Yazar: Albert Erkip
Uluslararası Matematik Olimpiyadı çok sayıda ülkeden yarışmacıların katıldığı her yıl yapılan bir problem çözme yarışması. Dörtbuçuk saatlik iki bölümden oluşan yarışmanın her bölümünde üçer problem soruluyor. Problemler bir bakıma lise düzeyinde, zaten yarışmacıların üniversiteye başlamamış olmaları gerekiyor. Öte yandan bu tür problemleri çözmek için yaratıcılıktan başka hem ciddi bir özgün problem çözme alışkanlığı, hem de bazı özel ön bilgiler gerekiyor. Çoğu ülke bu yüzden seçtikleri Olimpiyat takımlarına yüklü bir eğitim programı uyguluyor. Bu köşede sizlere geçmiş yıllarda sorulmuş bazı Olimpiyat problemlerini tanıtmak istiyoruz. Amacımız bir takım problemleri ve çözümlerini sıralayıp bunların ne zor ya da ne kolay olduklarını tartışmak değil. Bir Olimpiyat hazırlığı yapıyormuşçasına önce ön bilgileri, sonra daha kolayca problemleri verip sizleri bir Olimpiyat problemine hazırlamak. Bu hazırlık bir iki sayı sürebilecek ama sonunda problemin önemli bir kısmını çözebilecek durumda olacaksınız. Gerisi size kalmış. Bir öneri; sabırlı olun! Üç problem için dörtbuçuk saat çok uzun bir süre.
Bu sayıda doğrusal indirgemeli dizi denilen özel türden dizilere bakacağız. Bunun ne olduğunu söylemeden önce bazı örneklere bakalım.
Konumuz olan doğrusal indirgemeli diziler, indirgeme bağıntısı doğrusal olanlardır. Yani bazı
Şimdi doğrusal indirgemeli bir dizinin n-inci terimini veren bir formül bulmaya çalışacağız. Gösterimde kolaylık olsun diye indirgeme bağıntısında iki terim olduğunu varsayalım, yani
Şimdi
başlangıç değerleri ve bağıntısı ile verilen diziyi bulalım. Önce birkaç terim hesaplayalım: bağıntıda sırayla gibi istediğimiz sayıda terimi hesaplayabiliriz. Şimdi yukarıda geliştirdiğimiz yönteme bakalım. denklemi , kökleri olduğundan, sistemini buluruz: Sistemden buluruz. O halde dizimiz için formülünü elde ettik. (Formülü için hesapladığımız değerlerle karşılaştırınız.)- Fibonacci dizisinin genel terimini bulalım.
denklemi , kökleri ise olduğundan, sisteminden ve katsayılarını bulursak -inci terim için formülünü elde ederiz. - Bulduğumuz yöntemin kolayca genelleştirilebileceğini söylemiştik, buna bir örnek verelim:
ve ile tanımlanan diziyi ele alalım. Burada olduğundan yukarıdaki adımları uygun şekilde genellememiz gerekecek. İlk olarak geometrik diziler için yerine denkelmini buluruz. Kökler olduğundan yerine koymalıyız. Başlangıç değerlerini alınca sistemi yerine sistemini buluruz. olduğundan, olmalıdır. türünden olmayan bazı bağıntılar biraz oynayarak istenen türe benzetilebilir. İlk terimi , ondan sonraki her terimi bir öncekinin iki katından fazla diziye bakalım. Bağıntı şeklindedir. Bu türünden değildir. (Neden?) Ancak bağıntıda yerine koyarsak olur. Bundan ilkini çıkarırsak, , düzenlersek olur. Bu türündendir. Ancak başlangıç değerleri olarak ve gerekecek; verilmişti, için en baştaki bağıntıdan ( için yazarak) buluruz. Gerekli işlemlerden sonra çıkar. Bazı dizilerin genel terimlerini bulmak için bir yöntem geliştirdik. Genelde bir dizinin yalnızca terimlerini bulmak yetmez, onunla ilgili bazı özellikleri bulmamız gerekebilir. Bu özellikler ya bulacağımıız formül yardımıyla ya da indirgeme bağıntısını doğrudan kullanarak gösterilebilir. Buna birkaç örnek verelim:- Fibonacci dizisinin ilk
teriminden ve -ncı terimler çift, diğerleri tektir. Bu acaba hep doğru olur mu, yani -ıncı terimler hep çift, diğerleri hep tek midir? Bu soruya yanıt ararken bulduğumuz ifadesi pek işe yaramaz. İndirgeme bağıntısı ise çok şey söyler. Kanıtlamak istediğimiz terimlerin tek-tek-çift-tek-tek-çift- olduğu. ve tek olsunlar. İndirgeme bağıntısından olacaktır, yani tek tek çifttir. Devam edelim, yerine koyarsak, çift tek tektir. Aynı yolla ’ün tek olduğu vb. gösterilir. Aslında burada (farkına varmadan) tümevarımla istediğimizi kanıtlamış olduk. (Neden?) - Yüksek bir merdivenin ilk basamağındaki bir kurbağa sıçrayarak yukarı çıkıyor. Kurbağa her seferinde ya bir basamak ya da iki basamak sıçrayabiliyor. Bu şekilde kurbağanın 38-inci basamağa varabilmesi için kaç değişik yol vardır?
Problemi tanımaya çalışalım. İkinci basamağa kurbağa tek sıçrayışta çıkar. Yani ikinci basamağa çıkmak için tek yol vardır. 3. basamak için iki yol vardır, ya teker teker sıçrar, ya da iki basamak birden sıçrar. Bu şekilde devam etmeye çalışırsak, 4. basamakta bile hesap karışıyor. Mademki konumuz diziler, bir dizi tanımlayalım. -inci basamağa çıkan değişik yolların sayısına diyelim, , olduğunu bulduk. ( ne olabilir?) ’ye bakalım. Kurbağa -nci basamağa nasıl çıkabilir? Bir sıçrayış önce ya ya da -inci basamakta olacaktı. O halde ’ye varan iki tür yol vardır, ya ’ye gelip çift sıçrayan yollar (bunların sayısı idi), ya da ’e gelip son adımda tek sıçrayan yollar (bunların da sayısı idi). O halde bağıntısını bulduk. Artık ’i hesaplayabiliriz. - Fibonacci dizisinin ardışık terimlerinden büyüğün küçüğe oranına bakalım. Bu oranlar sırasıyla
diye gitmekte. Oranların gibi bir sayıya yaklaştığını görüyoruz. Bunu kanıtlayabilir miyiz? için yukarıda bulduğumuz ifadeyi yakından inceleyelim. sayısı -1 ile 0 arasındadır, -inci kuvvetleri büyüdükçe sıfıra yaklaşır. O halde büyük değerleri için terimi sayısına yakındır, yani terimlerin birbirine oranı sayısına yaklaşır. Altın oran adı verilen bu sayının Eski Yunan’dan beri sanat ve mimarlıkta önemli yeri vardır. Klasik mimarlıkta kapı, pencere gibi dikdörtgen formların kenarları hep bu oranda yapılır.
Fibonacci dizisinin yukarıdakilerden başka pek çok ilginç özelliği var. Adını 13. yüzyıl başlarında yaşamış İtalyan matematikçisi Leonardo Fibonacci’den alan diziye aynı zamanda doğada da sık sık rastlanmakta. Bu ilginç dizi hakkında daha fazla bilgi almak için Nazif Tepedelenlioğlu’nun “Kim Korkar Matematikten” (Bilim ve Sanat Yayınları, 1983) adlı kitabına bakmanızı öneririz. İndirgemeli dizilerin burada değinmediğimiz özellikleri için ise A.I.Markuschewitz’in, Türkçeye çevirisi yapılmış bulunan “İndirgemeli Diziler” (Matematik Derneği Yayınları, Sayı: 18, 1963) kitabına bakabilirsiniz.
Bu yazıyı aralarında bazı Olimpiyat hazırlık problemleri bulunan sorularla bitirelim. Olimpiyat problemimiz gelecek sayıda çıkacak!
Sorular
, , bağıntısıyla verilen diziyi bulunuz. Yöntemimiz işledi mi? sistemi için ‘şansımız varsa’ , ’yi çizebiliriz demiştik; eğer ise şansımızın olduğunu gösteriniz. durumunda (örnek 3’teki gibi) benzer bir şey kanıtlayabilir misiniz? , ve bağıntısıyla verilen diziyi bulunuz.- Fibonacci dizisinde hangi terimler 3’le tam olarak bölünebilir? Hangi terimler 5’le tam olarak bölünebilir? Yanıtlarınızı kanıtlayınız.
- Fibonacci dizisinden terimlerin birler basamağındaki rakamlarla yeni bir dizi oluşturalım. Bu dizi bir süre sonra kendini tekrarlar mı?
- Elimizdeki
milyon lirayı bankaya yatırmak istiyoruz. A bankası yılda net faiz veriyor, ancak hizmetine karşılık her yıl lira ücret kesiyor. B bankası yılda net faiz veriyor ama ücret almıyor. Hangi bankayı tercih edelim? Parayı bankada çok uzun süre tutacaksak tercihimiz ne olmalı? (Tercihimiz miktarına ve bankada tutacağımız süreye bağlı olacak. Soruda bir de açıklanmamış bir şey var; A bankası önce faiz verip sonra mı ücretini alıyor – ya da tersini mi yapıyor? Hangi durum bizim için daha iyi?) - Bir merdivenin ilk basamağındaki kurbağa sıçrayarak yukarı çıkıyor. Kurbağa her sıçrayışta eşit olasılıkla ya 1 basamak, ya da 2 basamak sıçrıyor. 38-inci basamak kırık; kurbağanın bu basamağa düşme olasılığı nedir, bu basamağa düşmeden 75-inci basamağa gelme olasılığı nedir?
- Üçgenler gezegeninde iki tür üçgen yaşıyor; geniş açılılar (
) ve dar açılılar ( ). Her yılın son günü üçgenler bölünüyorlar; öyle ki her bir ve bir ’ye, her ise bir ve iki ’ye bölünüyor. Yıl boyunca büyüyen üçgenler ertesi yıl sonunda yine aynı şekilde bölünüyorlar. Gezegenin iki efsanesi var. Birine göre yaşam tek bir ile başlamış. İkinci efsane ise ’lerin sayısının ’lerinkine oranı ’ten büyük olursa gezegen patlayacak diyor. Gezegenin patlama tehlikesi var mı, varsa ne zaman patlayabilir?