Yazar: Mehmet Sait Eroğlu
Yıl: 1991-5
Sayı: 5
Herhangi bir matematik kitabını karıştırdığımızda, genelde vurgulanmış olarak yazılan üç kelimeye sıkça rastlarız; bunlar tanım, teorem ve kanıttır. Her tanımda açıklanan kavram, söz konusu kuramın daha önce açıklanmış kavramları ile yapılırken, her teoremin kanıtı, doğruluğu bilinen önermelere dayanır. Bu durumda besbelli ki her kavram açıklanmış ve her önerme kanıtlanmış olamaz! Her matematik kuramın tanımsız kavramları ve kanıtsız olarak doğruluğu kabul edilen belitleri (aksiyomları veye ilksavları) olacaktır. En iyisi, bundan sonraki açıklamalara da ışık tutması açısından, işe bir belit sistemi vererek başlayalım:
Tanımsız kavramlar (terimler):pat, çat.
Belit 1: Her çat, patlardan oluşan bir kümedir.
Belit 2: En az iki pat vardır.
Belit 3: $p$ ve $q$ pat iseler, $p$ ve $q$ yu içeren bir tek çat vardır.
Belit 4: $L$ bir çat ise, $L$ nin ögesi olmayan en az bir pat vardır.
Bu verilerin tümü $B_4$ ile göstereceğimiz bir belit sistemi oluşturur. Ancak belitlere baktığımızda her, küme, içermek, iki, bir, var ise gibi başka tanımsız terimlerin varlığını görüyoruz. Bunlardan ikisi ”küme” ve ”içerme” kümeler kuramının tanımsız terimleridir. Böyle olmakla birlikte, fazla ayrıntıya girmemek için, belitlerdeki tüm tanımsız terimlerin mantığın tanımsız terimleri olduğunu söyleyelim.
Her belit sisteminden uyması gereken isteklerimiz olacak, örneğin çelişkisizlik gibi. Bunların tartışılabilmesi için, tam açıklamasını sonraya bırakacağımız iki kavrama gereksinimiz var. $B$ belit sistemi verildiğinde, bu sistemin ve mantığın belirsiz terimleriyle belirli kurallarla (bunlara ilerde değinilecek) oluşturulan önermelere $B$-önermeleri diyeceğiz. Bir $B$-önermesi olan $S$ eğer mantıksal biçimde $B$-den çıkıyorsa (bunun ne olduğunu aşağı yukan biliyoruz. İlerde tam olarak açıklanacak) $S$, $B$ den çıkar diyeceğiz ve $S$, $B$ sisteminin bir teoremi olur. Örneğin ”Her pat en az iki farklı çat tarafından içerilir” önermesi $B_4$ ten çıkar, görelim.
TEOREM 1. Her pat en az iki farklı çat tarafından içerilir.
KANIT: $p$ her hangi bir pat olsun. Belit 2 den dolayı bir başka $q$ patı vardır. Belit 3’ten dolayı $p$ ve $q$ yu içeren bir tek $L$ çatı vardır. Belit 4’ten dolayı $L$ nin içermediği bir $r$ patı vardır. Yine Belit 3 ten dolayı $p$ ve $r$’yi içeren bir tek $L’$ çatı vardır. $L$ ve $L’$ $p$’yi içerirler, ancak birbirinden farklıdırlar.
Eğer bir belit sistemini, belirsiz terimlerine bizi ilgilendiren bir alanda anlamlar vererek, belitlerini söz konusu alanda doğru olmasını istediğimiz önermelere dönüştürecek biçimde yorumlayamıyorsak, böyle bir belit sistemiyle uğraşmanın hiçbir anlamı kalmaz. $B$ belit sisteminin her Yyorumu bu sistemin bir $M(Y)$ modelini belirler. $B$ den mantıksal biçimde çıkan her önermesi her Yyorumu için $M(Y)$ modelinde bir teoreme dönüşür. İşte bu belitik yöntemin avantajıdır. Değişik modellerde karşımıza değişik önermeler olarak çıkan teoremlerin ortak yanını bulmak ve bir kanıtla tümünün kanıtını vermek; bu büyük bir kazançtır.
Kuramsal açıklamalara devam etmeden $B_4$ sistemine dönelim ve bazı yorumlarına bakalım.
$Y_1$: Dört farklı $a$,$b$,$c$,$d$ nesnesi patları oluştursun. Çatları ise {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d} kümeleri olsun. Bu yorumda tum $B_1$, …,$B_4$ belitleri doğru önermelerdir.
$Y_1^{*}$: Patlar $Y_1$’deki gibi; çatlar $Y_1$’deki çatlar ve $\emptyset$ (boş küme).
$Y_2$: Patlar düzlemdeki noktalar, çatlar düzlemdeki doğrular.
$Y_3$: Patlar, düzlemde verilen bir açık dairenin, örneğin merkezi orijinde olan birim dairenin çember dışında kalan noktaları, çatları ise bu dairenin kirişleri.
$Y_4$: Patlar üç farklı $a$, $b$, $c$ nesnesi, çatlar $\{a,b\}$, $\{a,c\}$, $\{b,c\}$.
$Y_5$: Patlar bir $A$ şehrinin insanları; çatlar bu insanların arasında Belit 1 – Belit 4 doğru olacak biçimde oluşturulmuş dernekler.
Yukarıda kanıtlanan teorem $M(Y_2)$ modelinde “Düzlemde her noktadan en az iki doğru geçer”, $M(Y_3)$ de “Açık dairenin her noktasından en az iki kiriş geçer”, $M(Y_5)$’de “A şehrinde herkes en az iki derneğin üyesidir” teoremlerine dönüşür. $M(Y_1)$, — $M(Y_5)$ te beş değişik teorem gibi görünmelerine karşın hepsi için $B_4$ sistemindeki teorem ortak tabandır ve salt onun kanıtlanması yeterlidir.
$B_4$ sistemine
”Belit 5: $L$ bir çatsa ve $p$ patını içermiyorsa, $p$‘yi içeren ve $L$ ile ortak öğesi olmayan bir ve bir tek $L’$ çatı vardır.”
belitini ekleyerek elde ettiğimiz sisteme $B_5$ diyelim. $B_4$ sistemine
”Belit $5^{*}$: $L$ bir çatsa ve $p$ patını içermiyorsa, $p$ yi içeren ve $L$ ile ortak ögesi bulunmayan en az iki farklı çat vardır.”
beliti eklenerek elde edilen sistem $B_5^{*}$ diyelim. Artık $Y_1^{*}$ ve $Y_4$, $B_5$ ve $B_5^{*}$ için bir model oluşturmazlar. Ayrıca aşağıdaki önermeler kolayca $B_5$’den çıkar.
TEOREM 2: Her çat en az iki pat içerir.
TEOREM 3: En azından dört pat vardır.
TEOREM 4: En azından altı çat vardır.
Yine $Y_2$, $B_5$’in bir yorumudur, ancak $B_5^{*}$’in değil ve tersine $Y_3$, $B_5^{*}$’in bir yorumudur ancak $B_5$’in değil. İki çata, ortak ögeleri yoksa birbirine koşut diyelim. $L$ bir çat ve $p$ patını içeriyorsa, $L$, $p$’den geçiyor diyelim. Bu tanımlarla Belit 5 şöyle de söylenebilir: $L$, $p$ patından geçmeyen bir çatsa, $p$’den geçen ve $L$’ye koşut olan bir tek çat vardır. Kuşkusuz bu aşamasa $B_5$ sistemiyle Öklidik Geometriye, $B_1^{*}$ sistemiyle Öklidik olmayan geometriye doğru yol almakta olduğumuzu farketmişsinizdir.
Bir $B$ belit sisteminden çelişkisiz olmasını isteyeceğiz. Eğer $B$ den bir $B$ önermesi olan $S$ ve onun olumsuzu $\sim S$ çıkarılabiliyorsa bu bir çelişkidir ve böyle bir durumda tüm $B-$ önermeleri $B$ den çıkar ve bu sistem tüm anlamını yitirir. Eğer hiçbir $S$ için $B$ den hem $S$ ve hem de $\sim S$ çıkarılamıyorsa $B$ ye çelişkisiz diyeceğiz (burada söz konusu olan $S$ ler $B-$ önermeleridir). İyi ama, bir $B$ belit sisteminin çelişkisiz olduğu nasıl gösterilir? Şansımız varsa biraz uğraştan sonra $S$ ve $\sim S$ yi $B$ den elde eder çelişkiye ulaşırız. Onca uğraştan sonra bir çelişkiye ulaşamamışsak, bu $B$ nin çelişkisiz olması anlamına gelir mi? Asla! Genelde elimizde bir $B$-belit sisteminin doğru önermelerini veya yanlış önermelerini veren yöntemler yoktur; böyle yöntemler varsa B ye belirlenebilir diyelim. Gruplar kuramı, cisimler, sıralanmış cisimler, örgüler, sıralanmış yapılar belirlenemez; buna karşın değişimli gruplar ve tümel sıralanmış kümeler belirlenebilir yapılardır. Kuram belirlenebilir bile olsa, tüm teoremleri listelemek genelde olanaksızdır. Bazan $S$ ve $\sim S$ öyle karmaşık ve değişik biçimde karşımıza çıkabilir ki, bunlar gözümüze bakarken biz çelişkiyi farketmeyebiliriz. Dolayısıyla mantıkçılar ve matematikçiler başka bir yol izliyorlar. $B$ nin bir $Y$ yorumu varsa $B$ ye yorumlanabilir diyelim. $M(Y)$ modelini seçtiğimiz $B’$ sistemi çelişkisizse kuşkusuz $B$ de çelişkisiz olacaktır, böylece göreli çelişkisizlik kavramına ulaşılır ve çelişkisizliğine güvenimizin fazla olduğu alanlarda modeller aranır. Hatta belirli varsayımlar altında çoğu mantıkçı ve matematikçi için $B$ nin yorumlanabilir olması çelişkisiz olmasıyla eş anlamlıdır.
Bir $B$ belit sisteminin hiçbir beliti, geriye kalan belitlerle oluşturulan sistemden çıkmıyorsa, $B$ ye bağımsız denir. $B$ nin belitleri olmayan her $B-$ önermesi $S$, $B$ nin belitlerine eklenerek elde edilen $B’$ belit sistemi bağımsız değilse, $B$ ye tam denir. Başka bir deyişle her $B-$ önermesi $S$ için ya $S$ ya da $\sim S$, $B$ den çıkıyorsa $B$ tamdır. Örneğin $B_4$ belit sistemi tam değldir, çünkü $S$ olarak Teorem 3 deki önermeyi alırsak $B_4$ den ne $S$ yi ne de $\sim S$ yi çıkarabiliriz.
Bir belit sisteminin yukarıda sıralanan özellikleri içerisinde en önemlisi ve vazgeçilmez olan çelişkisizliktir. Bağımsızlık bazen istenmeyebilir; özellikle önemli teoremlere çabuk ulaşılmak istendiğinde, veya çok karmaşık bir belit daha kolay parçalara ayrılmak istendiğinde bağımsızlıktan vazgeçilebilir. Ancak tüm isteğimiz belli bir alanın tüm teoremlerini kanıtlamaksa belit sisteminin tam olması zorunludur.
Belit sistemleri nasıl oluşur? Önce ilgilendiğmiz bir alan vardır. Bu alanda yeterince bilgi edindikten sonra, önemli kavramları ve bağıntıları belirleyecek düzeye geliriz. Örneğin söz konusu olan Öklid Geometrisi olsun. Seçeceğimiz önemli kavramlar belit sisteminin tanımsız terimlerini ve seçtiğimiz temel önermeler belitleri vereceklerdir. Ancak seçilen tanımsız terimler çıkış noktasındaki özel alandaki anlamlardan arındınlacaklardır. Örneğin Hilbert beş tanımsız terim: nokta, doğru, düzlem, arasında, eşleşik kullanırken Pieri iki tanımsız terim (nokta, hareket) ve Veblen iki tanımsız kavram (nokta, sıra) kullanmıştır.
Hiçbir zaman, rastgele bir belit sistemiyle dam üstünde saksağan türü işe başlanmaz. Ancak belli bir alandan çıkarak bir belit sistemine ulaştıktan sonra, ilgi alanını daha iyi kavramaya da yardımcı olduğu için, elde edilen sistemden bazı belitleri çıkararak, değiştirerek veya zayıflatarak yeni belit sistemlerine geçilir. Matematikte bu sıkça izlenen bir yoldur.
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1991 yılı 5. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren arşiv ekibi üyesi Emre Şahin‘e ve tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.
