksiyonel tanımı diyor. Eğer bir sistemin ilk koşullarındaki ufak bir değişim uzun zaman sonrası koşullarda üstel bir ayırma yol açıyorsa o sistem kaotiktir. Görüldüğü gibi kaos’un bu ikinci anlamı daha çok sistemin zaman içinde davranışının önceden tahmin edilememesi ile ilgili, yani uzay içinde düzensizlik yerini zaman içinde düzensizliğe bırakmış. Kolay ifade edilebilir olması dışında bu tanım matematikçileri tatmin etmekten çok uzak, yerine önerilen daha matematiksel tanımlar ise geniş bir kabul görmedi henüz.$^5$ Kaos’un resmi ve genel kabul görmüş bir tanımının olmamasının temel bir nedeni kaotik olduğu kabul edilen Lorenz sistemi ve Henon sistemi gibi dinamik sistemlerin matematiksel tanımlara uyduklarının ispat edilememesi. Uzun süren bir çaba sonunda, zor soruları çözmesi ile ünlü İsveçli matematikçi Lars Carleson, Henon sisteminin çoğu koşul altında kaotik olduğunu ispat etti.$^6$ Eminim bu haber birçok matematikçi için ferahlatıcı olduğu kadar, diğerleri için de ürkütücü. Ekranlarının başında saatte üç teorem “ispatlayan” matematikçiler için yoksa rahatlık dönemi bitti mi? Daha açık konuşamk gerekirse, Carleson’un ispatıyla birlikte kaos teorisinde geçerli matematiksel açıklamalar sadece matematiksel ispatlara mı indirgendi? Tam değil.
Bilgisayarlar ve Matematiksel İspat
Bilgisyarların matematiksel ispatlarda kullanılması çok yeni değil. Örneğin, 1977 yılında M. Appel, W. Haken ve J. Koch dört-renk problemini bilgisayar yardımı ile çözmüşler ve verilen herhangi coğrafi bir haritadaki ülkeleri dört ayrı renge boyayarak komşu ülkelerin değişik renklere sahip olabileceğini ispat etmişler.$^7$ Hem tüm olası haritaların dökümünde, hem de değişik durumların boyanmasında bilgisayara başvurulması, tüm ispatların temel prensiplerden (aksiyomlardan) tümevarımla yapıldığına inanan matematikçileri özellikle rahatsız etti. Her ne kadar matematiksel ispata çok yönlü bakan felsefeciler olsa da, onlar azınlıkta kalıyor.$^8$ Yine de son yıllarda matematik dünyasında gözle görülür bir tolerans belirmiş durumda, bilgisayarların kullanımına karşı. “İspatlı” neticeler yayınlaması ile ünlü Amerikan matematikçiler derneğinin yayın organı Bulletin’in, Ocak 1992 sayısında, editörler özrü andırır bir giriş yazısında şöyle diyorlar:$^9$
“On beş yıl önce, Katastrof teorisinin olağanüstü uygulanımları ile ilgili ateşli bir tartışma vardı, günümüzde ise benzer bir tartışma, bazılarının fazlasıyla satışa ve popülerliğe yönelik gördükleri “fraktaller” ve “kaos” üzerine var. Başka canlı bir tartışma konusu da matematik ile teorik fizik arasında yükselip alçalan aşk hikayesinin yeniden gündeme gelmesi ile ortaya çıktı. Matematiğin, fiziksel dünya ile ilgili yeni sezgiler elde etmek için bir alet olarak kullanıldığı durumlarda değişik matematiksel ispat standartları kullanmayı öğrendik. Fakat formal olmayan ya da yarı-formal olan fiziksel metotlar ile bizim matematiksel dünyamızla ilgili yeni sezgiler öneren makaleleri değerlendirirken nasıl standartlar uygulamalıyız, özellikle o sezgiler bugünkü temelli (rigorous) matematiğin elinin uzanamayacağı bir yerde ise?
Özellikle, böylesi sorular sadece mantıksal prensiplerle cevaplandırılmayacağı için, inanıyoruz ki matematikçiler için onlarla yüzleşmek önemlidir. Rasyonel tartışmanın farklılıkları tümüyle ortadan kaldırmadığı durumlarda bile sorunlara açıklık getirilebilir.”
Gerek giriş yazısının dramatikliği, gerekse de senelerdir okuduğum Bulletin’da böyle bir giriş yazısında ilk defa rastlanıyor olmam, yazının önemini yeterli derecede açıklamıyor. 1992 yılının başında yayınlanan bu yazı, belki de yeni bir çağın başlangıcını haberliyor matematikçiler için. Nasıl bir çağ mı? Bigisayar çağı. Ekim 1992 sayısında Bulletin yeni bir ‘ilk’ ile karşımıza çıkıyor: bu kez bilgisayarın kısıtlı ve sınırlı olarak kullanıldığı bir ispat ile S.P. Hastings ve W.C. Troy Lorenz sisteminin kaotik olduğuna ilişkin ilk yarı-resmi neticeyi ilan ediyor. Kendi ispatlarının matematiksel resmiliği konusunda kaygılarını şöyle dile getiriyorlar.$^{10}$
“…Ayrıca, kaotik bir yörünge olup olmadığı sorusunu, prensipte, açık bir parametre değerleri kümesi için kapalı aralık aritmetiği gibi temelli nümerik analiz teknikleri ile incelenebilecek bir soruya indirgedik. Başka bir deyişle, ikinci teoremimizin varsayımlarının temelli gerçekleşmesi için gerekli hesaplama süresi sonlu, böyle bir koşulun pratik olup olmadığı ise şu anda cevaplandırılmamış bir soru olarak kalıyor. Bilgisayar yardımı ile yapılan ispatlar genellikle anlayışımızda bir boşluk bırakırlar, ama birinci ve ikinci teoremlerimizle bu boşluğun eskiye nazaran daha ufaldığına inanıyoruz.”
Sanırım, Troy ve Hastings’in “ekran matematikçileri”nden farkları, bilgisayardan beklediklerini gayet somut bir biçimde varsayımlar halinde ifade etmeleri ve bu varsayımların doğruluğu dışında ispatlarında kullanmamaları.$^{11}$ Varsayımlarının tümüyle matematiksel bir ispatı henüz yapılmammış olmasına rağmen, imkansız da değil böylesi bir ispat. Bilgisayarların ispat yapıp yapamayacağı, hem beni hem de böylesi bir giriş yazısını aşıyor. Roger Penrose’un benzeri bir sorunsal üzerine 600 sayfalık bir kitap yazdığı gözönüne alınırsa, benim özrüm de daha kabul edilebilir boyutlara iner.$^{12}$
Katastrof Teorisi ve Kaos Teorisi
1970’li yılların sonu bir teorinin kayboluşuna ve yeni bir teorinin doğuşunu müjdeliyordu. Kaybolan teorinin adı Katastrof teorisi. 1972 yılında Rene Thom sonradan cep kitabı alma şerefine erişmiş o nadir matematik kitaplarından biriyle teorinin ana hatlarını ortaya koydu.$^{13}$ Enerji kaybeden mekanik sistemlerde, sistem parametrelerinde yapılan ufak bir değişim, sistemin genel davranışını dramatik bir biçimde değiştirebiliyor. Böylesi ani değişimlerin kataloglanmasını ve tüm olası biçimlerinin listesini, katastrof teorisi bize sunuyor, ya da öyle bir iddiası var.$^{14}$ Daha sonra birçok matematikçi tarafından da benimsenen teori Newton’dan sonra matematikte yaşanan ilk devrim diye lanse edilmeye başlandı. Süreklilik kavramı, sıçramalar ve nitelik değişimlerinin de anlatılabileceği biçimde genişleten bu teori kalbin atışına, potik teorisine, dilbilimine, psikolojiye, ekonomiye, hidrodinamiğe, jeolojiye, elementer parçacık teorisine, beynin çalışma biçiminden hapisanelerdeki isyanların modellenmesine kadar her türlü teoriye uygundu. Birkaç sene içinde, ön çalışmalar olarak sunulan modellerin arkası gelmeyince, içerdiği matematik tekillik teorisinin içinde eritilerek asıl ismi anılmaz oldu. Tekillik teorisinin önemli isimlerinden V.I. Arnold yine bir cep kitapçığından ilginç bir biçimde Katastrof teorisini özetler.$^{15}$ 1980’lere gelindiğinde artık Katastrof teorisi adı altında yayınlanan bazı kitaplar bir de savunu bölümü içeriyordu, uygulamalarının ilk başlarda savunulduğu kadar güçlü olmadığını anlayan teoriciler “uygulama” kavramına açıklık getirmeye çalışıyorlar, bilimsel çalışmalarının nitelği ile ilgili yorumlarda bulunuyorlardı, işte P.T. Saunders’ten bir pasaj.$^{16}$
“Bilimde bilginin ve açıklamanın niteliği hakkkında kapsamlı bir tartışma açıkça bu kitabın sınırları dışında, fakat unutmamalıyız ki bu konuda temel açıklığa kavuşmamış, belki de kavuşmayacak, problemler var. Bu problemlerden katastrof teorisi içinde çalışan bizler daha farkında olabiliriz çünkü teori o kadar yeni ki henüz teoriyi iyi kullanabilmek için tekniklerimizi geliştirme aşamasındayız, fakat aynı zorlukları her bilimde görmek mümkün eğer yeteri derecede yakından bakarsak; hatta Lakatos’un (1976) düşündürücü kitabında, “İspatlar ve Çürütmeler” ileri sürdüğü gibi matematikte bile. Katastrof teorisini hiçbir teorinin gerçekleştiremeyeceklerini gerçekleştirmediği için eleştirmek insafsızlık.”
Yukarıdaki alıntıda iki ilginç nokta var, birincisi katastrof teorisini matematiksel bir teori olarak görmemek, ikincisi de Lakatos’un tezini biraz keyfi olarak yorumlamak.$^{17}$ 1984 yılında, İngilizcesi yayınlanan cep kitapçığında Arnold Katastrof teorisinin muammasını şöyle aralamaya çalışıyor:$^{18}$
“Tekillik teorisinin güzel neticeleri katastrof teorisinin muammasına dayanmıyor, şansımıza. Fakat, tekillik teorisinde, bütün matematiksel nesneler ve teoriler, ilk bakışta birbirlerinden bağımsız gözükseler de, sonunda birbirleri ile sıkıca ilişkili çıkıyorlar.”
Gerek Saunders gerekse Arnold ilginç neticeler üretmiş bu teoriyi tümüyle terketmek istemiyorlar. Oysa ki 1980’li yılların başında Katastorf teorisinin iddialılığını, parlak söylem biçimini ödünç alan başka bir teori kapıda bekliyordu: Kaos teorisi.$^{19}$ Bulletin’dan yaptığım ilk alıntıda Kaos teorisi ile Katastrof teorisi arasındaki pazarlama tekniklerinin benzerliğine dolaylı bir atıf var. Benzer bir eleştiriye sadece Katastrof teorisi bağlamında Arnold’un kitabının girişinde de rastlamak mümkün. Yüzeysel bir benzerlik olsa da daha 1970’li yılların sonunda eleştirmenliğini yapan bazı isimlere 1980’li yıllarda bu sefer Kaos teorisinin şemsiyesi altında rastlıyoruz.$^{20}$
1971 yılında, David Ruelle ve Floris Takens “Çalkantının Doğası Üzerine” adlı bir makale yayınladılar ve o zamana kadar Çalkantı teorisinin temel direklerinden olan bir analize karşı çıktılar.$^{21}$ 1940’lı yıllarda Rus fizikçi L.D. Landau’nun fiziksel prensiplere ve Alman matematikçi Eberhard Hopf’un matematiksel olarak ortaya attıkları çalkantının başlangıcı teorisine göre sıvıların akışında beliren çalkantıları anlamak için yeteri kadar büyük bir $k$ için $k$-yarı-periyodik bir hareket bulmak yeterliydi.$^{22}$ Ruelle ve Takens’in önerdikleri alternatif teoriye göre ise böyle bir $k$ sayısı bulmak imkansızdı. Yerine, sıvıların akışının sonlu ve disipatif bir dinamik sistemin analizi ile açıklanabileceğini savundular. Özellikle, böylesi dinamik sistemlerde görüldüğünü iddia ettikleri tuhaf çekenlerin sonlu bir uzayda (yani bir Öklid uzayında) tanımlanmış bir adi diferansiyel denklemler sisteminin analizine indirgenebileceğini iddialarını destekler nitelikteydi.$^{23}$ Başlangıçta tuhaf çekenler büyük bir ilgiyle karşılanmadı. Bir yandan formal bir tanımının olmaması, diğer yandan anlaşılmamış bazı çekenlere, örneğin Loranz denklemlerinin yarattığı kelebeğe benzetilen Lorenz çekenine, bir açıklık getirmiyor olması bu kavrama sıcak bakılmasını engelledi. Oysa yine 1970’li yıllarda, Mandelbrot birçok garip resim biriktiriyor ve bu garip figürler hakkında konuşmalar veriyordu. Değişik geometrik simetri özellikleri bulunan bu kümelere Mandelbrot fraktal adını vermişti, kırılmışlığı ve süreksizliği vurgulamak amacıyla. $^{24}$ 1974 yılında bir yandan Mandelbrot gelişmiş çalkantılı akışların açıklanmasında fraktal kümelerin nasıl bir rol oynadığını açıklayadursun, Fransız fizikçi, matematikçi Uriel Frisch dinamik sistemler teorisi ile çalkantılar hakkında nasıl açıklamalara gidilebileceğini öngörüyordu. Gerek tuhaf çekenler, gerekse de fraktal kümelerin çalkantı teorisine katkıları oldukça sınırlı. Amerikalı matematikçi Steven A. Orszag, Uriel Frisch ile “Physics Today”de ortakça yayınladıkları makale kaos teorisi ile çalkantıların birbirleriyle ilişkili olmalarına rağmen farklı olduklarını dikkatle vurguluyorlar.$^{25}$ Fraktal teorisinin etkileri ise söz konus sunuş yazısında etkisini sürdürmeye devam ediyor. Burada bir parantez açıp kısaca çalkantılarla ilgili genel bir bilgi sunalım.
Çalkantı Teorisi Neyle İlgili?
Kaos teorisinin temel uygulanım alanlarından biri olarak sözü geçen, matematiksel fiziğin henüz çözülmemiş sorunlarından biri olan çalkantıların niteliğinin ve doğasının açıklanması sorunu 1940’lı yıllarda Kolmogrov ve Obukhov’un önerdiği teoriden sonra büyük bir atılım yaşamadı. Bu önemli soruna ne tür bir açıklamanın çözüm teşkil edeceği de açık değil.$^{26}$ Tatmin edici bir teoriye ulaşılamayan bu konu, gündelik hayatta bile değişik biçimlerde karşımıza çıkıyor. Örneğin kahvemize kattığımız sütün karışmasına neden olan bu çalkantı, uygun durumlarda havaya bırakılan kirli gazların da dağılmasına yardımcı oluyor. Uçaklar bu tür çalkantılara sık giriyor, gemilerin ve denizaltıların da akıntılar dolayısı ile benzer çalkantıların etkisinde kaldıkları biliniyor. Eğer daha büyük çapta düşünürsek, az esintili havalarda bile dünyamızı saran atmosferin içindeki hava akımları çalkantılı.Çalkantıların doğasının anlaşılmasının gerek meteolojiye gerekse uçak sanayine ne kadar büyük bir katkısı olacağını görmek mümkün. Kısacası açıklamaya çalıştığım çalkantıların gözle görülebilir doğa olayları olduğu ne kadar belirsiz. Belirli koşullarda çalkantıların kaotik bir sistem ile modellenebileceği, arzulanan fakat hala ulaşılmamış olan bir özlem.$^{27}$
Kaos Teorisi Tükendi mi?
Kaos teorisinin çalkantıları açıklamak için kullanılmaya çalışması, bir model olarak kaotik dinamik sistemlerden yararlanma arzusunu da gösteriyor. Yoksa dinamik sistemlerde, özellikle de doğrusal olmayanlarında, sık rastlanan bu olgunun kaçınılmaya çalışan bir yanı da var. Basit mekanik sistemlerin kontrolünde dallanma teorisi yardımı ile kaotik rejimlere meydan bırakmayan parametre değerlerin ulaşarak, istenmeyen neticeler engellenebiliyor. Benim yazımda vurgulamaya çalıştığım husus ise, Ruelle’in de kitabında geniş yer ayırdığı, birçok matematikçinin büyük ümitler ile başladığı bir problemin, çözüm senaryosu ile ilgili. Problem çalkantı problemi ve çözüm senaryosu da kısmen Ruelle-Takens senaryosu adıyla bilinen senaryo. 1992 yılı biterken henüz bu konuda tatmin edici bir gelişme olmadığına inanıyorum. Elbette ki kaos teorisi elini sadece çalkantı problemine atmamış, ama diğer çabaları böylesine cesur değil. Arnold’un da kitabında açıkladığı gibi açıklanmamış muammalar ille de bir teoriyi zayıflatmaz, garip çekenler kavramının garip tarihçesi de bu olguya bir örnek. Ortaya atılmasından en az yirmi yıl sonra, esrar perdesi belki de biraz aralanmış, ama perdenin arkasında ümit edilen bulunamamış. Aynı kavrama daha önceden Katastrof teorisinin şemsiyesi altında bakmaya çalışmak benzer bir ümidini gösteriyor matematikçilerin.
Uzun yıllarıdr bu kadar ilgi görmemiş matematik bilimi gerek katastroflar, garip olan ve olmayan çekenler, rengarenk fraktaller, en basit sistemlerde görülen kaotiklere tekrar sesini duyurdu. Bu kadarcık ilgiyi çok görmemek lazım. Katastrof teorisinin tanıtım başarısı, uygulamalarındaki başarısından çok daha fazla. Fransız filozofu Lyotord bile postmodern dünyada bilimi incelerken René Thom’a ve B. Mandelbrot’a gönderme yapıyor.$^{28}$ Tabii ki alıntıladığı “uygulama”ların kabul görmemiş olduğunu bilmeden.$^{29}$ Her şeye rağmen, on beş yılı aşan ömrünü nasıl açıklamalı Kaos teorisinin? Yazımda biraz değinmeye çalıştığım gibi bilgisayarların bilim adamlarının/kadınlarının hayatlarına gündelik bir biçimde girmeleri yeni. Eskiden ufak deneylerle eğlenen bazı fizikçiler/matematikçiler artık bilgisayarlarının başında fraktal kümeler üretip, kaotik sistemlerle oynuyorlar. Bir yandan yeni bir “dünya” sunan ekran, diğer yandan da o dünyanın analizi için gerekli araçları sunuyor, işte Kaos teorisi de bu araçlardan biri şimdilik. Arizona Eyalet Üniversitesi’nde öğrencilere Kaos teorisni tanıtmak için verilen bir konuşmanın başlığı: “Kaos cidden var mı, yoksa bir bilgisayarın hayal ürünü mü?” idi. Konuşmayı dinlediğim halde henüz karar verebilmiş değilim. Yine de yeni bir düzen arayışının elçisi olarak kaos hem matematikçilerin hem de bilgisayarların “zihni”ni bir süre daha meşgul edecek galiba.$^{30}$
Notlar
$^1$ James Gleick’in popüler kitabının adı Chaos; Making a New Science. 1991’de yayınlanan Chance and Chaos adlı kitabında David Ruelle, Kaos’un sadece yeni bir paradigma olarak niteliyor.
$^2$ David Layzer, Cosmogenesis: The Growth of Order in the Universe adlı kitabında düzen ve keyfilik (randomness anlamında) hakkında ilginç gözlemlerde bulunuyor. Özellikle 40. sayfada açıkladığı oyuncak evren’in $0$ ve $1$’lerden oluşan çift-taraflı sonsuz bir dizi olması matematikçileri heyecanlandırabilir.
$^3$ Ilya Prigogine, Non-equilibrium Statistical Mechanics (1962), David Ruelle, Thermodynamic Formalism, (1978). Prigogine’nin ilginç fikirlerini popüler kitaplarda da bulmak mümkün, örneğin From Being to Becoming: Time and Complexity in the Physical Sciences (1980). Ruelle’nin istatiksel mekaniğe yaklaşımı biraz farklı, bu farkı Chance and Chaos adlı kitabının 18-20 bölümlerinde açıklıyor.
$^4$ Böyle bir gözlem 1988 yılında Fransız matematikçi Jacques Hadamard tarafından başka bir denklem sistemi için yapılmış. Konumun kısa tarihçesini Ruelle’in son kitabında bulmak mümkün.
$^5$ R. Devaney, artık üniversite giriş düzeyinde okutulan kitabında, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems (1986) ciddi bir matematiksel tanım veriyor ancak bu tanımın fazla katı olduğunu düşünen matematikçiler var. Bir sistemin kaotikliğini ispat etmek için genellikle en uygun tanım seçiliyor, tüm tanımlar birbirine eşdeğer olmadığı durumlarda da. Yazımda kaos’un açıklayıcı yönüyle ilgileniyorum, yoksa kaçınılması gereken bir durum olarak değil. Dolayısı ile, özellikle mekanik problemlerde, değişik parametre koşullarında sistemin kaotik olmasını engelleme problemleri ilginç olsa da kanun dışı, Lars Carleson’un 1966’da yayınlanan ve $log$($log$ $n$) neticesi olarak bilinen makalesi, Fourier seilerinin noktasal yakınsaması ile ilgiliydi. Daha henüz yayımlanmamış olan son neticesi ise başka bir matematikçi ile ortak çalışma ve 70-80 sayfa olduğu söyleniyor. Henon sisteminin parametreleri üzerinde tanımlanmış bir ölçüm(measure)”çoğu koşul altında” ifadesinin matematiksel içeriğini ortaya koyuyor.
$^6$ Bkz. Dipnot 5.
$^7$ Bak Illinois Journal of Mathematics (1977) 429-90 ve 490-567, ülkelerin bağlantılı olması ve sınırlarının sağladığı özellikler ayrıca açıklama gerektiriyor.
$^8$ Imre Lakatos’un, Proofs and Refutations adlı kitabında varmaya çalıştığı modelde belitler (axioms) önceden varsayılmaz ve incelenen konunun bağlamında ispat ile birlikte oluşturulur.
$^9$ AMS Bulletin, Ocak 1992, Morris W. Hirsch, Richard S. Palais, “Editors’ Remarks” 1-2. Editörlerin giriş yazısı, Bulletin’da yayımlanan iki yazı ile ilgili. Nümerik analiz ile kompleksite teorisini birleştirip en az masrafla nümerik problemlerin yaklaşık çözümlerini bilgisayar yardımı ile çözmeyi amaçlayan IBCT (bilgi bazlı kompleksite teorisi) ile ilgili iki yazı da.
$^{10}$ AMS Bulletin, Ek,m 1992. “A Shooting Approach to the Lorenz Equation”, s.298-303
$^{11}$ Bilgisayarlar özellikle dallanma teorisi gibi analitik çözümlerin çok zor olduğu konularda temel bir rol oynuyorlar. Dallanma noktalarının(bifurcation points) yaklaşık konumları bilgisayarlar yardımı ile elde ediliyor. Dallanma teorisinin kaos teorisi için önemi göz önüne alınırsa bilgisayarların kısıtlı kullanımının kaçınılmazlığı iyice ortaya çıkıyor. Benim ekran matematikçileri diye biraz da alaya aldığım, matematiksel analizden kaçınarak ekranlarının arkasına gizlenen işte bu insanlar. Yoksa, Troy ve Hastings’in makalesinin Bulletin’da yayımlanması da bilgisayarla elde edilecek bilgilerin kaçınılmazlığının bir idrakı matematik dünyası içinde.
$^{12}$ İngiliz fizikçi Roger Penrose, popüler kitabına (The Emperor’s New Mind) bir soru ile başlıyor: “bilgisyarın zihni olabilir mi?” ve bilinci sadece bir hesaplamayla ortaya çıkamayacağını iddia ediyor. Burada, ama bilgisayarlar ispat yapıyorlar diye düşünenleri ispat edilenlerin”yeni” neticeler olmadığını hatırlatayım.
$^{13}$ René Thom, Stabilite Structurelle et Morphogenese, (1972).
$^{14}$ Katastrof teorisinin değişik bilimlere ani bir etkisi oldu. Ivar Ekeland’ın ödül kazanmış popüler kitabında (Mathematis and the Unexpected, Univ. of Chicago Press, 1988) geometrinin matematiğe geri dönüşüne bir başlangıç teşkil ettiğini söylüyor. Aynı kitapta hem katastrof teorisinin bir eleştirisi ve savunusunu da bulmak mümkün. Katastrof teorisinin ne yapamadığı konusunda oldukça net açıklamalar yapmış, yine de Kepler ile Thom’u kıyaslaması ona verdiği önemi gösteriyor.
$^{15}$ V.I. Arnold’un Catastrophe Theory (1984) Springer-Verlag, yazımda gerek kaos teorisinin tanımını gerekse katastrof teorisinin tanımını bulamayanlar artık rahatsız olmuş olabilirler. Arnold’un kitapçığı da bu kpnuda açık değil. Tekillik teorisinin tanımı kolay olmasına rağmen, aynı şeyi katastrof teorisi için söylemek olası değil.
$^{16}$ P.T. Saunders, An Introduction to Catastrophe Theory (1980).
$^{17}$ Katastrof teorisini bir meta-teori olarak görmek Ivar Ekeland’ın da paylaştığı bir tavır. Diğer yandan, Lakatos’un İspatlar ve Çürütmeler kitabının alınan metindeki yorumunda sanki matematikte aksiyomların yeni konusunda önemli sorular sorduğunu ve bir teori gelişirken tekrar tekrar aksiyomların gözden geçirilip değiştirilebildiğine değindiğini anımsatalım.
$^{18}$ V.I Arnold, Catastrophe Theory, s.76.
$^{19}$ Arnold’a göre(ae. s.26) Katastrof teorisinin önemli bir katkısı çekenler (attractor) kavramı ve onların dallanma analizini matematik dünyasına kazandırması. Garip çekenlerden de altıncı bölümde bahsediyor Arnold: Ruelle ve Takens’in makalesini de anmayı ihmal ediyor. Sanırım böyle bir yorum biraz da Arnold’un Katastorf teorisinin etki alanını genişletmeye çabalamasından kaynaklanıyor. Garip çekenler, kaos teorisi içinde de bir muamma olarak belirmiş oysa.
$^{20}$ Örneğin Guckenheimer, 1978 yılında Mathematical Intelligencer’da çıkan makalesinde, “Catastrophe Controversy”, teorinin bir özetini sunarken, 1980’li yıllarda kaos teorisinin en ateşli savunucuları arasına katılıyor. Benzer bir durum Floris Takens için de geçerli, David Ruelle ile yaptığı çalışmaya sonradan değineceğiz.
$^{21}$ David Ruelle, 1971’de Communications in Mathematical Physics dergisinde yayımladığı makale ile ilgili bazı bilgileri ve makalenin kaderini Chance and Chaos adlı kitabında anlatıyor. Aynı kitapta, ne kaosun ne de çalkantı (turbulence)’nın tatmin edici bir tanımının olmaması düşündürtücü. Sadece “çalkantınıın başlangıcı” (onset of turbulence) adıyla bilinen kısmına değinilmiş.
$^{22}$ Tipik bir $k-yarı-periyodik$ fonksiyona en basit örnek $f(x_1,x_2,…, x_k)$$=$($sin$$\frac{2\pi x_1}{L_1}$) $.$ ($sin$$\frac{2\pi x_2}{L_2}$) $\cdots$ ($sin$$\frac{2\pi x_k}{L_k}$ .Örneğin $k=1$ için, standart periyodik fonksiyonları elde ederken, $k=2$ için simit yüzeyi (toru) üzerinde tanımlanmış fonksiyonlar elde ediyoruz. Landau’nun teorisinin güzel bir açıklaması Landau ve Lifshitz’in Fluid Mechanics adlı kitabında bulmak mümkün (sf. 103, the onset of turbulence).
$^{23}$ Bu konuda yazılmış makale sayısı oldukça fazla. Genel bir giriş yazısı J.P. Eckmann ve D. Ruelle’in Reviews of Modern Physics, v.57, no.3, Temmuz 1985’te yayımlanmış “Ergodic Theory, of Chaos and Strange Attractors” yazısı yeterli. Ruelle’in genel yönünü anlamk için de Bulletin’de Temmuz 1981’de yayımlanmış “Differentiable Dynamical Systems and the Problems of Turbulence” makalesine bakılabilir.
$^{24}$ Bu güzel figürlere, felsefi açıklamalara ve yorumlara Doğanın Fraktal Geometrisi kitabında rastlamak mümkün. Son yıllarda, birbirinden güzel resimlerle fraktal kümeleri anlatan bir sürü kitap basıldı. Örneğin M. Barnsley’in Fractals Everywhere kitabı hem matematiğini anlatmaya çalışıyor, hem de güzel şekillerin nasıl elde edilebileceğini.
$^{25}$ U.Frsich ve S.A. Orzsag “Turbulence: Challanges for Theory and Experiments“, Physics Today.
$^{26}$ Bkz. Dipnot 25.
$^{27}$ Yine Physics Today’ın Haziran 1988 sayısında Anil Khurana’nın Şikago deneyini açıklayan yazısından, kaos ile yumuşak çalkantı arasına bir de geçiş bölgesi koyarak, bu iki akış biçimini dikkatle ayrılmış.
$^{28}$ I.F Lyotard, Postmodern Durum (1990), Ara Yayıncılık, s.74-77.
$^{29}$ I. Ekeland, deneysel bilimlerde katastrof teorisinin eleştiriyle karşılaşmamış bir uygulamasının olmadığını vurguluyor (s.102).
$^{30}$ Yazımı tamamladıktan sonra Matematik Dünyası’nın Ocak 1992 sayısında bir yazı gözüme ilişti: A. Sangalli’nin “Bilgisayarlar İspat Peşinde”. Konumuzla ilgisi olduğundan burada anımsatayım dedim.
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1994 yılı 1. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Emre Kahvecioğlu‘na ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.
