Yazar: Cem Tezer
Yıl: 1991-1
Sayı: 1
Bu yazıda, düzlem Euclid geometrisinde, herbirinin diğerleri tarafından yerine getirilmesi güç hatta imkansız görevleri olan üç açı ve açı ölçüsü kavramını ele alacağız.
Önce Euclid düzlemini
Birbirinden farklı
olacak şekilde bir
Gene birbirinden farklı
altkümesini kastediyoruz. (Bu tanımla
Köşe noktaları ortak
Şimdi de birkaç basit cebir kavramını açıklayalım:
şeklinde tanımlanan işlem
Önce “
İkinci olarak “
şeklinde tanımlansın.
Son olarak da
fonksiyonunun
eşitliğini sağlayan biricik
I. Ham Açı:
Ham açı ile sınır noktaları ortak iki yarıdoğrunun teşkil ettiği bir sırasız çifti yahut da kümeyi anlıyoruz.
şeklinde
Tabii, bu soyut sunuş öğrenciye doğrudan uygulanamaz. Sezgiye daha açık olup, geometri öğreniminin çok erken safhalarında ele alınabilecek bir “tanım” olarak şunu teklif edebiliriz:
Geometri öğreniminde, öğrencinin ilk karşılaştığı açı kavramı, bizim ham açı adını verdiğimiz açıdır. Geometrinin tarih içindeki tabii gelişmesine sadık her sunuş için bu açı çeşidinin vazgeçilmez olduğuna inanıyoruz. Özellikle, temel karşılaştırma teoremlerinde bu açı önemli bir yere sahiptir. Bunun, belki en esaslı örneği olarak “büyük açı-büyük kenar” teoremi alınabilir:
Teorem: Bir üçgeninde olması için gerek ve yeter şart olmasıdır.
Temel denklik teoremleri (örneğin
yazabilmek için önce
II. Yönlü Açı:
Yönlü açı ile sınır noktaları ortak iki yarıdoğrudan meydana gelen sıralı bir çift anlıyoruz. Sırasıyla
ile tanımlanan
Yönlü açı özellikle trigonometri sahasının vazgeçilmez aletidir. Sinüs ve kosinüs bu açının fonksiyonları olarak görülmelidir. Ayrıca düzlemin önemli izometrilerinden dönmeler de sabit bıraktıkları nokta ve bir yönlü açı ile tarif olunurlar.
Analitik yöntemlerde yönlü açıların önemi bu açıların güzel cebirsel özelliklerine verilmelidir:
daima doğrudur.
Yönlü ve ham açı ölçüleri arasında
ilişkisi olduğu açıktır.
III. Doğrular Arasındaki Açı:
Bu halde açı herhangi bir
şeklinde
Önce doğrular arasındaki açının cebirsel olarak son derece elverişli olduğunu işaret edelim. Herhangi
daima doğrudur.
Şimdi de “çemberde çevre açı aynı yanı gören merkez açının yarısıdır” şeklinde sloganlaştırılan önemli teoreme bir göz atalım: Burada hangi açı çeşidinin kullanıldığı belli değildir.
Ham açılar kullanılırsa
söz konusudur. Fakat bu genel olarak yanlış olup ancak
Ham açılar kaldırılıp, yerine yönlü açılar konulduğu takdirde, yani
söz konusu edildiğinde aynı yanlışlık devam ettikten başka diğer bir pürüz daha ortaya çıkar:
denkleminin aralarında
Teorem: Birbirinden farklı , , , noktalarının aynı çember veya doğru üzerinde kalmaları için gerek ve yeter şart
dir.
Bu teoremin kullanılışını, düzlem geometrinin en güzel teoremlerinden birisini ispat ederek örnekleyelim:
Teorem: (Şekil 2) Bir üçgeninde, , , noktaları verildiğinde, , ve üçgenlerinin çevrel çemberlerinin ortak bir noktası vardır.
İspat: Sözkonusu üç çemberin hiçbirinin bir diğerine teğet olmadığını varsayalım.
aynı şekilde
ve bu iki eşitlikten de
bulunur. Demek ki
Ham ve yönlü açı kavramları yaygınlık kazanmış ve genel olarak doğru anlaşılmışlardır. Buna karşılık, belki de bu ikisinden de önemli olan doğrular arasındaki açı az tanınmış ve sık sık yanlış anlaşılmıştır. “Elemanter” geometri metinlerinde dikkatle kullanılması o kadar yenidir ki Coxeter [1]’de, R.A. Johnson ([4]) ve D.K. Picken’i ([6]) bu açının mucitleri olarak anıyor. H.G. Forder’ın da “cross” dediği ([2]) şey doğrular arasındaki açıdan başkası değil. Aslında kavram ileri geometri metinlerinde (örneğin [5]) daha eskiden kullanılmaktaydı. Gerçekten de Laguerre’in sonlu bir
Kaynaklar
- H.S.M. Coxeter: The Real Projective Plane, Cambridge, University Press, 1960.
- H.G. Forder: “The Cross and the foundations of Euclidean geometry” , Mathematical Gazette, 31 (1947) 227-233.
- W.C. Graustein: Introduction to Higher Geometry, Macmillan Company, 1930.
- R.A. Johnson: Modern Geometry, Houghton Mifflin Company 1929.
- F. Klein: Vorlesungen über Nicht-euklidisehe Geometrie, Chelsea Publishing Company, 1926.
- D.K. Picken: “Euclidean geometry of angle” Proceedings of the London Mathematical Society (2), 23 (1925) 45-55.