Yazar: Fahrettin Akbulut
Bilindiği gibi, $a$ ve $b$ tamsayıları için $a = kb$ olacak biçimde bir $k$ tamsayısı bulabiliyorsak $a$ sayısı $b$ ile bölünebilir ya da $b$ sayısı $a$’yı böler diyor ve $b|a$ yazıyoruz. $a$ ile $b$ nin pozitif ortak bölenlerinin en büyüğünü (OBEB’ini) $(a, b)$ ile gösteriyor ve $(a, b)$ ise yani $a$ ile $b$ nin $1$ den başka pozitif ortak böleni yoksa $a$ ile $b$ aralarında asaldır diyoruz.
Herkesçe bilinen şu iki temel özelliği anımsayalım:
- Üç tane $a, b, a + b$ (ya da $a – b$) tamsayısından herhangi ikisi bir $c$ tamsayısı ile bölünebilirse üçüncü de bölünür.
- $c | ab$ ve $(c, a) = 1$ ise $c | b$ dir.
Bu iki basit özellikten bir $A$ tamsayısının $2$’nin ya da $5$’in katı olmayan (yani $10$ ile aralarında asal olan) bir $b$ tamsayısı ile bölünüp bölünemediğini araştırmada kullanılabilecek bir yöntem çıkarmak istiyoruz. Şöyle ki $10$ ile aralarında asal olan bu $b$ sayısının son rakamı $1, 3, 7, 9$’dan biri olacaktır. Bu $b$ sayısını $1, 3, 7, 9$ ile çarptığımızda ortaya çıkacak sayılardan birinin son rakamı $1$ birinin de $9$ olur; yani bu $kb$ biçimindeki sayılardan biri $10m + 1$ bir başkası $10m – 1$ biçimindedir. Sözgelimi $b = 37$ için $3b = 111 = 10 \times 11 + 1$ ve $7b = 259 = 10 \times 26 – 1$ dir. Bu bizi şu teoreme götürür:
Teorem. $x, y, k, m$ ve $b$ herhangi tamsayılar olduğuna göre $$A = 10x + y, kb = 10m + 1\;\; ise\;\; b|A \leftrightarrow b|x-my;$$ $$A = 10x + y, kb = 10m -1\;\; ise \;\; b|A \leftrightarrow b|x+my$$ olur.
İspat. Bu sonucu ispatlamak için $kb = 10m + 1$ olduğunda
$$\begin{eqnarray*}A &=& 10 x + y = 10x + y – kby + kby\\ &=& 10x+y -(10m + 1)y + kby\\ &=& 10(x – my) + kby\end{eqnarray*}$$
olduğu için $b$ sayısı $A, 10(x – my), kby$ tamsayılarından ikisini bölerse üçüncüsünü de böler yani
$$b|A \leftrightarrow b|10(x – my)$$
dir. Oysa $(b, 10) = 1$ olduğu için $$b|A \leftrightarrow b|10(x – my)$$ sonucu elde edilir.
$kb = 10m – 1$ durumu için de aynı ispat tekrarlanabilir ya da değişiklik olsun diye $kb = 10m – 1$ ise
$ k(-m) = 10(-m) + 1$ olur ve dolayısıyla $$b|A \leftrightarrow -b|A \leftrightarrow b|x + (-m)y$$
elde edilir diyebiliriz. Böylece bölünebilmeye ilişkin yeni iki kural elde etmiş olduk:
$b$’nin bir tam katı $10m + 1$ ise $b|10x + y$ demek $b|x + my$ demektir.
$b$’nin bir tam katı $10m – 1$ ise $b|10x + y$ demek $b|x + my$ demektir. Burada $y$ bölünecek sayının birler basamağı $x$ ise bu basamak atıldığı zaman kalan sayıdır.
Şimdi örneklerle bu kuralların kullanılışını görelim:
Örnek 1. $441$ sayısı $7$ ile bölünür mü?
Çözüm 1.
$$441 = 10\cdot 44 + 1, 3\cdot 7 = 10\cdot 2+ 1\;\; den\;\; x = 44, y = 1, m = 2$$
yani $x – my = 44 – 2$ olup $7|441 \leftrightarrow 7|44- 2 = 42$ çıkar ve $7|441$ olduğu görülür.
Çözüm 2.
$$441 = 10\cdot 44 + 1, 7\cdot 7 = 10\cdot 5 – 1\;\; den\;\; x = 44, y = 1, m = 5$$
ve $x + my = 44 + 5\cdot 1 = 49$ elde edilir ve $7|49$ olduğundan $7|441$ çıkar.
Örnek 2. $2871$ sayısı $11, 13, 17$ ve $29$’dan hangileri ile bölünür?
Çözüm. Bölen sayıların katlarını $10m + 1$ ya da $10m – 1$ biçiminde yazacak olursak
$$\begin{eqnarray*}11 &=& 10\cdot 1 + 1\\ 3\cdot 13 &=&10\cdot 4 – 1\\ 3\cdot 17 &=& 10\cdot 5 + 1\\ 29 &=& 10\cdot 3 – 1\end{eqnarray*}$$
olur. Demek ki, $x \pm my$ ler
$$\begin{eqnarray*} 11\;\;\; &için&\;\;\; x – my = x – y\\ 13\;\;\; &için&\;\;\; x + my = x + 4y\\ 17\;\;\; &için&\;\;\; x – my = x – 5y\\ 29\;\;\; &için&\;\;\; x + my = x + 3yy\end{eqnarray*}$$
olmaktadır. Böylece
$$\begin{eqnarray*}11|2871\leftrightarrow 11|287 – 1 = 286\leftrightarrow 11| 28 – 6 = 22\;\;\; den \;\;\; 11|2871;\\13|2871\leftrightarrow 13|287 + 4 = 291\leftrightarrow 13| 29 + 4 = 33\;\;\; den \;\;\; 13\nmid 2871;\\17|2871\leftrightarrow 17|287 – 5 = 282\leftrightarrow 17| 28 – 10 = 18\;\;\; den \;\;\; 17\nmid 2871;\\29|2871\leftrightarrow 29|287 + 3 = 290\leftrightarrow 29| 29 + 0 = 29\;\;\; dan\;\;\; 29|2871;\end{eqnarray*}$$
sonuçları elde edilir.
Son olarak okuyucuya kolaylık sağlaması için aşağıdaki çizelgeyi veriyoruz
| $A = 10x + y$ |
| $p = 10m + 1$ | $q = 10m\, -\, 1$ |
| 11 | $x\, -\, y$ | 9, 3 | $x + y$ |
| 21, 3, 7 | $x \, -\, 2y$ | 19 | $x + 2y$ |
| 31 | $x \, -\, 3y$ | 29 | $x + 3y$ |
| 41 | $x \, -\, 4y$ | 39, 3, 13 | $x + 4y$ |
| 51, 3, 17 | $x \, -\, 5y$ | 49, 7 | $x + 5y$ |
| 61 | $x \, -\, 6y$ | 59 | $x + 6y$ |
| 71 | $x \, -\, 7y$ | 69, 3, 23 | $x + 7y$ |
| 81, 3, 9 | $x \, -\, 8y$ | 79 | $x + 8y$ |
| 91, 7, 13 | $x \, -\, 9y$ | 89 | $x + 9y$ |
Alıştırmalar:
1) $4418$ sayısının $13, 19, 37$ sayılarından hangileriyle bölünebildiğini araştırınız.
2) $kb = 10m + 1$ durumundaki yolu izleyerek
$$ A = 10x + y, kb = 10m – 1\;\;\; ise\;\;\; b|A \leftrightarrow b|x + my $$
önermesini ispatlayınız.
3) $$ A = 10 x + y, kb = 10m + 3 \;\;\; ise\;\;\; b|A \leftrightarrow b|x+ (3m + 1)y $$
önermesini ispatlayınız.
Not: Bu yazı Matematik Dünyası Dergisi arşivinden siteye eklenmiştir. Yazı ilk olarak derginin 1991 yılı 3. sayısında yer almıştır. Matematik Dünyası arşivi titiz bir çalışma ile çevrim içi platformlarda yeni okuyucularıyla buluşuyor. Bu yazıyı burada okunabilir hale getiren tüm gönüllü arşiv ekibimize teşekkür ediyoruz. Yazıyı PDF olarak okumak için PDF arşivine buradan ulaşabilirsiniz.
